A B O C H D E F K M I J

Gọi giao điểm của AK và MB là I; giao điểm của IF với AB là J.

Xét tam giác vuông ICA ta thấy DA = DC nên DA = DC = DI.

Lại có DB là trung trực của AF nên DA = DF. Vậy thì DA = DF = DI hay tam giác IFA vuông tại F, suy ra DB // IJ.

Vậy thì DB là đường trung bình tam giác AIJ hay B là trung điểm AJ.

Ta có KF // AJ nên áp dụng Ta let ta có:

\(\frac{KM}{AB}=\frac{IM}{IB}=\frac{MF}{BJ}\)

Do AB = BJ nên KM = MF.

 cho xem da

Hello

:)

:)

Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a₁ , a₂ ,..., a₄₄ là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)

Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)

Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai. 

Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)

Tham khảo cách làm và đề sau:

Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn 

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)

CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.

Giải 

Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016 

Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)

Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)

\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)

Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai

=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau

Nếu gọi số học sinh 6B là 3.a thì lớp 6A là 2.a (vì tỉ lệ 6A và 6B là 2/3).
Ta có: (2a + 8)/(3a + 4) = 3/4
=> (2a + 8),4 = (3a + 4).3
<=> 8a + 32 = 9a + 12
<=> 9a - 8a = 32 - 12
<=> a = 20
Vậy lớp 6B là: 3a = 3.20 = 60 bạn
Lớp 6A là 2a = 2.20 = 40 bạn

Số học sinh lớp 6A và lớp 6B là 2/3 hay là 8/12

Khi tăng số học sinh lớp 6A thêm 8 bạn, lớp 6B lên 4 bạn thì tỉ số là 3/4 hay là 9/12

vậy lớp 6 A thêm số học sinh hơn lớp 6B là 8 - 4 = 4 bạn

4 bạn ứng với số phần là: 9/12 - 8/12 = 1/12 

Lớp 6A có số học sinh là: 4x 12 - 8 = 40 (hs)

Lớp 6B có số học sinh là: 40x 3 : 2= 60 (hs)

Ta có: 

\(\sqrt{3x^2+6x+12}+\sqrt{5x^4-10x^2+9}\)

\(=\sqrt{\left(3x^2+6x+3\right)+9}+\sqrt{\left(5x^4-10x^2+5\right)+4}\)

\(=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+9}+\sqrt{5\left(x^2-1\right)^2+4}\ge3+2=5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(-2x^2-4x+3=-2\left(x+1\right)^2+5\le5\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) dấu = xảy ra khi \(x=-1\)

Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [D, C] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [D, A] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [C, B] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [M, N] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [D, B] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [P, C] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [Q, M] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [H, O] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [Q, P] Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [N, H] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [M, P] D = (-3.42, 1.62) D = (-3.42, 1.62) D = (-3.42, 1.62) C = (4.66, 1.66) C = (4.66, 1.66) C = (4.66, 1.66) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm B: Giao điểm đường của h, i Điểm B: Giao điểm đường của h, i Điểm B: Giao điểm đường của h, i Điểm M: Trung điểm của l Điểm M: Trung điểm của l Điểm M: Trung điểm của l Điểm N: Trung điểm của f Điểm N: Trung điểm của f Điểm N: Trung điểm của f Điểm P: Điểm trên m Điểm P: Điểm trên m Điểm P: Điểm trên m Điểm O: Giao điểm đường của p, q Điểm O: Giao điểm đường của p, q Điểm O: Giao điểm đường của p, q Điểm Q: Giao điểm đường của n, q Điểm Q: Giao điểm đường của n, q Điểm Q: Giao điểm đường của n, q Điểm H: Giao điểm đường của r, t Điểm H: Giao điểm đường của r, t Điểm H: Giao điểm đường của r, t

a) Do M, N là trung điểm của AB và CD nên MB // DN và MB = CN. Ngoài ta \(MN\perp AB\)

Vậy thì \(\Delta MOB=\Delta NOD\left(g-c-g\right)\Rightarrow OM=ON\)

Lại có HO // AB; \(MN\perp AB\Rightarrow HO\perp MN\)

Xét tam giác HMN có HO là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân, hay HM = HN.

b) Xét tam giác QBP có ON//BP nên \(\frac{QO}{QB}=\frac{QN}{QP}\) (Định lý ta-let)

Xét tam giác MQB có OH//BM nên \(\frac{QO}{QB}=\frac{QH}{QM}\) (Định lý ta-let)

Tức là ta có \(\frac{QH}{QM}=\frac{QN}{QP}\)

Xét tam giác QMP có \(\frac{QH}{QM}=\frac{QN}{QP}\) nên theo định lý Ta let đảo HN // MP. 

Vậy thì \(\widehat{HNM}=\widehat{NMP}\) (so le trong)

Lại có do tam giác HMN cân tại H nên \(\widehat{HNM}=\widehat{HMN}\) . Từ đó ta có:  \(\widehat{HM}N=\widehat{NMP}\)

hay MN là tian phân giác của \(\widehat{QMP}.\)

hình ở đâu thế?

Em có cách khác ạ :

Ta có : \(A=n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Do \(n\)và \(n+1\)là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\)có tận cùng là \(0;2;6\)

Suy ra \(A\)có tận cùng là \(1;3;7\). Suy ra \(A⋮5\)

Vậy không tồn tại giá trị của \(n\)để \(A⋮5\)

Giả sử n = 5k + r (với r = 0; 1; 2; 3; 4)

Khi đó \(A=\left(5k+r\right)^2+\left(5k+r\right)+1=25k^2+10kr+5k+\left(r^2+r+1\right)\)

Để A chia hết cho 5 thì \(r^2+r+1\) chia hết cho 5.

Ta thử với r = 0; 1; 2; 3; 4 ta thấy không có giá trị nào để biểu thức trên chia hết cho 5. Vậy không có giá trị nào của n để A chia hết cho 5.

?o?n th?ng f: ?o?n th?ng [A, D] ?o?n th?ng h: ?o?n th?ng [B, C] ?o?n th?ng i: ?o?n th?ng [C, D] ?o?n th?ng j: ?o?n th?ng [B, A] ?o?n th?ng k: ?o?n th?ng [P, N] ?o?n th?ng m: ?o?n th?ng [P, M] ?o?n th?ng n: ?o?n th?ng [M, Q] ?o?n th?ng p: ?o?n th?ng [N, Q] ?o?n th?ng q: ?o?n th?ng [C', B] ?o?n th?ng r: ?o?n th?ng [D, A'] ?o?n th?ng s: ?o?n th?ng [C', D] ?o?n th?ng t: ?o?n th?ng [B, A'] A = (-1.44, -1.78) A = (-1.44, -1.78) A = (-1.44, -1.78) D = (4.76, -1.82) D = (4.76, -1.82) D = (4.76, -1.82) ?i?m B: ?i?m tr�n g ?i?m B: ?i?m tr�n g ?i?m B: ?i?m tr�n g ?i?m C: ?i?m tr�n g ?i?m C: ?i?m tr�n g ?i?m C: ?i?m tr�n g ?i?m M: Trung ?i?m c?a j ?i?m M: Trung ?i?m c?a j ?i?m M: Trung ?i?m c?a j ?i?m N: Trung ?i?m c?a i ?i?m N: Trung ?i?m c?a i ?i?m N: Trung ?i?m c?a i ?i?m P: ?i?m tr�n h ?i?m P: ?i?m tr�n h ?i?m P: ?i?m tr�n h ?i?m Q: Giao ?i?m c?a l, f ?i?m Q: Giao ?i?m c?a l, f ?i?m Q: Giao ?i?m c?a l, f ?i?m C': C ??i x?ng qua P ?i?m C': C ??i x?ng qua P ?i?m C': C ??i x?ng qua P ?i?m A': A ??i x?ng qua Q ?i?m A': A ??i x?ng qua Q ?i?m A': A ??i x?ng qua Q

Lấy C' thuộc BC sao cho P là trung điểm CC'. Tương tự lấy A' trên AD sao cho Q là trung điểm AA'.

Xét tam giác CC'D có PN là đường trung bình nên PN song song và bằng một nửa C'D (1).

Tương tự xét tam giác ABA' có MQ là đường trung bình nên MQ song song và bằng một nửa BA' (2).

Mà giả thiết lai jcho MNPQ là hình bình hành nên PN // MQ và PN = MQ (3).

Từ (1), (2), (3) ta suy ra C'D // BA' và C'D = BA'.

Vậy thì tứ giác C'BAD là hình bình hành hay C'B // DA', hay BC // AD.

Tổng 1 + 2 + .. + 9 = 9.(9 + 1)/2 = 45

Khi xóa hai chữ số bất kỳ (a, b) bằng hiệu của chúng (a - b hoặc b - a tùy theo a lớn hơn hay nhỏ b ) thì tổng trên sẽ giảm đi a + b và tăng thêm a -b (hoặc b - a). 

=> Tổng trên sẽ giảm đi a + b - (a - b) = 2.b hoặc a + b - (b - a) = 2.a. Mà 2.a và 2.b luôn là số chẵn => Mỗi lần xóa 2 số bất kỳ và thay bằng hiệu thì Tổng ban đầu sẽ luôn giảm đi một số chẵn, mà tổng ban đầu là số lẻ (45) nên không thể trừ số 45 cho các số chẵn để được 0 được (vì 0 là số chẵn).

Vậy không có cách nào để có kết quả tổng = 0 được.

Tổng 1 + 2 + .. + 9 = 9.(9 + 1)/2 = 45

Khi xóa hai chữ số bất kỳ (a, b) bằng hiệu của chúng (a - b hoặc b - a tùy theo a lớn hơn hay nhỏ b ) thì tổng trên sẽ giảm đi a + b và tăng thêm a -b (hoặc b - a). 

=> Tổng trên sẽ giảm đi a + b - (a - b) = 2.b hoặc a + b - (b - a) = 2.a. Mà 2.a và 2.b luôn là số chẵn => Mỗi lần xóa 2 số bất kỳ và thay bằng hiệu thì Tổng ban đầu sẽ luôn giảm đi một số chẵn, mà tổng ban đầu là số lẻ (45) nên không thể trừ số 45 cho các số chẵn để được 0 được (vì 0 là số chẵn).

Vậy không có cách nào để có kết quả tổng = 0 được.

Ta có : \(3^{1000}=9^{500}< 10^{500}\)nên nó có không quá 500 chữ số 

Kí hiệu tổng các chữ số của n là \(S\left(n\right)\), ta có :

\(a=S\left(3^{1000}\right)\le9.500=4500,b=S\left(a\right)< 4+9+9+9=31\)

Ta có một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9

Mà \(3^{1000}⋮9\Rightarrow\left(a;b;c\right)⋮9\)

\(\Rightarrow b\in\left\{9;18;27\right\}\), trong cả ba trường hợp ta đều có : \(c=S\left(b\right)=9\)

Vậy \(c=9\)

Vì a=b, b=c => a=c

vậy c= 3¹⁰⁰⁰