min của \(A=a^2+b^2+c^2-2\sqrt{3abc}\) chứ nhỉ

à nhầm

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Ta tách VT=A+B và xét

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\text{∑}\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\text{∑}\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\text{∑}ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

(Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu = khi a=b=c=1

2 + 2 =22

Ta có: 
  \(n\left(5n-2\right)-5n\left(n+3\right)\)
\(=n\left(5n-2\right)-n\left(5n+3\right)\)|
 \(=n\left(5n-2-5n-3\right)=-5n\) ; Vì \(n\in Z\)
\(\Rightarrow-5n\in Z\Rightarrow -5n⋮-5\)
Vậy: .......
#HọcTốt!!

\(M=2x+\sqrt{5-x^2}\)

\(\Leftrightarrow M-2x=\sqrt{5-x^2}\)

\(\Leftrightarrow M^2-4Mx+4x^2=5-x^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2-4Mx+M^2-5=0\)

Để PT theo nghiệm x có nghiệm thì

\(\Delta'=4M^2-5.\left(M^2-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow M^2\le25\)

\(\Leftrightarrow-5\le M\le5\)

Max đúng

Min sai rồi

DK \(x\ge-\sqrt{5}\)

=> M \(\ge-2\sqrt{5}\)

Bác cần :

7 x ( 7 - 1 ) : 2 = 21

Đáp số : 21

Thế cậu k mk đi

7 x ( 7 - 1 ) : 2 = 21

Tó học rồi dạng toán bắt tay

Câu 2/ 

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)

Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được

\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)

Dấu = xảy ra  khi \(x^2=y^2=z^2=1\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)

Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có

\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)

\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)

Bài 2/

Ta có:  \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Ta có \(x\left(1000x-1\right)=y\left(1001y-1\right)\left(1\right)\)

Giả sử d là ước chung lớn nhất của x và 1000x-1

=> \(\hept{\begin{cases}x⋮d\\1000x-1⋮d\end{cases}}\)=> \(1⋮d\)=> d=1

=> x và 1000x-1 là 2 số nguyên tố cùng nhau(*)

TT => y và 1001y-1 là 2 số nguyên tố cùng nhau (**)

Theo đề bài

\(\left(x-y\right)\left(1000\left(x+y\right)-1\right)=y^2\left(2\right)\)

+  x=0 => y=0

+  \(x,y\ne0\)

Từ (2) 

=> x>y(3)

Từ (1), (3) => x<1001y-1

Kết hợp với (*), (**) ta được \(x⋮y\)

Đặt \(x=ky\)( k là số nguyên dương)

=> \(1000k^2y^2+y=1001y^2+ky\)

=> \(1000k^2y+1=1001y+k\)

=> \(y=\frac{k-1}{1000k^2-1001}\)

Mà \(1000k^2-1000⋮k-1\)

=> không có giá trị nào của k để y nguyên 

Vậy x=y=0

+)x=0=>y=0 

+)y=0=>x=0 

\(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow1001x^2+y=1001y^2+x^2+x\Leftrightarrow\left(1001x+1001y-1\right)\left(x+y\right)=x^2\left(1\right)\) 

\(1000x^2+y=1001y^2+x\Leftrightarrow\left(1000x+1000y-1\right)\left(x-y\right)=y^2\left(2\right)\) 

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(x-y\right)^2\left(1000x+1000y-1\right)\left(1001x+1001y-1\right)=x^2y^2\) 

Dat x+y=a (a thuoc N) 

\(\Rightarrow\left(1000a-1\right)\left(1001a-1\right)\text{la so chinh phuong}\) 

goi d=(1000a-1,1001a-1) 

=>\(a⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=>1000a-1;1001a-1 deu la so chinh phuong 

1000a-1 chia 8 du 7=> khong la so chinh phuong (vo ly) 

Vay: x=0;y=0

Dự đoán xảy ra cực trị khi a = b = c  =2. Khi đó P =\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\). Ta sẽ chứng minh đó là MAX của P

Ta có: \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3-\left(a+b+c\right)\ge abc-\left(a+b+c\right)=2\)

Đặt a + b +c = t>0 suy ra \(\frac{t^3-27t}{27}\ge2\Leftrightarrow t^3-27t\ge54\Leftrightarrow t^3-27t-54\ge0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t\ge6\\t=-3\left(L\right)\end{cases}}\). Do vậy \(t\ge6\) (em làm tắt xiu nhé,dài quá)

\(P=\Sigma_{cyc}\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\le\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Giờ đi chứng minh \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{3}{4}\)

Em cần suy ra nghĩ tiếp:(

suy ra -> suy nghĩ giúp em ạ!

 _tth_

Xem lại đề thử. Sao thấy đề sai sai ta

Không sai nha, mình có 1 số câu dạng ntn thì có 1 câu giải được theo quy đồng đặt nhân tử chung nhưng cái này thì lười quá không quy đồng, xem các bạn có hướng giải nào nhanh thuận tiện cho dạng này không 

ĐKXĐ: \(-2\le x\le2.\)

\(\sqrt{9x^2+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}.\)

\(\Leftrightarrow9x^2+16=4\left(2x+4\right)+16\left(2-x\right)+2.2\sqrt{2x+\text{4}}.4\sqrt{2-x}\)(vì cả 2 vế của phương trình đều >0)

\(\Leftrightarrow9x^2+8x-32=16\sqrt{2\left(x+2\right)\left(2-x\right)}.\)

\(\Rightarrow\left(9x^2+8x-32\right)^2=-512\left(x^2-4\right).\)

\(\Leftrightarrow81x^4+144x^3-512x-1024=0\)

\(\Leftrightarrow\left(81x^4+144x^3+288x^2\right)+\left(-288x^2-512x-1024\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2\right)\left(9x^2+16x+32\right)-32\left(9x^2+16x+32\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2-32\right)\left(9x^2+16x+32\right)=0\)

Mà \(9x^2+16x+32=9\left(x+\frac{8}{9}\right)^2+\frac{224}{9}>0\)

Suy ra \(9x^2-32=0\Leftrightarrow x^2=\frac{32}{9}\Leftrightarrow x=\mp\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Thử lại ta thấy \(x=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)thỏa mãn .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  \(x\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

Chúc bạn học tốt ! k cho mình nhé.