Vừa làm bên OLM xong, ko đưa đc link nên làm lại =))

Ta có BĐT phụ \(\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\ge0\forall\frac{1}{4}< a< 0\)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1;\frac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1;\frac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\)

Cộng theo vế các BDT trên ta có:

\(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8=VP\)

Xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

a lại nhầm nữa vừa làm bên học 24 xong :V

 Bài này có nhiều cách giải khác nhau, xin nêu một cách giải như sau

Ta thấy: Số bi xanh lúc đầu bằng 1/5 số bi đỏ.

Sau khi Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi xanh lúc đó bằng 1/4 số bi đỏ.

Do đó 3 viên bi ứng với số phần của số bi đỏ là:

1/4-1/5=1/20( so bi do )

 Vậy số bi đỏ của Tí lúc đầu là:  

3:1/20=60(vien)

Số bi xanh của Tí lúc đầu là :

60 : 5 = 12 (viên)

Vậy lúc đầu Tí có 60 viên bi đỏ và 12 viên bi xanh.

Vì 60 + 12 = 72 nên kết quả này thỏa mãn giả thiết về số bi của Tí không có quá 80 viên.

o

may lam dung khong day

Thử vài trường hợp đầu:

      16= 4²

      1156 = 34²

      111556 = 334²

Như vậy có thể gợi ý:

    11...1155..56 = 33..34²  (ở đây có n+1 chữ số 1, n chữ số 5 và n chữ số 3)

Ta có nhận xét:

      11..11 11..11        (2n + 2 chữ số 1)

+              44..44       (n + 1  chữ số 4)

                        1

     11..11155..56     (n+1 chữ số 1, n chữ số 5 và 1 chữ số 6)

Vậy 11..11155..56 = 111...1 + 44..44 + 1

= \(\frac{99..99}{9}+4\frac{9..9}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}}{9}+4\frac{10^{n+1}}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}-1}{9}+4\frac{10^{n+1}-1}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}\)

=\(\frac{\left(10^{n+1}\right)^2+4.10^{n+1}+2^2}{9}\)

= \(\frac{\left(10^{n+1}+2\right)^2}{9}\)

=\(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)

= \(\left(\frac{100..02}{3}\right)^2\)

= 333...34²

khó ha? có ai thấy dễ ko?

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{ax},\sqrt{by},\sqrt{cz}\right)\) và \(\left(\sqrt{\frac{a}{x}};\sqrt{\frac{b}{y}};\sqrt{\frac{c}{z}}\right)\)có:

\(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(\sqrt{ax}.\sqrt{\frac{a}{x}}+\sqrt{by}.\sqrt{\frac{b}{y}}+\sqrt{cz}.\sqrt{\frac{c}{z}}\right)^2\)

Suy ra \(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\), tức là M cách đều BC,CA,AB hay M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC

Ta có \(2S_{ABC}=2S_{BMC}+2S_{CMA}+2S_{AMB}=ax+by+cz\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}=const\)

Vậy Min \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}\). Đạt được khi M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC.

ĐKXĐ: \(\forall x\in R\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=a\left(a>0\right)\). Khi đó phương trình cho trở thành:

\(\left(4x-1\right)a=2a^2+2x-1\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2x-1-4ax+a=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(1-2a\right)+2a^2+a-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(1-2a\right)-\left(a+1\right)\left(1-2a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2a\right)\left(2x-a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2a=1\\a=2x-1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2\sqrt{x^2+1}=1\left(1\right)\\\sqrt{x^2+1}=2x-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow x^2+1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x^2=-\frac{3}{4}\left(l\right)\)

Phương trình (2) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-1\ge0\\3x^2-4x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\x\left(3x-4\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\x=0\end{cases}\left(l\right)}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\x=\frac{4}{3}\end{cases}\left(c\right)}\)

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất \(x=\frac{4}{3}\).

Bạn ơi bạn vô câu hỏi tương tự xem nhé

Học tốt

Tham khảo nhé!

>>https://olm.vn/hoi-dap/detail/80507618602.html

\(D=\frac{1998.1996+1996.11+11+1985}{1996\left(1997-1995\right)}=\frac{1996\left(1998+11+1\right)}{1996.2}=1005\)

\(\frac{1988.1996+1997.11+1985}{1997.1996-1996.1996}\)

\(=\frac{1988.1996+1996.11+\left(11+1985\right)}{1996.\left(1997-1995\right)}\)

\(=\frac{1988.1996+1996.11+1996}{1996.\left(1997-1995\right)}\)

\(=\frac{1996.\left(1998+11+1\right)}{1996.\left(1997-1995\right)}\)

\(=\frac{1996.2010}{1996.2}\)

\(=\frac{2010}{2}=1005\)

Rất vui vì giúp đc bn !!!

\(1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}=\frac{k^2.\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2+k^2}{k^2\left(k+1\right)^2}\)

\(=\frac{k^2\left(k+1\right)^2+2k\left(k+1\right)+1}{k^2\left(k+1\right)^2}=\frac{\left(k\left(k+1\right)+1\right)^2}{k^2\left(k+1\right)^2}\)

=> \(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}=\frac{k\left(k+1\right)+1}{k\left(k+1\right)}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

=> \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}\)

\(=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

\(=k+1-\frac{1}{k+1}\)

=> \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}=\frac{2017^2-1}{2017}\)

<=> \(k+1-\frac{1}{k+1}=2017-\frac{1}{2017}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1-2017\right)-\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2017}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k-2016\right)\left(1+\frac{1}{2017.\left(k+1\right)}\right)=0\)

<=> k=2016

Vì \(0\le a,b,c,d\le1\Rightarrow abc+1\ge abcd+1\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a+b+c+c}{abcd+1}\)

Do \(\hept{\begin{cases}\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\\\left(1-c\right)\left(1-d\right)\ge0\\\left(1-ab\right)\left(1-cd\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\le1+ab\\c+d\le1+cd\\ab+cd\le1+abcd\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\le2+ab+cd\le2+1+abcd=3+abcd\)

Vậy \(VT\le\frac{3+abcd}{1+abcd}\le\frac{3\left(1+abcd\right)}{1+abcd}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=0,b=c=d=1

ĐK: x-y>0

pt (2) <=> \(x^2+y^2-\frac{8xy}{x-y}=16\)

<=> \(x^2+y^2-2xy-\frac{8xy}{x-y}-16+2xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2-\frac{8xy}{x-y}-16+2xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^3-16\left(x-y\right)+2xy\left(x-y\right)-8xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x-y-4\right)\left(x-y+4\right)+2xy\left(x-y-4\right)=0\)

<=> \(\left(x-y-4\right)\left[\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)+2xy\right]=0\)(a)

Vì \(\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)+2xy=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+2xy=x^2+y^2+4\left(x-y\right)>0\)

Nên (a) <=> \(x-y-4=0\Leftrightarrow x=y+4\)thế vào pt (1) ta có:

\(\sqrt{4}+9=2y^2-\left(y+4\right)\Leftrightarrow2y^2-y-15=0\)

Em làm tiếp nhé! giải đen ta ra nghiệm đẹp.