Ta có 4S=\(a\sqrt[3]{8.8.\left(b^2+c^2\right)}+b\sqrt[3]{8.8.\left(c^2+a^2\right)}+c.\sqrt[3]{8.8\left(a^2+b^2\right)}\)

Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\sqrt[3]{8.8.\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{8+8+b^2+c^2}{3}\Rightarrow a\sqrt[3]{8.8.\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{16}{3}a+\frac{1}{3}\left(ab^2+ac^2\right)\)

Tương tự, rồi cộng lại, ta có 

\(4S\le\frac{16}{3}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{3}\left(ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2\right)\)

Mà \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=6\)

\(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{2}{3}.6.12=48\)

=> \(4S\le\frac{16}{3}.6+\frac{1}{3}.48=48\Rightarrow S\le12\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c=2

^_^

bài này dùng holder 3 số là nhanh nhất

Bạn làm theo cách này nhé, sẽ ngắn gọn hơn !

A B C D H

Hạ đường cao AH của \(\Delta\)ABC.

Ta có: ^ADH là góc ngoài của \(\Delta\)ADB => ^ADH = ^ABD + ^BAD = 30⁰ + 15⁰ = 45⁰

Xét \(\Delta\)AHD có: ^AHD=90⁰; ^ADH=45⁰ => \(\Delta\)AHD vuông cân tại H => HD = AH. 

Dễ thấy: \(\Delta\)AHB là tam giác nửa đều => AH=1/2.AB => HD=1/2.AB

\(\Delta\)AHC cũng là tam giác nửa đều => HC=1/2.AC

=> HD + HC = 1/2 (AB+AC) => CD = (AB+AC)/2

=> AC + CD = AC +  (AB+AC)/2. Do \(\Delta\)ABC nửa đều => AC=BC/2

=> AC + CD = BC/2 + (AB+AC)/2 = C_ABC/2 (đpcm).

A B C D E I H K

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại E. DE giao AB ở I

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên CD và DE

Xét \(\Delta\)BID và \(\Delta\)AIE: ^BDI = ^EAI = 90⁰; ^BID = ^AIE (Đối đỉnh)

=> ^DBI = ^AEI hay ^HBA = ^KEA

Ta có: ^HAB + ^HBA =90⁰; ^KAE + ^KEA = 90⁰. Mà ^HBA=^KEA => ^HAB = ^KAE.

Ta thấy: ^ADC là góc ngoài \(\Delta\)BAD => ^ADC = ^BAD + ^ABD = 30⁰ + 15⁰ = 45⁰

Mà ^CDE = 90⁰ = .^CDE= 2.^ADC => DA là phân giác ^CDE

Do H và K là hình chiếu của A lên CD và DE => AH=AK (T/c đường phân giác)

Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AKE: AH=AK; ^AHB = ^AKE =90⁰; ^HAB = ^KAE (cmt)

=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)AKE (g.c.g)  => AB=AE (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)CDE: ^CDE=90⁰; ^DCE=60⁰ => \(\Delta\)CDE là tam giác nửa đều

= > \(CD=\frac{CE}{2}=\frac{AC+AE}{2}=\frac{AB+AC}{2}\)(Do AB=AE)

\(\Leftrightarrow AC+CD=AC+\frac{AB+AC}{2}\)(1)

Mặt khác \(\Delta\)ABC là tam giác nửa đều => \(AC=\frac{BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AC+CD=\frac{BC}{2}+\frac{AB+AC}{2}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{C_{\Delta ABC}}{2}\)

=> ĐPCM.

Ta có : M là trung điểm AB 

           N là trung điểm AC

=) MN là đường trung bình tam giác ABC ( Đối diện cạnh BC )

=) MN // BC và MN = BC : 2  =) 2MN = BC

A B C M N D

Trên tia đối của tia \(NM,\)lấy điểm D sao cho \(NM=ND\Rightarrow2MN=MD\)

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta CND:\)

\(AN=CN\)( N là trung điểm AC )

\(\widehat{ANM}=\widehat{CND}\)(Đối đỉnh )

\(NM=ND\)(Hình vẽ )

\(\Rightarrow\Delta ANM=\Delta CND\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AM=CD\Rightarrow CD=MB\left(=AM=\frac{1}{2}AB\right)\\\widehat{AMN}=\widehat{CDN}\Rightarrow CD\text{//}AM\Rightarrow CD\text{//}MB\Rightarrow\widehat{CDB}=\widehat{MBD}\left(góc.so.le.trong\right)\end{cases}}\)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta CDB\)

Cạnh DB chung

\(\widehat{MBD}=\widehat{CDB}\)

\(MB=CD\)(chứng minh trên )

\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta CDB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}MD=BC\Rightarrow BC=2MN\left(=MD\right)\\\widehat{MDB}=\widehat{CBD}\end{cases}}\)

Mà \(\widehat{MDB}\)và \(\widehat{CBD}\)là 2 góc so le trong \(\Rightarrow MD\text{//}BC\)hay \(MN\text{//}BC\)

Vậy \(MN\text{//}BC;BC=2MN.\)

(x+1)(x-2)(x+6)(x-3)=45x²

<=>(x+1)(x+6)(x-2)(x-3)=45x²

<=>(x²+7x+6)(x²-5x+6)=45x²

Đặt t=x²+7x+6 ta được:

t.(t-12x)=45x²

<=>t²-12xt=45x²

<=>45x²+12xt-t²=0

<=>45x²-3xt+15xt-t²=0

<=>3x.(15x-t)+t.(15x-t)=0

<=>(3x+t)(15x-t)=0

<=>3x=-t hoặc 15x=t

Với 3x=-t =>3x=-x²-7x-6

=>x²+10x+6=0

=>\(x_1=-5+\sqrt{19};x_2=-5-\sqrt{19}\) (loại cả 2 nghiệm) (bài này dài vs lại lớp 9 nên làm tắt chắc cũng dc)

Với 15x=t

=>15x=x²+7x+6

=>x²-8x+6=0

=>\(x_1=4-\sqrt{10};x_2=4+\sqrt{10}\)(loại cả 2 nghiệm)

Vậy PT ko có nghiệm nguyên nào

Giải:
Gọi số vịt là a (a < 200)
Vì hàng 5 xếp thiếu một con nên a chia cho 5 thiếu 1, do đó a có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9
Vì hàng 2, hàng 4 xếp không được nên a không chia hết cho 2 và cho 4
Nên a không có chữ số tận cùng là 4. Vậy a có chữ số tận cùng là 9
Vì số vịt xếp được thành hàng 7 nên a chia hết cho 7
Ta xét các bội của 7 có chữ số tận cùng là 9 ta có
7. 7 = 49 ( thoả mãn đầu bài)
7. 17 = 119 (Loại vì chia cho 3 dư 2)
7. 27 = 189 (Loại vì chia hết cho 3)
7 . 37 = 259 (Loại vì lớn hơn 200)
Vậy số vịt cần tìm là 49 con

Gọi số vịt là x(x thuộc N*,x<200 con)

x-1 chia hết cho 3                                                    x-1-48 chia hết cho 3            

x+1 chia hết cho 5                                     suy ra    x+1 chia hết cho 5

x chia hết cho 7                                                       x chia hết cho 7

suy ra x-49 chia hết cho 3

x-49 chia hết cho 5

x chia hết cho 7

suy ra x-49 thuộc BC(3,5)

BCNN(3,5)=15

x-49 thuộc BC(3,5)=(15;30;45;60;75;90;105;120;135;150;165;180;195;210;...)

x=(64;79;94;109;124;139;154;169;184;199;214;...)

Vì x chia hết cho 7 và x < 200 nên x=154(thỏa mãn)

Vậy đàn vịt có 154 con.

Bài này là giáo viên dạy mk đó.

Dễ mà, bài này trên lớp cậu đã hỏi mình đâu ?

                                                                  Giải

A = \(\left(\frac{10}{a^m}+\frac{9}{a^n}\right)+\frac{1}{a^n}\)                         ;             B = \(\left(\frac{10}{a^m}+\frac{9}{a^n}\right)+\frac{1}{a^m}\)

Muốn so sánh A với B chỉ cần so sánh \(\frac{1}{a^m}\) và \(\frac{1}{a^n}\)

Xét các trường hợp:

TH1: a = 1 thì a^m=aⁿ do đó A=B

TH2: a \(\ne\) 1 thì xét m và n

- Nếu m = n thì a^m = aⁿ do đó A=B

- Nếu m < n thì a^m < aⁿ do đó \(\frac{1}{a^m}\) > \(\frac{1}{a^n}\) ; vậy A<B

- Nếu m > n thì a^m > aⁿ do đó \(\frac{1}{a^m}\) < \(\frac{1}{a^n}\) ; vậy A>B

vì đã chọn đúng cho việt quá 3 lần trong hai ngày !!!

M B C D A H K

Kẻ BH và DK cùng vuông góc với AI.

Ta có  \(\widehat{HIB}=\widehat{KAD}\)  (so le trong) nên \(\Delta HIB\sim\Delta KAD\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{DK}=\frac{BI}{AD}=\frac{BI}{BC}=\frac{1}{2}\)

Lại có: \(S_{ABM}=\frac{1}{2}.m.BH\Rightarrow BH=\frac{2b}{m}\)

Tương tự \(DK=\frac{2d}{m}\)

Suy ra d = 2b hay \(d^2=4b^2.\).

Gọi độ dài cạnh của hình vuông ABCD là a thì BI = a/2.

Xét tam giác vuông ABI, đường cao BH ta có: \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BI^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{2b}{m}\right)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{m^2}{4b^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow a^2=\frac{4.5b^2}{m^2}=\frac{4}{m^2}\left(4b^2+b^2\right)=\frac{4}{m^2}\left(d^2+b^2\right)\)

Vậy \(S_{ABCD}=\frac{4}{m^2}\left(d^2+b^2\right).\)

\(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)

\(\Rightarrow3\left(x-3\right)^2\le33\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le11\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=\left\{0;1;4;9\right\}\)

Thế lần lược vô giải tiếp sẽ ra

Áp dụng với 6y^2 thì còn ngắn hơn nữa

Ta có:

\(xy+yz+zx=4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)

\(P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)

\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

áp dụng cô si sháp cho 4 số ta được :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\)  Luôn đúng , ( tự chứng minh )

\(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d}\) luôn luôn đúng

áp dụng vào  P ta được như sau

\(\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) luôn đúng :))

\(\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng tất cả vào ta được

\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)

Thèo đề \(xy+yz+xz=4xyz\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz+xyz+xyz+xyz\)

Tao cũng éo hiểu tại sao nó = nhau được

1 đề sai  , 2 tao sai thế thôi

Phân số chỉ số bình trà bán lúc sau là: 

        \(1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)   (tổng số bình trà)

Số tiền lãi của một bình khi bán giá 10 000 đồng là:

       10 000 - 7 000 = 3 000 (đồng)

Số tiền lãi của một bình khi bán giá 9 000 đồng là:

       9 000 - 7 000 = 2 000 (đồng)

Giả sử người đó bán 5 bình, lần đầu bán 4 bình, lần sau bán 1 bình.

Khi đó số tiền lãi người đó thu được là:

     4 x 3 000 + 1 x 2 000 = 14 000 (đồng)

Số tiền lãi thực tế gấp số tiền trên số lần là:

    560 000 : 14 000 = 40 (lần)

Vậy tổng số bình trà mà người đó đã bán là:

   5 x 40 = 200 (bình)

                   Đáp số: 200 bình. 

200 bình nhé ok