.-.

Dễ dàng chứng minh được \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]\\ab=\frac{1}{4}\left[\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right]\end{cases}}\)

Khi đó : \(a^2+ab+b^2=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right]+\frac{1}{4}\left[\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right]\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}-\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\)

\(=\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)( vì \(\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\))

Ta có : \(\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+b\right)}\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(b+c\right)}\\\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+c^2}}\le\frac{2}{\sqrt{3}\left(a+c\right)}\end{cases}}\)

Công theo vế của 3 bđt ta được :

\(A\le\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot2\cdot\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Đến đây ta chỉ cần tìm max \(B=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schawarz dạng engel : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2\cdot3}=\frac{3}{2}\)

Tuy nhiên bđt trên đã bị ngược dấu :( mọi người giúp mình với ạ

Ta có  a²+ab+b²=(a+b)²-ab\(\ge\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(3-c\right)^2}{4}\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\le\frac{2}{3-c}\)

Tương tự  \(\frac{1}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\le\frac{2}{3-a}\)

                          \(\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}\le\frac{2}{3-b}\)

=> \(A\le2\left(\frac{1}{3-a}+\frac{1}{3-b}+\frac{1}{3-c}\right)\)

Đến đây chứng minh <1 là xong

Dấu :"=" xảy ra khi a=b=c=1

#)Giải :

Gọi chiều rộng là a ( cm ), chiều dài là b ( cm ) ( a,b > 0 )

Theo đề bài, ta có : \(\frac{b}{a}=\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow5b=3a\left(1\right)\)

Mà a x b = 60

\(\Rightarrow5ab=300\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow3a\times a=300\)

\(\Rightarrow a\times a=100\Leftrightarrow a=10\)

\(\Rightarrow b=60\div10=6\)

Vậy chiều rộng = 6 cm

       chiều dài = 10 cm

=> Chu vi mảnh bìa đó là : ( 6 + 10 ) x 2 = 32 ( cm )

                                                            Đ/số : ...............................

Em tham khảo cách của cô nhé!

A B

Chia hình chữ nhật thành 1 hình vuông A có cạnh bằng chiều rộng của hình chữ nhật và một hình chữ nhật B như hình vẽ

Nhật xét: Diện tích mảnh bìa hình chữ nhật ban đầu= diện tích A + Diện tích B

Một mảnh bìa hình chữ nhật có chiều rộng =3/5 chiều dài

Diện tích của hình vuông A là: \(\frac{3}{5}.60=36\left(m^2\right)\)

Chiều rộng mảnh bìa bằng cạnh của hình vuông A có độ dài là : 6 (m) vì 6x6=36

Chiều dài mảnh bìa là: 60:6=10 (m)

Chu vi mảnh bìa là: ( 10+6)x2=32 (m)

\(\left(x^2+y\right)\left(x+y^2\right)=\left(x-y\right)^3\)

\(\Leftrightarrow y\left[2y^2+\left(x^2-3x\right)y+3x^2+x\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\2y^2+\left(x^2-3x\right)y+3x^2+x=0\end{cases}}\)

Với \(y=0\)thì x nguyên tùy ý.

Với \(2y^2+\left(x^2-3x\right)y+3x^2+x=0\)

Ta có: \(\Delta=\left(x^2-3x\right)^2-4.2.\left(3x^2+x\right)=\left(x-8\right)x\left(x+1\right)^2\)

Với \(x=-1\) thì \(\Rightarrow y=-1\)

Với \(x\ne-1\) để y nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương hay

\(\left(x-8\right)x=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+16\right)-k^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4+k\right)\left(x-4-k\right)=16\)

Tới đây thì đơn giản rồi b làm tiếp nhé.

( x^{2 _{+ y) ( x + y}2}) = ( x - y )³

A B C D E F O H K

Ta có điểm C nằm trên đường tròn (AB) nên ^ACB = 90⁰ => BC vuông góc AE

Xét \(\Delta\)BAE: ^ABE = 90⁰, BC vuông góc AE (cmt) => AB² = AC.AE (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự AB² = AD.AF. Do đó AC.AE = AD.AF. Từ đây, tứ giác ECDF nội tiếp.

Xét \(\Delta\)ABF: O là trung điểm AB; H là trung điểm BF => OH là đường trung bình trong \(\Delta\)ABF => OH // AF

Lại có CD là đường kính của (O), A thuộc (O) nên ^CAD = 90⁰ => AE vuông góc AF

Do vậy OH vuông góc AE. Kết hợp với AO vuông góc HE (tại B) suy ra O là trực tâm \(\Delta\)AEH

=> EO vuông góc AH => ^AKE = ^ABE = 90⁰ => A,K,B,E cùng thuộc đường tròn (AE)

Ta thấy AB,CD,KE tại O. Khi đó, áp dụng hệ thức lượng đường tròn: OE.OK = OA.OB = OC.OD

=> C,K,D,E cùng thuộc 1 đường tròn hay K thuộc đường tròn (DCE)

Mà tứ giác ECDF nội tiếp (cmt) nên K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF (đpcm).

o A D K C E B H F

Bài Toán trên có các câu hỏi a, b, c  thứ tự  để hướng dẫn làm bài

I)Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp

+) ACBD là hình chữ nhật  ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEB}\)( cùng phụ góc CBE)

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}=\widehat{CEF}\)

=> Tứ giác ECDF nội tiếp

II) Chứng minh Tứ giác KDBO  nội tiếp

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta FBA\)

Hai tam giác trên đồng dạng ( tự chứng minh)

=> \(\frac{AB}{FB}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{2.OB}{2.BH}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{OB}{BH}=\frac{BE}{BA}\)(1)

Mặt khác \(\widehat{OBE}=\widehat{HBA}=90^o\)(2)

(1), (2) => \(\Delta OBE~\Delta HBA\)

=> \(\widehat{BEO}=\widehat{BAH}=\widehat{OAK}\)

=> Tứ giác BEAK nội tiếp 

=> \(\widehat{AKO}=\widehat{OBE}=90^o\)

=> \(\widehat{OKH}=90^o\)(1)

Xét tam giác BDF vuông tại D , DH là đường trung tuyến

=> DH=HB

=> \(\widehat{HDB}=\widehat{HBD}=\widehat{BCD}=\widehat{ADC}\)

=> \(\widehat{ODH}=\widehat{ODB}+\widehat{HDB}=\widehat{ODB}+\widehat{ADO}=\widehat{ADB}=90^o\)(2)

Ta lại có: \(\widehat{OBH}=90^o\)(3)

Từ (1), (2), (3) 

=> DKOBH cùng thuộc đường tròn đường kính OH

=> DKOB nội tiếp (4)

III) Chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp 

Từ (4)  => \(\widehat{DKO}+\widehat{DBO}=180^o\)

Mặt khác : \(\widehat{DBO}=\widehat{DCA}\)và \(\widehat{DCA}+\widehat{DCE}=180^o\)

Từ 3 điều trên => \(\widehat{DKO}=\widehat{DCE}=\widehat{OCE}\)

=> Tứ giác DKCE nội tiếp 

Từ (I) và (III)

=> D, K, C, E , F cùng thuộc một đường tròn

=> K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF

Bài giải:
Trước đây 4 năm nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 6 phần như thế.
Hiệu số tuổi của hai bố con là : 6 – 1 = 5 (phần)
Vậy tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là:
1 : 5 =  1/5
Sau 4 năm nữa, nếu tuổi con được chia thành 3 phần bằng nhau thì tuổi bố sẽ có 8 phần như thế.
Hiệu số tuổi của hai bố con là: 8 – 3 = 5 (phần)
Vậy sau 4 năm nữa tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là: 3 : 5 =  3/5
Vì hiệu số tuổi của hai bố con là không thay đổi nên ta có thể so sánh tuổi con trước đây 4 năm và tuổi con sau đây 4 năm. Ta có tuổi con sau 4 năm nữa gấp 3 lần tuổi con trước đây 4 năm và tuổi con sau 4 năm nữa hơn tuổi con trước đây 4 năm là: 4 + 4 = 8 (tuổi).
Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm:
Trước đây 4 năm: |——-| 8
Sau đây 4 năm:     |——-|——-|——-|?
Tuổi con trước đây 4 năm là: 8 : (3 – 1) = 4 (tuổi)
Tuổi bố trước đây 4 năm là: 4  6 = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 4 + 4 = 8 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là: 24 + 4 = 28 (tuổi)
Đáp số: Con: 8 tuổi; Bố: 28 tuổi

con 8 bố 28 nha

Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi

Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)

\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))

Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)

Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)

\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)

Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chứng minh hoàn tất

Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.

Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)

Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!

Đầu tiên ta chứng minh: \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\le3\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow ay+az+bz+bx+cx+cy\le2\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)+b\left(z+x-2y\right)+c\left(x+y-2z\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)-b\left[\left(y+z-2x\right)+\left(x+y-2z\right)\right]+c\left(x+y-2z\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(y+z-2x\right)+\left(c-b\right)\left(x+y-2z\right)\le0\)

Không mất tính tổng quát, giả sử: \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\x\ge y\ge z\end{cases}}\)

Theo đó: \(\hept{\begin{cases}a-b\ge0\\y+z-2x\le0\end{cases}}\Rightarrow\left(a-b\right)\left(y+z-2x\right)\le0\)

Tương tự \(\left(c-b\right)\left(x+y-2z\right)\le0\). 

Ta có đpcm.

Áp dụng vào bài toán:

Đặt \(a^2+b^2=x;b^2+c^2=y;c^2+a^2=z;a+b=p;b+c=q;c+a=o\), ta có:

Đpcm \(\Leftrightarrow\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{o}\le\frac{3\cdot\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)}{\frac{1}{2}\left(p+q+o\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{p+q+o}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{o}\right)\left(p+q+o\right)\le3\left(x+y+z\right)\)[*]

Mà theo bất đẳng thức đã chứng minh:

\(VT\left[+\right]\le3\left(\frac{x}{p}\cdot p+\frac{y}{q}\cdot q+\frac{z}{o}\cdot o\right)=3\left(x+y+z\right)=VP\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi của Lưu Hải Dương - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

🙈 🐶 🐎 🦊 🦃 🐗 🦏 🦊 🐴 🐧 🐧 🍕 🍟 🏋️ 🎣 🏡 🏡

             _ Giải [ hoq chắc ]

Tổng số phần bằng nhau ứng với số gạo đã bán là :       3 + 1 = 4 ( phần )

Số ki lô gam gạo có ở 7 bao là :

    24 + 26 + 30 + 37 + 41 + 55 + 58 = 271 ( kg )

 Ta thấy :

     271 : 4 = 67 dư 7

=> 1 bao gạo nếp chưa bán sẽ chia 4 dư 3

=> 1 bao gạo nếp đó là bao chứa 55kg gạo

  Tổng số ki lô gam gạo của 6 bao còn lại là :

        24 + 26 + 30 + 37 + 41 + 58 = 216 ( kg )

 Số ki lô gam gạo tẻ đã bán là :

     216 : 4 × 3 = 162 ( kg )

 Số ki lô gam gạo nếp đã bán là : 

    216 - 162 = 54 ( kg )

       Vậy...

A B C M K L

+) Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta BLC\)có chung đáy BC

\(LA=4LC\Rightarrow LC=\frac{1}{4}LA\Rightarrow LC=\frac{1}{5}AC\)

=> Đường cao hạ từ K xuống BC =\(\frac{1}{5}\)Đường cao hạ từ K xuống BC

Do đó: \(S_{\Delta BLC}=\frac{1}{5}.S_{\Delta ABC}=40:5=8\left(cm^2\right)\)

+) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta BMC\)có chung đáy BM

có: \(AL=4LC\)

=> Đường cao hạ từ A xuống BL =4.Đường cao hạ từ C xuống BL

=> Đường cao hạ từ A xuống BM =4.Đường cao hạ từ C xuống BM

Do đó: \(S_{\Delta ABM}=4.S_{\Delta BMC}\)

+) Xét \(\Delta ACM\)và \(\Delta BMC\)có chung đáy CM

có: \(BK=\frac{1}{3}AK\Rightarrow AK=3.BK\)

=> Đường cao hạ từ A xuống CK =3.Đường cao hạ từ B xuống CK

=> Đường cao hạ từ A xuống CM =3.Đường cao hạ từ B xuống CM

Do đó: \(S_{\Delta ACM}=3.S_{\Delta BMC}\)

Ta lại có: \(S_{\Delta ACM}+S_{\Delta BMC}+S_{\Delta ABM}=S_{\Delta ABC}=40\left(cm^2\right)\)

=> \(3.S_{\Delta bCM}+S_{\Delta BMC}+4.S_{\Delta BCM}=S_{\Delta ABC}=40\left(cm^2\right)\)

=> \(8.S_{\Delta BMC}=40\left(cm^2\right)\)

=> \(S_{\Delta BMC}=40:8=5\left(cm^2\right)\)

=> \(S_{\Delta ABM}=4.S_{\Delta BMC}=4.5=20\left(cm^2\right)\)

=> \(S_{\Delta AML}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta ABM}-S_{\Delta BLC}=40-20-8=12\left(cm^2\right)\)

Theo bài ra ta có \(0\le a\le b\le c\) nên b\(+\)c \(\ge\)2b

Do đó suy ra \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{2a^2}{2b}\)suy ra \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{a^2}{b}\)

Chưng minh tương tự có \(\frac{2b^2}{c+a}\le\frac{b^2}{c}\)và \(\frac{2c^2}{a+b}\le\frac{c^2}{a}\)

Cộng vế với vế của các bđt cùng chiều trên ta sẽ suy ra điều phải chứng minh

#nga

Sai rồi nếu như theo cách chứng minh của bạn thì ta có: a + c \(\ge2c\)cái này vô lý.