Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)

Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)

\(n\in Z^+\)nên n² < n² + 2n < n² + 2n + 1 <=> n² < n(n + 2) < (n + 1)² => n³ < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)³ 

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)

\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)

Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.

Bạn không đọc được chỗ nào thì hỏi mình .

khó quá mình mới lớp 7 thôi

trời bộ bài giề này ko bít làm

Xem lại đề bài nhé b

Gọi số học sinh nữ là x (bạn) (x > 0)

Bạn nữ thứ nhất quen 20 + 1 bn nam

Bạn nữ thứ 2 quen 20 + 2 bn nam

Bn nữ thứ 3 quen 20 + 3 bn nam

...

Bạn nữ thứ x quen 20 + x bạn nam, là tất cả các bạn nam

Ta có phương trình : x + 20 + x = 50

→x=15

Vậy số học sinh nữ là 15 bạn, số học sinh nam là 35 bạn/

• Trần Ngọc Diệp ghê thế

dùng hlt trong tam giác 

CÓ VỀ ĐỀ BÀI SAI Ở CHỖ ĐẲNG THỨC ! 

ab+ba=a.10+b+b.10=(a.10+a)+(b.10+b)

Mà 10 chia hết cho 11; 55 cũng chia hết cho11 => ƯCLN của ab+ba+55=11

ab + ba = a.10 +b.1 + b.10 + a.1

= a.11 + b.11

= ( a+b).11

Mà 55 chia hết cho 11

Suy ra ab+ba chia hết cho 11

Vậy ƯCLN của ab + ba và 55 là 11

Cách 2:
Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị.
TBC của dãy số còn lại là   15 < *4 <36
Vậy chính là 24 (không thể là 34, vì nếu xóa đi số 15 thì TBC lớn nhất cũng chỉ là 27).
TBC của dãy số chính bằng TBC của số đầu và số cuối, chính bằng số ở giữa (nếu dãy số có số hạng là lẽ).
Số Hà xóa là  36.

Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị.
TBC của dãy số còn lại là   15 < *4 <36
Vậy chính là 24 (không thể là 34, vì nếu xóa đi số 15 thì TBC lớn nhất cũng chỉ là 27).
TBC của dãy số chính bằng TBC của số đầu và số cuối, chính bằng số ở giữa (nếu dãy số có số hạng là lẽ).
Số Hà xóa là  36.

hình thì chế tự vẽ nha

kéo dài BH cắt CA tại K

từ DH.DA=DB.DC

\(\Leftrightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DA}\)

từ đó suy ra \(\Delta BDH\)đồng dạng với \(\Delta ADC\left(c.g.c\right)\)

=>góc DAC= góc HBD=góc KBC

mà góc DAC+góc ACB=90 độ

=>góc KBC+góc KCB=90 độ

=>tam giác BKC vuông tại K

=>góc BKC=90 độ

=>BH là đường cao của tam giác ABC

=>H là trực tâm của tam giác ABC

=>đpcm

kéo dài BH cắt CA tại K

từ DH.DA=DB.DC

⇔DHDB =DCDA 

từ đó suy ra ΔBDHđồng dạng với ΔADC(c.g.c)

=>góc DAC= góc HBD=góc KBC

mà góc DAC+góc ACB=90 độ

=>góc KBC+góc KCB=90 độ

=>tam giác BKC vuông tại K

=>góc BKC=90 độ

=>BH là đường cao của tam giác ABC

=>H là trực tâm của tam giác ABC

=>đpcm

~~~~~~~~~~~ai đi ngang qua nhớ để lại k ~~~~~~~~~~~~~

 ~~~~~~~~~~~~ Chúc bạn sớm kiếm được nhiều điểm hỏi đáp ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~ Và chúc các bạn trả lời câu hỏi này kiếm được nhiều k hơn ~~~~~~~~~~~~

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : 

Dễ thấy BĐT đúng với n = 1,2 

Giả sử BĐT đúng với n = k (k là số tự nhiên) , tức \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\) 

Ta sẽ chứng minh BĐT cũng đúng với n = k+1 , tức là \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Ta có : \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)

Cần chứng minh \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Điều này tương đương với \(k\sqrt{k+1}+\sqrt{2}.\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{k+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k^2+3k+2}-\sqrt{2}-k\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{k^2+3k+2}\ge k+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{k^2+3k+2}\right)^2\ge\left(k+\sqrt{2}\right)^2\) (Vì k là số tự nhiên)

\(\Leftrightarrow k^2+3k+2\ge k^2+2\sqrt{2}k+2\)

\(\Leftrightarrow3k\ge2\sqrt{2}k\) (luôn đúng)

Vậy giả thiết quy nạp đúng.

Ta có điều phải chứng minh.

Ngoài cách của Hoàng Lê Bảo Ngọc, mình sẽ giải cho bạn cách khác

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski:

\(\left(x_1+x_2+x_3+...+x_n\right)^2\le n\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2\right)\)

Suy ra ta có:

\(\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\left(1+2+3+...+n\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Do đó:

\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)(đpcm)

dẹp cách bình phương bùng nhùng ta cùng đến với liên hợp hại não :v

\(\sqrt{x^2+x+2}=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+2}-2=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x+2-4}{\sqrt{x^2+x+2}+2}=\frac{3x^2-3x}{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x^2-3x}{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x\left(x-1\right)}{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x}{3x+1}\right)=0\)

Dễ thấy: \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x}{3x+1}>0\forall x\ge-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

cứ tin ở t đi thầy có hỏi thì cứ nói là t ko chịu trách nhiệm :v

ĐKXĐ: \(x\ne-\frac{1}{3}\)

Do \(3x^2+3x+2>0\Rightarrow\) để pt có nghiệm thì \(x>-\frac{1}{3}\)

Ta có: \(\left(3x+1\right)\sqrt{x^2+x+2}=3x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2\left(x^2+x+2\right)=9x^4+6x^2\left(3x+2\right)+9x^2+12x+4\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2+6x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=9x^4+18x^3+21x^2+12x+4\)

\(\Leftrightarrow9x^4+15x^3+25x^2+13x+2=9x^4+18x^3+21x^2+12x+4\)

\(\Leftrightarrow3x^3-4x^2-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(3x+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(n\right)\\x=-\frac{2}{3}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy pt có nghiệm x = 1.