Khi tuổi mẹ gấp đôi tuổi con tổng cả ba người tăng lên số tuổi là:

105-81=24 (tuổi)

Tuổi mỗi người tăng lên là:

24:3=8 (tuổi)

Nghĩa là 8 năm sau tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con.

Đưa bài toán về dạng: Năm nay tuổi con bằng 3/8 tuổi mẹ , 8 năm sau tuổi mẹ gấp hai lần tuổi con.

Hiểu số tuổi của mẹ và con không thay đổi.

Năm nay, Tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi mẹ và con là:

3: (8-3)=3/5

8 năm sau, Tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi mẹ và con là:

1: (2-1)=1

Hiệu số tuổi giữa mẹ và con là:

8: (1 -3/5)=20 ( tuổi)

Số tuổi của con hiện tại là: 

3/5 x20=12 ( tuổi)

Số tuổi của mẹ hiện tại là:

20+12=32 ( tuổi)

Số tuổi của bố hiện tại là 

81-32-12=37 ( tuổi)

Đáp số 37 tuổi

Có:

\(2x^2+1=y^2-yx^2\)

<=> \(x^2\left(y+2\right)=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

=> \(x^2\left(y+2\right)⋮\left(y+1\right)\)mà y+1 và y+2 là hai số nguyên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau

=> \(x^2⋮\left(y+1\right)\)

Đặt: \(x^2=\left(y+1\right)t\)( t thuộc Z)

Ta có phương trình : \(t\left(y+2\right)=y-1\)

,+) Với y=-2 => y+2 =0 => y-1 =0 => y=1 vô lí

+) Với y khác -2

Chia ca hai vế cho y+2 ta có:

\(t=\frac{y-1}{y+2}=1-\frac{3}{y+2}\)

Tìm y để t thuộc Z

Ta có: y+2 thuộc U(3)={-3; -1; 1; 3}

+) y+2 =-3 => y=-5 => t=2 => x^2 =(y+1)t= -8 ( loại)

+) y+2 =-1 => y=-3 => t=2 => x^2 =(y+1)t= -4 ( loại)

+) y+2=1  => y=-1 => t=-2 => x^2= 0  => x=0 

+) y+2 =3 => y=1 => t=0 => x^2 =0  => x=0

THử lại thấy x=0; y=1 và x=0 ;y=-1 thỏa mãn

Vậy ...

825, quá chuẩn ! 

Trong Violympic= 825m. Cần cách làm ko???

Ta có : 

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)

\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên : 
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\) 

\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(n-2< S< n-1\)

Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên 

Vậy \(S\) không là số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có \(\Delta=m^4-8m-8\)

Để pT có nghiệm nguyên

=> \(\Delta\)là số chính phương, \(\Delta\ge0\)

+ \(m=1\)=> \(\Delta=-15\)loại

+ \(m=2\)=> \(\Delta=-8\)loại

+ \(m=3\)=> \(\Delta=49\)

=> \(x=8;x=1\)nhận

+ m=4 => \(\Delta=216\)loại

+ \(m\ge5\)

=> \(2m^2-8m-9>0\)

=> \(\left(m^2-1\right)^2< m^4-8m-8\)

Mà \(-8m-8< 0\)với \(m\inℤ^+\)

=> \(\left(m^2-1\right)^2< m^4-8m-8< \left(m^2\right)^2\)

Lại có \(m^4-8m-8\)là số chính phương

=> không có giá trị nào của m thỏa mãn

Vậy m=3

Với n = 0 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ + 2005n = 0²⁰⁰⁵ + 2005⁰ + 2005.0 = 1 + 1 + 0 = 2 không chia hết cho 3, loại.

Với n = 1 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ  + 2005n = 1²⁰⁰⁵ + 2005¹ + 2005.1 = 1 + 2005 + 2005 = 4011 chia hết cho 3.

Với n > 1 thì đều ra trường hợp không chia hết cho 3.

             Vậy n = 1

vi 2005 chia cho 3 du 1 nen 2005ⁿ=3k+1

ta chia 3TH:

TH₁:n=3k

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=(3k+1+3k+3k) chia cho 3 du 1(loại)

TH₂:n=3k+1

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+1+3k+1=3(3k+1)chia het cho 3

TH₃:n=3k+2

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+2+3k+2=3.3k+5chia cho 3 du 1(loai)

vậy n có dang 3k+1 thi 2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n chia het cho 3

Cần các cao nhân giải khác phương pháp SS

Không làm theo cách đánh giá 3(a²b+b²c+c²a)\(\le\)(a+b+c)(a²+b²+c²)=3(a²+b²+c²)

Ai làm được xin cảm ơn trước

#)Giải :

Ta có : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\Rightarrow t\ge3\)

\(\Rightarrow P\ge t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\ge3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4\)

\(\Rightarrow P\ge4\Rightarrow P_{min}=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Điều kiện \(x\ne0\)

\(A=\sqrt{\frac{\left(x^2-3\right)^2+12x^2}{x^2}}+\sqrt{\left(x+2\right)^2-8x}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}}+\sqrt{x^2-4x+4}\)

\(=\left|\frac{x^2+3}{x}\right|+\left|x-2\right|\)

\(=\left|x+\frac{3}{x}\right|+\left|x-2\right|\)

Để A nguyên thì x phải là ước nguyên của 3 hay \(x=-3;-1;1;3\)

xin chào bạn

A B C D O H K I O' d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành. Từ O hạ đường cao OO' vuông góc với d tại O'.

Ta có \(\hept{\begin{cases}OA=OC\\OO'\text{//}AH\end{cases}\Rightarrow}\) OO' là đường trung bình của tam giác AHC => AH = 2OO'                        (1)

Xét tứ giác BDKI có : \(\hept{\begin{cases}DK\text{//}OO'\text{//}BI\\OB=OD\end{cases}\Rightarrow}\) OO' là đường trung bình của hình thang BDKI

=> DK + BI = 2OO'                                                                                                                                (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH = BI + DK.

Bạn sửa lại đề bài cho đúng nhé!

A B C D (d) H I K E F

Gọi F là giao điểm của AH và BC. Kẽ DF vuông góc với AH

Ta có \(\widehat{AEH}=\widehat{AHC}=\widehat{DKC}=90\)

\(\Rightarrow DEHK\)là hình chữ nhật

\(\Rightarrow HE=DK\left(1\right)\)

Ta có \(\widehat{DAF}=\widehat{AFB\:}\)(AD // BC)

\(\widehat{IBF}=\widehat{AFB\:}\)(BI // AH)

\(\Rightarrow\widehat{DAF}=\widehat{IBF}\)

\(\widehat{AFD}=\widehat{BIC}=90\)

AD = BC

\(\Rightarrow\Delta BIC=\Delta AED\)

\(\Rightarrow BI=AE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => AE + HE = AH = BI + DK

PS: Phải là chứng minh AH = BI + DK mới đúng nha

Đặt abcd ta có ab-cd và k  N, 32 bé hơn hoặc bằng k < 100

Suy ra : 101cd = k² – 100 = (k – 10)(k + 10) =>k + 10chia hết 101 hoặc k – 10 chia hết101

Mà (k – 10; 101) = 1  => k + 10chia hết 101

Vì 32 bé hơn hoặc bằng k < 100 nên 42 bé hơn hoặc bằng k + 10 < 110 => k + 10 = 101 => k = 91

suy ra abcd= 91² = 8281

đặt k = gì ghi rõ ra đi