Bài 2 xét x=0 => A =0

xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)

để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)

=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?

1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)

\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)

\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)

\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)

=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)

=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

=> M=0

Vậy M=0 

A B C M N P I

Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B, dựng \(\Delta\)AMP sao cho \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)ABC

Định nghĩa tương tự với điểm N. Gọi phân giác của ^ABM cắt AM tại I.

Từ \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)ABC ta có tỉ số \(\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AC}\)hay \(\frac{AP}{AM}=\frac{AC}{AB}\) 

Đồng thời ^MAP = ^BAC => ^PAC = ^MAB. Từ đó \(\Delta\)APC ~ \(\Delta\)AMB (c.g.c)

Suy ra ^APC = ^AMB => ^APM + ^MPC = ^AMB => ^MPC = ^AMB - ^APM = ^AMB - ^ACB (1)

Lập luận tương tự ta có ^MNB = ^AMC - ^ANM = ^AMC - ^ABC (2)

Từ (1) và (2), kết hợp với giả thiết ^AMB - ^C = ^AMC - ^B suy ra ^MPC = ^MNB

Ta lại có ^PMC = ^AMC - ^AMP = ^AMC - ^ABC = ^AMB - ^ACB = ^AMB - ^AMN = ^NMB

Do vậy \(\Delta\)BNM ~ \(\Delta\)CPM (g.g) => \(\frac{BM}{CM}=\frac{MN}{MP}\)

Mặt khác \(\Delta\)ANM ~ \(\Delta\)AMP (~\(\Delta\)ABC) => \(\frac{MN}{PM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}\)

Từ đây \(\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{BA}{BM}=\frac{CA}{CM}\). Theo ĐL đường phân giác trong tam giác có:

\(\frac{BA}{BM}=\frac{IA}{IM}\). Do đó \(\frac{CA}{CM}=\frac{IA}{IM}\)=> CI là phân giác của ^ACM

Điều này tức là phân giác của ^ABM và ^ACM cắt nhau tại điểm I nằm trên AM => ĐPCM.

Học thêm toán hình tại đây nè..

\(f\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x\right)\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)

=> \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)\left(ax-a+b\right)\right]=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow ax^2+2ax+bx+2b-ax^2+ax-bx+ax-a+b=2x+1\)mọi x

\(\Leftrightarrow4ax+3b-a=2x+1\)

Cân bằng hệ số :

\(\hept{\begin{cases}4a=2\\3b-a=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$

b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$

Xét \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

<=> \(\)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)luôn đúng

=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Áp dụng ta có

\(\left(2x+1\right)^2+\left(-y\right)^2+\left(y-2x\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(2x+1-y+y-2x\right)^2=\frac{1}{3}=VP\)

Dấu bằng xảy ra khi \(2x+1=-y=y-2x\)=> \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{3}\\y=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Vậy \(x=y=-\frac{1}{3}\)

\(\left(2x+1\right)^2+y^2+\left(y-2x\right)^2=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2+\left(3x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=-\frac{1}{3}\)

+) Để n lớn nhất => m lớn nhất

+) Để n thuộc N

=> \(\sqrt{m-174}\in N\)

\(\sqrt{m+34}\in N\)

Đặt m-174 =a^2 , m+34 =b^2 ( a, b thuộc N)

=> \(b^2-a^2=34+174=208\)

=> \(\left(b-a\right)\left(b+a\right)=208\) là số chẵn

=> b-a , b+a đồng thời là số chẵn và b+a>b-a

Vì n lớn nhất => a+b lớn nhất

Xét trường hợp: 

TH: \(\hept{\begin{cases}b-a=2\\b+a=104\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b=53\\a=51\end{cases}}\)thử lại thấy thỏa mãn với m=2775 thay vào tính được n=53+51=104

Vậy n=104

ĐKXĐ: \(c\ne0\)

Có: \(\hept{\begin{cases}a+\frac{b}{c}=11\\b+\frac{a}{c}=14\end{cases}\Leftrightarrow}a+b+\frac{a+b}{c}=25\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+b}{c}\cdot\left(c+1\right)=25\)

Vì \(c+1\ne1\)

nên: \(\frac{a+b}{c}=1\)hoặc \(\frac{a+b}{c}=5\)hoặc \(\frac{a+b}{c}=-5\)

a. Do tam giác ABC cân có \(\widehat{BAC}=100^o\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=40^o\)

Từ đó cũng có \(\widehat{ACH}=\widehat{BCH}=20^o\)

Xét tam giác AHC ta thấy ngay \(\widehat{AHC}=180^o-\widehat{HAC}-\widehat{ACH}=60^o\)

Lấy I, J trên BC sao cho \(\widehat{CHI}=80^o;\widehat{CHJ}=60^o\)

Ta có \(\Delta HAC=\Delta HJC\left(g-c-g\right)\Rightarrow AH=HJ\)

\(\widehat{HJC}=\widehat{HAC}=100^o\Rightarrow\widehat{HJI}=80^o\)

Xét tam giác HIC có \(\widehat{HCI}=20^o;\widehat{CHI}=80^o\Rightarrow\widehat{HIC}=80^o\Rightarrow HC=IC\)

Xét tam giác HIJ có \(\widehat{HIJ}=\widehat{HJI}=80^o\Rightarrow HJ=HI\)

HIJ là góc ngoài tam giác BHI nên mà nó gấp đôi góc \(\widehat{HBI}\Rightarrow\) tam giác BHI cân tại I hay HI = BI.

Vậy thì BC = BI + IC = HI + HC = AH + HC (đpcm)

b. 

cau b;ve diem K sao cho BC la trung truc cua MK sau do CM AK=AC bg phan chung

Họ câu được -2 con cá .Người thứ nhất thấy không chia được cho 3 nên đã vứt xuống sông +1 con cá( nghĩa là câu được -1 con), số cá trở thành :

 -2+(-1)=-3

Lấy đi 1/3 (tức là -1 con cá), để lại đúng -2 con cá trên bờ, rồi 2 người kia cũng làm như vậy nên kết quả là mỗi người mang về được -1 con cá

Nghiem thi khanh linh giải rất độc đáo. Nhưng mà chắc chắn ko ai chịu lời giải như vậy mặc dù đã từng có nhà khoa học nổi tiếng giải y như bạn. Bài này đặt số cá cần tìm là x. Diễn đạt bài toán theo x là ra ngay.

\(\frac{b}{bc+b+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{ac.b}{ac\left(bc+b+1\right)}+\frac{c.a}{c\left(ab+a+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(=\frac{1}{c+1+ac}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)

a= b+c=a : b=a+c; c= a=b voi nhung bai nhan chia cung vay