A B C M N P O

Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có : 

\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)

\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)

Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)

Neu đề bài trên kia là cho >_ 6 thì chứng minh thế nào

a) ĐK: \(0\le x\le\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\(\sqrt{1-\sqrt{x^2-x}}=\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{x^2-x}=\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{x^2-x}=x-2\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x-1\right)}=2\sqrt{x}-x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(x-1\right)}=\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x-1}+\sqrt{x}-2=0\end{cases}}\)

TH1: x = 0 (Loại)

TH2: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=2-\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x-1=4-4\sqrt{x}+x\left(x\le4\right)\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=5\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x=\frac{25}{16}\left(tm\right)\)

b) \(\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2\)

ĐK: \(x\ge1\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(2x+6\right)}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=2\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(\sqrt{2x+6}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{2x+6}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}=0\end{cases}}\)

TH1: \(\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow x=-1\left(l\right)\)

TH2: \(\sqrt{2x+6}=2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow2x+6=4\left(x+1\right)+\left(x-1\right)-4\sqrt{x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow2x+6=5x+3-4\sqrt{x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x^2-1}=3x-3\Leftrightarrow16\left(x^2-1\right)=9x^2-18x+9\left(x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow7x^2+18x-25=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\x=-\frac{25}{7}\left(l\right)\end{cases}}\)

dk tu xd \(\sqrt{2x^2+8x+6}\) \(+\sqrt{x^2-1}=2x+2\)

 \(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-2\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(2\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}\right)=0\)

đến đây bn tự giải nhé

A N B C D E F M

a. Ta thấy \(\widehat{EAF}=\widehat{ECF}=90^o\Rightarrow\) C, A thuộc đường tròn đường kính EF hay E, A, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b. Do E, A, C, F cùng thuộc một đường tròn nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CAF}=45^o\)  (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Lại có \(\widehat{ECF}=90^o\Rightarrow\) \(\Delta ECF\) vuông cân tại C hay CE = CF.

Do BC // DE nên \(\widehat{NCB}=\widehat{CED}\Rightarrow\Delta NBC\sim\Delta CDE\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{NB}{CD}=\frac{BC}{DE}\Rightarrow BN.DE=CD.BC=a^2\) không đổi.

c. Ta thấy BCFM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{BCM}+\widehat{CMB}=\widehat{BFM}+\widehat{CFB}=\widehat{MFC}=45^o\)

Gọi tia đối của tia BM là Bx, ta có \(\widehat{CBx}=45^o;\widehat{CBD}=45^o\Rightarrow\)D thuộc tia đối tia BM. Vậy D, B, M thẳng hàng.

toi chiu ,toi di ngu day

Bác phải đọc cái đề nữa chứ. Đâu phải thấy giông giống là giải y chan đâu. Có thể cái đề của bác lúc trước là x,y,z không âm nên mới giải vậy. Còn nếu x,y,z dương thì phải giải khác.

Ta có:

\(a+a^3+b+b^3+c+c^3\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Vậy nên không tồn tại giá trị a,b,c thỏa mãn bài toán.

Mình không vẽ hình , thông cảm nhé

Vì E là trung điểm của BD

=> \(OE\perp BD\)

=> góc OEC=góc OAC=90độ

=> tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác là trung điểm của OC

Gọi K là trung điểm của OA=> K cố định

Do I là trung điểm của OC

=> \(KI//AC\)

=> \(KI\perp AB\)=> KI là trung trực của OA

=> quỹ tích điểm I là đường trung trực của OA và cùng phía với C

Vậy quỹ tích điểm I là đường trung trực của OA và cùng phía với C

Không biết cách làm đúng k nữa :D

Đặt: \(\hept{\begin{cases}a+bc=7^x\\b+ac=7^y\end{cases}}\)

TH1: Nếu \(7^x=7^y\)khi đó: n chẵn

\(\Leftrightarrow a+bc=b+ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\c=1\end{cases}}\)

TH2:Nếu: \(7^x>7^y\)(*)

\(\Leftrightarrow a+bc>b+ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\hept{\begin{cases}a>b\\c< 1\end{cases}\left(ktm\right)}\)hoặc: \(\hept{\begin{cases}a< b\\c>1\end{cases}\left(tm\right)}\)(1)

Đồng thời phải thỏa mãn điều kiện: \(a+bc⋮b+ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-c\right)⋮b+ac\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b⋮b+ac\\1-c⋮b+ac\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}a+ac⋮b+ac\\a\left(1-c\right)⋮b+ac\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+ac⋮b+ac\\a+b⋮b+ac\end{cases}}}\)(2)

Vì a,b,c thuộc N* nên:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+ac< b+ac\\ac+b>a+b\end{cases}}\)

Mặt khác: \(a+ac;a+b\ne0\)

Nên (2) sai

Dẫn đến (*) sai

Tương tự xét: \(7^x< 7^y\)(loại)

Vậy n chẵn

k cho tui

Ta có \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức buniacoxki ta có :

\(\left(\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\right)\left(ab+bc+ac\right)\ge\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)^2\)

Kết hợp với (1)

=> \(\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Nghe mùi holder ?

Ta có \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)

Do a>0

=> \(a^3+b^3=2a^2b^2\)

<=> \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)

Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{a^2}=y\)(x,y là số hữu tỉ)

=>\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x.y=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=2-y\\xy=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{1-y\left(2-y\right)}=\sqrt{y^2-2y+1}=|y-1|\)là số hữu tỉ

=> ĐPCM

Vậy \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ

ĐKXĐ \(x\ge1\)

<=> \(2x^2-4x+18=6\sqrt{x-1}+6\sqrt[3]{2x+4}\)

<=> \(2\left(x-2\right)^2+3\left(x-2\sqrt{x-1}\right)+\left(x+10-6\sqrt[3]{2x+4}\right)=0\)

<=> \(2\left(x-2\right)^2+\frac{3\left(x^2-4x+4\right)}{x+2\sqrt{x-1}}+\frac{x^3+30x^2-132x+136}{\left(10+x\right)^2+6\left(10+x\right)\sqrt[3]{2x+4}+\sqrt[3]{\left(2x+4\right)^2}}=0\)

<=> \(2\left(x-2\right)^2+\frac{3\left(x-2\right)^2}{x+2\sqrt{x-1}}+\frac{\left(x+34\right)\left(x-2\right)^2}{MS}=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\2+\frac{3}{x+2\sqrt{x-1}}+\frac{34+x}{MS}=0\left(2\right)\end{cases}}\)

PT (2) vô nghiệm Với \(x\ge1\)

Vậy x=2

Đề đúng chưa bạn??

Đặt \(\sqrt[3]{3x-2}=a\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x^3+2=3a\\a^3+2=3x\end{cases}}\)

=> \(\left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2\right)+3\left(x-a\right)=0\)

<=> \(\left(x-a\right)\left(x^2+ax+x^2+3\right)=0\)

Mà \(x^2+ax+x^2+3>0\)

=> \(x=a\)

=> \(x=\sqrt[3]{3x-2}\)

=> \(x^3-3x+2=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=1\end{cases}}\)

Vậy \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=1\end{cases}}\)