=> 2x² - 2y² + x - y = y²

=> 2(x² - y²) + (x - y) = y²

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y²

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y²  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y² = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d² => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y² - 3x² + y - x = -x²

=> 3(x² - y²) + (x - y) = x²

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x²

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x² là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

=> 2x² - 2y² + x - y = y²

=> 2(x² - y²) + (x - y) = y²

=> 2.(x - y).(x+y) + (x - y) = y²

=> (x - y).(2x+ 2y + 1) = y²  là số chính phương  (*)

Nhận xét: x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau  (**)  vì: 

Gọi d = ƯCLN(x - y; 2x + 2y + 1) 

=> x- y ; 2x + 2y + 1 chia hết cho d

=> y² = (x - y).(2x+ 2y+ 1) chia hết cho d² => y chia hết cho d

và  (2x+ 2y+ 1) - 2(x - y)  chia hết cho d =>  4y + 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d hay d = 1

Từ (*)(**) => x - y và 2x + 2y + 1 là số chính phương

Tương tự: có 3y² - 3x² + y - x = -x²

=> 3(x² - y²) + (x - y) = x²

=> 3(x - y)(x+y) + (x - y) = x²

=> (x - y).(3x+ 3y + 1) = x² là số chính phương 

Mà x - y là số chính phương nên 3x + 3y + 1 là số chonhs phương

=> ĐPCM

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(x-3+5-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\)

Lại có: \(VP=x^2-8x+18=x^2-8x+16+2\)

\(=\left(x-4\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow VT\le VP=2\)

Xảy ra khi \(VT=VP=2\Rightarrow x=4\)

Ta có: \(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=x^2-8x+18\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-8x+18\) (với điều kiện: \(x^2=\sqrt{x-3};y^2=\sqrt{5-x}\))

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-\left(80+x\right)+18\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-\left(80+18\right)+x\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=x^2-\left(98+x\right)\)

Giả sử \(98+x=100\Rightarrow\)khi đó \(x=100-98=2\)

Nhưng vì \(x^2\Rightarrow x=2^2=4\)

Ps: Mới học lớp 6 thôi!

Ta có:

\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000.2002}}}}\)

\(=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999\sqrt{2001^2-1}}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999.2001}}}}\)

\(........................................\)

\(< \sqrt{2.4}=\sqrt{8}< 3\)

Ta có:

√2√3√4...√2000

<√2√3√4...√2000.2002

=√2√3√4...√1999√20012−1

<√2√3√4...√1999.2001

........................................

<√2.4=√8<3

Gọi nửa quãng đường là \(x\) thì cả quãng đường là \(2x\).

Thời gian người đó đ nửa quãng đường đầu là: \(\frac{x}{45}\), đi nửa quãng đường sau là \(\frac{x}{v_2}\) .

Thời gian người đó đi cả quãng đường là: \(\frac{2x}{36}\).

Vậy ta có: \(\frac{x}{45}+\frac{x}{v_2}=\frac{2x}{36}\)

   \(\Rightarrow\frac{1}{45}+\frac{1}{v_2}=\frac{1}{18}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{v_2}=\frac{1}{18}-\frac{1}{45}=\frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow v_2=30\)

Vận tốc trung bình trên cả đoạn đường : 

vtb=S / S2.v1+S2.v2=2.v1.v2 / v1+v2.(km/h)
Mà vtb = 8, v1 = 12 nên v2 = 6 km/h.

Từ giả thiết ta có thể viết \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\left(x+1\right)+5\)    (1) 

Và \(f\left(x\right)=h\left(x\right)\left(x-2\right)+7\)   (2) 

Do (x + 1)(x - 2) là đa thức bậc 2 nên số dư là đa thức bậc 1. Tức là:

\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)t\left(x\right)+ax+b\)    (Với g(x) , h(x), t(x) là các đa thức)

Ta có \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)t\left(x\right)+a\left(x+1\right)+b-a=\left(x+1\right)\left[\left(x-2\right)t\left(x\right)+a\right]+b-a\)

Theo (1) thì b - a = 5.

Ta cũng có :

\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)t\left(x\right)+a\left(x-2\right)+b+2a=\left(x-2\right)\left[\left(x+1\right)t\left(x\right)+a\right]+b+2a\)

Theo (2) thì b + 2a = 7.

Từ đó ta tìm được \(a=\frac{2}{3};b=\frac{17}{3}\)

a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)

Ta có \(\frac{ax+by}{za+bt}=\frac{bkx+by}{bkz+bt}=\frac{b\left(kx+y\right)}{b\left(kz+t\right)}=\frac{kx+y}{kz+t}\)(1)

\(\frac{cx+yd}{cz+dt}=\frac{dkx+yd}{dkz+dt}=\frac{d\left(kx+y\right)}{d\left(kz+t\right)}=\frac{kx+y}{kz+t}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm.

b) Đặt \(\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=k\Rightarrow a=a_1k;b=b_1k;c=c_1k\)thay vào p;

=> \(p=\frac{a_1kx^2+b_1kx+c_1k}{a_1x^2+b_1x+c_1}=\frac{k\left(a_1x^2+b_1x+c\right)}{a_1x^2+b_1x+c_1}=k\)

Vậy p không phụ thuộc x.

cái này làm thế này 

Có hai trường hợp \(\widehat{IEC}=90^o\): hoặc \(\widehat{EIC}=90^o\) 

TH1: Tam giác IEC vuông tại E

Đường tròn c: Đường tròn qua E với tâm I Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [I, E] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [I, C] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [B, I] A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l

Do I là tâm đường tròn nội tiếp nên BI, CI là các phân giác.

Xét tam giác IBC, có IE là đường cao đồng thời là trung tuyến nên nó là tam giác cân tại I. Vậy \(\widehat{IBE}=\widehat{ICE}\Rightarrow2.\widehat{IBE}=2.\widehat{ICE}\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Vậy ABC là tam giác vuông cân hay \(\frac{AB}{AC}=1;\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

TH2: Tam giác IEC vuông tại I.

Đường tròn d: Đường tròn qua D với tâm I Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [I, E] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [I, C] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [B, I] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [I, E'] A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) A = (-2.96, 2.66) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) C = (7.69, 2.52) Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm B: Điểm trên g Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm E: Trung điểm của h Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm I: Giao điểm đường của j, l Điểm E': E đối xứng qua q Điểm E': E đối xứng qua q Điểm E': E đối xứng qua q

Ta thấy \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Xét tam giác IBC , ta có \(\widehat{BIE}=180^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)-\widehat{CIE}=180^o-45^o-90^o=45^o\)

Trên AB lấy điểm E' sao cho BE' = BE. Ta thấy ngay \(\Delta BEI=\Delta BE'I\left(c-g-c\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BIE'}=\widehat{BIE}=45^o\\IE=IE'\end{cases}}\)

Vậy thì \(\widehat{E'IC}=180^o\Rightarrow\) E', I, C thẳng hàng.

Xét tam giác BE'C, theo tính chất đường phân giác trong tam giác thì 

\(\frac{E'I}{IC}=\frac{BE'}{BC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}\)

Vậy thì \(\frac{IE}{IC}=\frac{1}{2}\Rightarrow tan\widehat{BCE'}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{BCE}\approx26^o34'\)

\(\frac{AB}{AC}=tan\widehat{BCA}=\frac{4}{3}\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5};\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}.\)

 a) có nhiều cách chứng minh 
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b) 
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) 
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*) 

ad bđt cô si cho 3 số: 
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a) 
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a) 

nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9 
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c 
- - - 
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) 
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b) 
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b) 

Thấy: M + N = 3 
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số) 
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si) 

=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c 
-------------- 
b) ad bđt Bunhia: 1² = [2.(2x) + 1.y]² ≤ (2²+1²)(4x²+y²) => 4x² + y² ≥ 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi 2x/2 = y/1 và 4x+y = 1 <=> x = y = 1/5 
- - - 
Có thể không cần Bunhia, ad bđt a² + b² ≥ 2ab (*) 
(*) quá hiển nhiên từ (a-b)² ≥ 0 
x² + 1/25 ≥ 2x/5 <=> 4x² ≥ 8x/5 - 4/25 (1*) 
y² + 1/25 ≥ 2y/5 <=> y² ≥ 2y/5 - 1/25 (2*) 

lấy (1*)+(2*) => 4x²+y² ≥ 8x/5+2y/5 - 4/25 - 1/25 = 2(4x+y)/5 - 5/25 = 1/5 (đpcm) 
dấu "=" khi x = y = 1/5 
------------- 
c) ad bđt cô si cho 3 số: 
ab/c + bc/a + ca/b ≥ 3.³√(ab/c)(bc/a)(ca/b) = 3.³√abc 
- - - - 
nếu như đề đã ghi, thay a = b = c = 2 thì VT = 2+2+2 = 6 < VP = 2.2.2 = 8  

*C/m: \(9(a+b)(b+c)(c+a)\ge8(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-6abc\ge0\)

\(VT=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2\ge6\sqrt[6]{\left(abc\right)^6}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

# Dôn lùng đợi chiều tối về t giải phần căn bậc 4 kia cho :)