Bài này tương tự như bài cô đã chứng minh. 

Gọi các điểm thỏa mãn yêu cầu có tọa độ \(\left(0;b\right)\)

Khi đó hệ sau có nghiệm nguyên \(\hept{\begin{cases}x+2b=6\\2x-3b=4\end{cases}\Rightarrow6-2b;\frac{4+3b}{2}\in Z.}\)

b nguyên nên 6 - 2b nguyên là hiển nhiên. Để \(\frac{4+3b}{2}\in Z\) thì b = 2k.

Vậy các điểm thỏa mãn sẽ có tọa độ là (0;2k)  (\(k\in Z\) ).

cái này dễ mỗi tội tớ k biết làm

Dựng đói xứng là ra, Có trong sách nâng cao lớp 8 bài đối xứng trục, chỉ thay đổi một chút

Ta có: \(n^4+\frac{1}{4}=\frac{4n^4+1}{4}=\left(2n^2+2n+1\right)\left(2n^2-2n+1\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(A=\frac{\frac{3.5}{4}.\frac{13.25}{4}...\frac{1625.1741}{4}}{\frac{5.13}{4}.\frac{25.41}{4}...\frac{1741.1861}{4}}=\frac{3}{1861}\)

Ta có :

    \(n^4+\frac{1}{4}=\frac{4n^4+1}{4}\)

               \(=\left(2n^2+2n+1\right)\left(2n^2-2n+1\right)\)

   áp dụng theo đầubài của bài toán 

        Ta có :

            \(=\frac{\frac{3\times5}{4}\times\frac{13\times25}{4}\times...\times\frac{1625\times1741}{4}}{\frac{5\times13}{4}\times\frac{25\times41}{4}\times...\times\frac{1741\times1861}{4}}=\frac{3}{1861}\)

   \(A=\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\))

= \(2+x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

= \(2+\left(x+\frac{1}{2x}\right)+\left(y+\frac{1}{2y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\ge2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{1}{2}.\left(\frac{4}{x+y}\right)+2\)

Ta có bất đẳng thức sau:  \(2.\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

=>  \(2\ge\left(x+y\right)^2\)

=> \(x+y\le\sqrt{2}\)

Thay vào => \(A\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{2}.\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)\)

                      \(=4+3\sqrt{2}\) 

DẤU = XẢY RA KHI X = Y = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

đáp án đúng là 1/4 nha mấy bạn 

Đặt \(x^3=z\), ta có phương trình \(x^2+yz-y^3-2y^2=0\) (1)

Do x nguyên nên x³ nguyên hay z nguyên.

Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì  \(\Delta\) phải là số chính phương.

\(\Delta=y^2+4\left(y^3+2y^2\right)=4y^3+9y^2\)

Vậy nên \(4y^3+9y^2=t^2\left(t\in Z\right)\)

Do \(t⋮y\Rightarrow t=ky\)

Phương trình trở thành \(4y^3+9y^2=k^2y^2\Rightarrow4y+9=k^2\)

VT là số lẻ nên k² là số lẻ hay k cũng là số lẻ, đặt k = 2j + 1

Ta có \(4y+9=\left(2j+1\right)^2\Rightarrow y=\left(j-1\right)\left(j+2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{4\left(j-1\right)^3\left(j+2\right)^3+9\left(j-1\right)^2\left(j+2\right)^2}\)

\(=\left(j-1\right)\left(j+2\right)\sqrt{4\left(j-1\right)\left(j+2\right)+9}\)

\(=\left(j-1\right)\left(j+2\right)\left(2j+1\right)\)

\(\Rightarrow z=\frac{-y+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-\left(j-1\right)\left(j+2\right)+\left(j-1\right)\left(j+2\right)\left(2j+1\right)}{2}=\left(j-1\right)j\left(j+2\right)\)

Ta thấy \(\left(j-1\right)^3< \left(j-1\right)j\left(j+2\right)< \left(j+1\right)^3\)

\(\Rightarrow z=j^3\Rightarrow x^3=j^3\Rightarrow x=j\)

Thay vào phương trình ta có \(\left(j-1\right)^3\left(j+2\right)^3+2\left(j-1\right)^2\left(j+2\right)^2=j^6+j^3\left(j-1\right)\left(j+2\right)\)

Từ đó ta tìm được x = j = 2.

Vậy thì y = 4.

Ta có cặp (x ; y) = (2; 4)

Bài Trang hướng làm thì đúng nhưng bài làm thì sai. Mình chỉnh lại nhé.

Dễ thấy \(x=0\) không phải nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của cả 2 hệ cho \(x^2\)ta được

\(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x^2}+\frac{y^2}{x}=6\\\frac{1}{x^2}+y^2=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}\left(\frac{1}{x}+y\right)=6\\\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2y}{x}+y^2\right)-\frac{2y}{x}=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}\left(\frac{1}{x}+y\right)=6\\\left(\frac{1}{x}+y\right)^2-\frac{2y}{x}=5\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}=a\\\frac{1}{x}+y=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=6\\b^2-2a=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b^2-5}{2}.b=6\\a=\frac{b^2-5}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b^3-5b-12=0\\a=\frac{b^2-5}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}=2\\\frac{1}{x}+y=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\\frac{1}{x}+2x=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\2x^2-3x+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}or\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}}\)

nhận thấy x=0 k là nghiệm của phương trình chia hệ phương trình cho x^2 ta được: 
(y/x^2)+(y^2/x)=6 
và (1/x^2)+y^2=5 
<=>(y/x)(1/x +y)=6 
(1/x +y)^2 -2(y/x)-5=0 
đặt u=(1/x +y) ; v=y/x khi đó ta có: 
uv=6 
và u^2 -2v-5=0 
<=>u=6/v 
và u^2- 12/u -5=0 (1) 
(1)<=> u^3 -5u-12 =0 
<=>u=3 =>v=2 
với u=3 v=2 ta có: 
(1/x +y)=3 
và y/x =2 
<=>2x^2 -3x+1 =0 
và y=2x 
<=>x=1: y=1/2 hoặc x=1/2; y=1 
Làm bài tốt na! Nhớ mk đó!! 

n={2,6,4,2}

n=(2;6;4)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\1-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\le1\end{cases}\Rightarrow0\le x\le1.}\)

\(pt\Leftrightarrow2x\sqrt{x}+\sqrt{x\left(1-x\right)}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}+\left(1-x\right)\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}+\sqrt{x}-x\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}+x\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}=0\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}+\left(x-1\right)\sqrt{1-x}=0\)

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{1-x}=b\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2=1\\a^3-b^3=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)=0\Rightarrow\left(a-b\right)\left(1+ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\ab=-1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{1-x}\\\sqrt{x\left(1-x\right)}=-1\end{cases}\Rightarrow}}\) \(x=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)

Vậy \(x=\frac{1}{2}.\)

x=1/2 do nha

                                            20cm²

20cm2

Lấy 100 gam gạo và 1 quả cân đẻ  qua 2 bên cân, còn lại 500 gam gạo, sau đó để ra ngoài.

Lấy 500 gam gạo còn lại chia đôi ra 2 cân, mỗi bên có 250 gam gạo, sau đó để ra ngoài.

Lấy 100 gam gạo lúc đầu với 250 gam gạo sẽ có được 350 gam gạo.

Nguyễn Đình Toàn đúng đó

Bạn Cúc Hường xem đi nha

Cách làm của bạn Toàn rất chính xác

Chúc bạn học tốt!