Gọi \(\overrightarrow{1a}=\left(x;\frac{1}{x}\right);\overrightarrow{b}=\left(y;\frac{1}{y}\right);\overrightarrow{c}=\left(z;\frac{1}{z}\right)\)

Ta có:

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{c}\right|\)

\(\ge\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{1^2+\frac{9^2}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)

Áp dụng BDT MInkopki

VT\(\ge\)\(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{82}\)

BDT minkopki

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge\sqrt{\left(a+c+e\right)^2+\left(b+d+f\right)^2}\)

Vì chữ số tận cùng của \(a^2\)là 4 nên chữ số tận cùng của \(a\)là 2 hoặc 8.

Nếu chữ số tận cùng của \(a\)là 2 thì 2 số tận cùng của a có dạng \(\overline{x2}\)

\(\overline{x2}=10x+2\)

\(\Rightarrow\left(\overline{x2}\right)^2=\left(10x+2\right)^2=100x^2+40x+4\equiv40x+4\left(mod100\right)\equiv64\left(mod100\right)\)

Ta có: 

\(40.1+4\le40x+4\le40.9+4\)

\(\Leftrightarrow44\le40x+4\le364\)

\(\Rightarrow\left(40x+4\right)=\left(64;164;264;364\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(4;9\right)\)

Hai số tận cùng của a là: 42; 92.

Tương tự cho trường hợp còn lại.

58 nha

Đặt \(f\left(\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)=a,g\left(\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)=b\)

Theo định lý Bezout=>\(f\left(x\right)=\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right).h\left(x\right)+a\)(1)

\(g\left(x\right)=\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right).k\left(x\right)+b\)(2)

Theo bài ra: \(\frac{a}{b}=\sqrt{2}=>a=\sqrt{2}b\)

Từ (2)=>\(b=g\left(x\right)-\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right)k\left(x\right)\)

Thay vào (1) ta được: \(f\left(x\right)=\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right).h\left(x\right)+\sqrt{2}.\left[g\left(x\right)-\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right)k\left(x\right)\right]\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right).\left[h\left(x\right)-\sqrt{2}k\left(x\right)\right]+\sqrt{2}.g\left(x\right)\)

Xét x=1=> \(f\left(1\right)=\left(1-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right).\left[h\left(1\right)-\sqrt{2}k\left(1\right)\right]+\sqrt{2}.g\left(1\right)\)

Vì f(1) là số nguyên, \(\left(1-\sqrt{2}-\sqrt{7}\right).\left[h\left(1\right)-\sqrt{2}k\left(1\right)\right]\)và \(\sqrt{2}g\left(x\right)\)là số hữu tỉ

=>Vô lí

Vậy ko có đa thức f(x) và g(x) thoả mãn phương trình

:| I don't know

Mình dùng máy casio nhé bạn.

KQ; 0,6151214812.

Bạn có cần cách làm không?

Dễ dàng thấy được a, b phải cùng tính chẵn lẻ.

Ta đặt \(\hept{\begin{cases}a^5+b=2^x\left(1\right)\\b^5+a=2^y\left(2\right)\end{cases}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y\in N;x,y>0\\x+y=c\end{cases}}\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\)

Lấy (1) - (2) ta được

\(a^5+b-b^5-a=2^x-2^y\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4-1\right)=2^y\left(2^{x-y}-1\right)\)

Ta thấy rằng \(\hept{\begin{cases}a-b:chan\\a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4-1:le\end{cases}}\)

Ta xét 2 TH: 

TH 1: \(a=b\)

\(\Rightarrow a^5+a=2^x\)

Với \(a=1\)\(\Rightarrow x=1\)(nhận) 

Với \(a>1\)

\(\Rightarrow a\left(a^4+1\right)=2^x\) (loại vì \(a,\left(a^4+1\right)\)trong 2 số này sẽ có ít nhất 1 số lẻ)

TH 2: \(a\ne b\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a-b:chan\\a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4-1:le\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=k.2^y\\a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4-1=\frac{2^{x-y}-1}{k}\end{cases}}\)(với k là số nguyên dương)

Ta có: \(a-b=k.\left(b^5+a\right)>a+b>a-b\)(loại)

Vậy ta có 1 bộ nghiệm duy nhất là: \(\left(a,b,c\right)=\left(1,1,2\right)\)

cái đoạn a-b=k(b^5+a) em k hiểu cho lắm ạ,anh giảng lại dc k

viết tạm vào đây vậy 

sau khi nhân ra ta có ...và Áp dụng bu nhi ta có 

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

=> \(\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)=xy+xz+\left(y+z\right)\sqrt{yz}\)

mà \(y+z\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(y+z\right)\sqrt{yz}\ge2yz\)

=> \(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}{x}\ge y+z+\frac{2yz}{x}\)

mấy cái kia tương tự rồi cộng vào

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

\(=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\le3-\frac{9}{3+x+y+z}=3-\frac{9}{3+1}=\frac{3}{4}\)

= 1+x+1+y+1+z

= 3+x+y+z

=3+1=4