Hình đa giác TenDaGiac1: DaGiac[B, A, 4] Hình đa giác TenDaGiac1: DaGiac[B, A, 4] Hình đa giác TenDaGiac2: DaGiac[A, C, 4] Hình đa giác TenDaGiac2: DaGiac[A, C, 4] Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [B, A] của Hình đa giác TenDaGiac1 Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [A, E] của Hình đa giác TenDaGiac1 Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [E, D] của Hình đa giác TenDaGiac1 Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [D, B] của Hình đa giác TenDaGiac1 Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, C] của Hình đa giác TenDaGiac2 Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [C, F] của Hình đa giác TenDaGiac2 Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [F, G] của Hình đa giác TenDaGiac2 Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [G, A] của Hình đa giác TenDaGiac2 Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [D, C] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, F] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [A, I] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [H, I] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [E, K] Đoạn thẳng j_1: Đoạn thẳng [G, K] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [K, B] Đoạn thẳng l_1: Đoạn thẳng [K, C] Đoạn thẳng m_1: Đoạn thẳng [K, A] A = (0.26, 6.72) A = (0.26, 6.72) A = (0.26, 6.72) B = (-2.2, 1.98) B = (-2.2, 1.98) B = (-2.2, 1.98) C = (5.82, 1.82) C = (5.82, 1.82) C = (5.82, 1.82) Điểm E: DaGiac[B, A, 4] Điểm E: DaGiac[B, A, 4] Điểm E: DaGiac[B, A, 4] Điểm D: DaGiac[B, A, 4] Điểm D: DaGiac[B, A, 4] Điểm D: DaGiac[B, A, 4] Điểm F: DaGiac[A, C, 4] Điểm F: DaGiac[A, C, 4] Điểm F: DaGiac[A, C, 4] Điểm G: DaGiac[A, C, 4] Điểm G: DaGiac[A, C, 4] Điểm G: DaGiac[A, C, 4] Điểm H: Giao điểm của e, g Điểm H: Giao điểm của e, g Điểm H: Giao điểm của e, g Điểm K: Giao điểm của f_1, g_1 Điểm K: Giao điểm của f_1, g_1 Điểm K: Giao điểm của f_1, g_1

Vẽ hình bình hành AEKG.

Do \(\Delta KGA=\Delta BAC\Rightarrow\widehat{AKG}=\widehat{CBA}\), mà \(\widehat{AKG}=\widehat{KAE}\) (So le trong)

Vậy nên \(\widehat{CBA}=\widehat{KAE}\) (1)

Gọi H' là giao điểm của AK với BC. Khi đó ta có \(\widehat{BAH'}+\widehat{EAK}=180^o-\widehat{EAB}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BAH'}+\widehat{ABH'}=90^o\) hay \(AK⊥BC\) hay H' trùng H.

Vậy thì K, A, H thẳng hàng.

Tiếp theo ta chứng minh AK = BC.

Thật vậy, ta thấy \(\Delta KGA=\Delta BAC\left(c-g-c\right)\Rightarrow KA=BC\)

Ta có \(\widehat{EAK}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{EAK}+90^o=\widehat{ABC}+90^o\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{DBC}\)

Vậy nên \(\Delta BAK=\Delta DBC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{BCD}\)

Mà \(\widehat{AKB}+\widehat{KBC}=90^o\Rightarrow\widehat{BCD}+\widehat{KBC}=90^o\)

Suy ra \(CD⊥BK\)

Tương tự \(BF⊥AC\)

Xét tam giác KBC có KH, DC, BF là ba đường cao nên chúng đồng quy. Vậy CD, BF, AH đồng quy.

bài hay quá

Sửa đề: \(1.1!+2.2!+...+16.16!\)

Ta có:

n.n! = (n + 1 - 1).n!

= (n + 1).n! - n!

= (n + 1)! - n!

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\Rightarrow1.1!+2.2!+...+16.16!\)

\(=2!-1!+3!-2!+...+17!-16!\)

\(=17!-1\) 

n.n!=(n+1-1)n!

=(n+1)n!-n!

=(n+1)!-n!

áp dụng vào bài

=>1.1!+2.2!+...+16.16!

=2!-1!+3!-2!+...+17!-16!

=17!-1

A B C M N H P

Cô hướng dẫn nhé.

a. Dễ thấy MN // HP nên NMPH là hình thang.

Xét tam giác vuông AHC có HN  là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên NH = HC = HA. Vậy thì tam giác NCH cân tại N 

\(\Rightarrow\widehat{NHC}=\widehat{NCH}.\)

Do PM // AC nên \(\widehat{MPB}=\widehat{ACB}.\)

Vậy thì \(\widehat{NHC}=\widehat{MPB}\Rightarrow\widehat{NHP}=\widehat{MPH}\)

Vậy hình thang NMPH là hình thang cân.

b. Do NP // AB nên \(HM\perp AB\).

Lại có NMBP là hình bình hành nên NM = PB.

Vậy thì NM + HP = PB + PH = HB.

Xét tam giác AHB có HM là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân. Vậy HA = HB hay HA = MN + HP.

A B C M N

Cho tg ABC vuông tại A, AM là trung tuyến.

Kẻ MN vuông góc AB thì MN // AC. Do M là truung điểm BC nên MN là đường trung bình hay N là trung điểm AB.

Xét tam giác MAB có MN là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó cân tại M hay MA = MB. Mà MA = MC nên ta có MA = MB = MC.

(Chính vì thế nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC)

Đề có nhầm không thế

Theo mình là 5a

a/ \(\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(=x^7+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^7}-\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^7+\frac{1}{x^7}\)

b/ Ta có:

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=49-2=47\)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=343\)

\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)=343\)

\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=343-3.7=322\)

\(\Rightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=47.322=15134\)

\(\Leftrightarrow x^5+\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x^5}=15134\)

\(\Leftrightarrow x^5+\frac{1}{x^5}=15134-7=15127\)

a)\(\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^7+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^7}-x-\frac{1}{x}\)

=\(x^7+\frac{1}{x^7}\)

\(x+\frac{1}{x}=7\)

=>\(x\left(x+\frac{1}{x}\right)=7x\)

=>\(^{x^2-7x+1=0}\)

=>\(x=\frac{7+3\sqrt{5}}{2};x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}loại\)

=>\(x^5+\frac{1}{x^5}=15127\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\ge c\ge0\)

Đầu tiên ta chứng minh 

\(\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+\left(b-c\right)^2\left(b+c-a\right)+\left(c-a\right)^2\left(c+a-b\right)\ge0\left(1\right)\)

Ta xét 2 trường hợp:

TH 1: \(b+c\le a\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-c\ge b-c\\a+c-b\ge b+c-a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-c\right)^2\left(a+c-b\right)\ge\left(b-c\right)^2\left(b+c-a\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\)đúng 

TH 2: \(a+b-c\ge a+c-b\ge b+c-a\ge0\) thì  (1) đúng.

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+\left(b-c\right)^2\left(b+c-a\right)+\left(c-a\right)^2\left(c+a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-a^2b-a^2c-b^2a-b^2c-c^2a-c^2b+3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow3abc\ge\left(a^2b+a^2c-a^3\right)+\left(b^2a+b^2c-b^3\right)+\left(c^2a+c^2b-c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\le3abc\)

Có cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác không ta

f ở đâu thế b. Đang xét hàm P (x) mà. Mà giả sử f (x) chính là P (x) thì với câu này "Biết rằng P(i) = i với mọi i, a_i thuộc Z"

thì kết luận luôn là P(2013) = 2013 chứ làm gì nữa.

nói mày biết à

+ Xét x > 2:

Ta có 2^x hehia hết cho 8.

Xét y lẻ thì ta có 5^y chia cho 8 dư 5 nên 2^x + 5^y chia 8 dư 5 (loại).

Từ đây y chỉ có thế là số chẵn.​

Đặt y = 2k thì ta có:

2^x + 5^2k = a²

^{\(\Leftrightarrow\)}2^x = a² - 5^2k

\(\Leftrightarrow\)2^x = (a - 5^k)(a + 5^k)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-5^k=2^m\\a+5^k=2^n\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=2^{m-1}+2^{n-1}\)

Vì a lẻ nên 1 trong 2 thừa số phải là 1. 

Xét \(2^{m-1}=1\)

\(\Rightarrow m=1\)

Thế ngược lên hệ trên thì ta được

\(\hept{\begin{cases}a-5^k=2\\a+5^k=2^n\end{cases}}\)

\(\Rightarrow5^k=2^{n-1}-1\)

Ta thấy VT chia cho 8 dư 5 hoặc 1 nên VP phải chia cho 8 dư 5 hoặc 1.

Từ đây suy được n = 2.

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=3\end{cases}}\left(l\right)\)

Tương tự cho trường hợp còn lại với n = 1 ta nhận thấy với x > 2 thì không có giá trị thỏa mãn bài toán.

+ Xét \(x\le2\)ta dễ dàng tìm được

\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

wow,mới lớp 5 mà đã hỏi được bài lớp 8 kìa

\(D=x^2+2y^2-2xy-3y+2x-5\)

\(=\left(x^2-2xy+2x+y^2-2y+1\right)+\left(y^2-y-6\right)\)

\(=\left(x-y+1\right)^2+\left(y^2-y-\frac{24}{4}\right)\)

\(=\left(x-y+1\right)^2+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)-\frac{25}{4}\)

\(=\left(x-y+1\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\ge-\frac{25}{4}\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y+1=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(E=\left(3x-1\right)^2-4\left|3x-1\right|+5\)

\(=9x^2-6x+1-4\left|3x-1\right|+5\)

*)Xét \(x\ge\frac{1}{3}\Rightarrow3x-1\ge0\Rightarrow\left|3x-1\right|=3x-1\) thì:

\(E=9x^2-6x+1-4\left(3x-1\right)+5\)

\(=9x^2-6x+6-12x+4\)\(=9x^2-18x+10\)

\(=9x^2-18x+9+1=9\left(x^2-2x+1\right)+1\)

\(=9\left(x-1\right)^2+1\ge1\forall x\)

*)Xét \(x< \frac{1}{3}\Rightarrow3x-1< 0\Rightarrow\left|3x-1\right|=-3x+1\) thì:

\(E=9x^2-6x+1-4\left(-3x+1\right)+5\)

\(=9x^2-6x+6+12x-4=9x^2+6x+2\)

\(=9\left(x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{9}\right)+1=9\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+1\ge1\forall x\)

Ta thấy cả 2 trường hợp đều có Min=1 vậy ta chốt là Min=1 nhé

Đẳng thức xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{3}\\x=1\end{cases}}\)

câu b) hơi dài , tôi làm cách khác

đặt /3x-1/=t

ta có E=\(t^2-4t+5=\left(t^2-4t+4\right)+1=\left(t-2\right)^2+1>=1\)

=>Min E=1 dấu "=" xảy ra khi t-2=0<=>t=2=>/3x-1/=2=>\(\orbr{\begin{cases}3x-1=2\\3x-1=-2\end{cases}< =>\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{1}{3}\end{cases}}}\)