Ta có :

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{25}\right)\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+...+\frac{1}{50}\left(đpcm\right)\)

Ta có

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{25}\right)\)

quá dễ dàng

1. 

\(A=\frac{1}{199}+\frac{2}{198}+...+\frac{199}{1}\)

cộng 1 vào mỗi  phân số trong 198 phân số đầu, trừ phân số cuối đi 198 ta được :

\(A=\left(\frac{1}{199}+1\right)+\left(\frac{2}{198}+1\right)+...+\left(\frac{199}{1}-198\right)\)

\(A=\frac{200}{199}+\frac{200}{198}+...+1\)

\(A=\frac{200}{199}+\frac{200}{198}+...+\frac{200}{200}\)

đưa phân số cuối lên đầu ta được :

\(A=\frac{200}{200}+\frac{200}{199}+\frac{200}{198}+...+\frac{200}{2}\)

\(A=200.\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{199}+\frac{1}{198}+...+\frac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{A}{B}=\frac{200.\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{199}+\frac{1}{198}+...+\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}}=200\)

2. 

\(A=\frac{1}{1.400}+\frac{1}{2.401}+\frac{1}{3.402}+...+\frac{1}{101.500}\)

\(A=\frac{1}{400}.\left(1-\frac{1}{400}\right)+\frac{1}{400}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{401}\right)+\frac{1}{400}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{402}\right)+...+\frac{1}{400}.\left(\frac{1}{101}-\frac{1}{500}\right)\)

\(A=\frac{1}{400}.\left(1-\frac{1}{400}+\frac{1}{2}-\frac{1}{401}+\frac{1}{3}-\frac{1}{402}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{500}\right)\)

\(A=\frac{1}{400}.\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{400}-\frac{1}{401}-\frac{1}{402}-...-\frac{1}{500}\right)\)

\(B=\frac{1}{1.102}+\frac{1}{2.103}+\frac{1}{3.104}+...+\frac{1}{399.500}\)

\(B=\frac{1}{101}.\left(1-\frac{1}{102}\right)+\frac{1}{101}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{103}\right)+\frac{1}{101}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{104}\right)+...+\frac{1}{101}.\left(\frac{1}{399}-\frac{1}{500}\right)\)

\(B=\frac{1}{101}.\left(1-\frac{1}{102}+\frac{1}{2}-\frac{1}{103}+\frac{1}{3}-\frac{1}{104}+...+\frac{1}{399}-\frac{1}{500}\right)\)

\(B=\frac{1}{101}.\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{399}-\frac{1}{102}-\frac{1}{103}-\frac{1}{104}-...-\frac{1}{500}\right)\)

\(B=\frac{1}{101}.\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{399}-\frac{1}{102}-...-\frac{1}{399}-\frac{1}{400}-...-\frac{1}{500}\right)\)

\(B=\frac{1}{101}.\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{400}-...-\frac{1}{500}\right)\)

Ta thấy vế trong ngoặc của hai biểu thức A và B giống nhau, do đó :

\(\frac{A}{B}=\frac{\left(\frac{1}{400}\right)}{\left(\frac{1}{101}\right)}=\frac{101}{400}\)

gọi số tự nhiên đó là a  ( a \(\in\)N* )

Theo bài ra : a chia 7 dư 5   \(\Rightarrow\)a = 7k₁ + 5                ( k₁ \(\in\)N )

                   a chia 13 dư 11 \(\Rightarrow\)a = 13k₂ + 11           ( k₂ \(\in\)N )

\(\Rightarrow\)a + 2 \(⋮\)7

\(\Rightarrow\)a + 2 \(⋮\)13

\(\Rightarrow\)a + 2 \(\in\)BC ( 7 ; 13 )

BCNN ( 7 ; 13 ) = 91

\(\Rightarrow\)a + 2 = B ( 91 ) = 91k₃     ( k₃ \(\in\)N )

\(\Rightarrow\)a = 91k₃ - 2

\(\Rightarrow\)a = 91k₃ - 91 + 89

\(\Rightarrow\)a = 91 . ( k₃ - 1 ) + 89

Vậy a chia 91 có số dư là 89

Gọi số đó là a. Thương là b.

Ta có: a : 7 = b (dư 5)

a : 13 = b (dư 11)

a : 91 = b (dư ?)

Ta thấy rằng 91 gấp 13 lần 7 , 91 gấp 7 lần 13.

Vậy số đó chia 91 dư:

11 x 7 = 77 

hay là 5 x 13 = 65

Đs:

 Không biết đúng không nữa

a b c 
a c c 
d b c 
—---- 
b c c 

Nhìn theo hàng đơn vị: c + c + c → c tức là c nhân 3 được một số tận cùng là c. Có 3 trường hợp: 
a) 3c = c (tức là không có số nhớ) ⇒ c = 0 
b) 3c = 10 + c (tức là nhớ 1) ⇒ c = 5 
c) 3c = 20 + c (tức là nhớ 2) ⇒ c = 10 (loại) 
(Không có TH nào khác vì 3 số có-một-chữ-số cộng lại tối đa là 27) 

Nếu c = 0 (không nhớ): 
----Nhìn hàng chục: b + 0 + b → 0. Tương tự trên có 3 TH: 
a) 2b = 0 ⇒ b = 0 (loại vì kết quả của phép cộng là bcc nên b > 0) 
b) 2b = 10 ⇒ b = 5 (nhớ 1) 
c) 2b = 20 ⇒ b = 10 (loại) 
----Nhìn hàng trăm: a + a + d + 1 = 5 ⇒ 2a + d = 4 ⇒ a < 4/2 = 2 ⇒ a = 1 (vì a > 0 và d > 0) ⇒ d = 2 ⇒ abcd = 1502 

Nếu c = 5 (nhớ 1): 
----Nhìn hàng chục: b + 5 + b + 1 → 5. Tương tự trên có 3 TH: 
a) 2b + 6 = 5 ⇒ b < 0 (loại) 
b) 2b + 6 = 15 ⇒ b không nguyên (loại) 
c) 2b + 6 = 25 ⇒ b không nguyên (loại) 

Vậy có duy nhất một số thỏa mãn đề bài là abcd = 1502

abc + acc + dbc = bcc ( Đk : 0 < a ; d ; b < 10 )

=> abc + a00 + dbc = b00

=> bc + bc = 2 x bc chia hết cho 100
mà 0 < bc <= 99
=> 0 < 2bc < 200
Vậy  bc = 50

Thay vào ta có :
a50 + a00 + d50 = 500
=>a00 + a00 + d00 = 400
=> 2 x a+ d = 4
Vì a và d khác 0 nên a = 1 và d = 2.

Vậy abcd = 1502

Mình nghĩ là bạn chép nhầm đề vì nếu là vô số số 1 thì không thể tính được. Đề đúng phải là:

Cho \(A=\frac{2016^2+1^2}{2016.1}+\frac{2015^2+2^2}{2015.2}+...+\frac{1009^2+1008^2}{1009.1008}\); \(B=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}\)

Tính \(\frac{A}{B}\)

Ta có: \(A=\frac{2016^2+1^2}{2016.1}+\frac{2015^2+2^2}{2015.2}+...+\frac{1009^2+1008^2}{1009.1008}\)

\(=\frac{2016}{1}+\frac{1}{2016}+\frac{2015}{2}+\frac{2}{2015}+...+\frac{1009}{1008}+\frac{1008}{1009}\)

\(=\frac{2016}{1}+\frac{2015}{2}+...+\frac{1}{2016}\)

\(=1+\left(\frac{2015}{2}+1\right)+\left(\frac{2014}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2016}+1\right)\)

\(=1+\frac{2017}{2}+\frac{2017}{3}+...+\frac{2017}{2016}\)

\(=2017\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{A}{B}=\frac{2017\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}}=2017\)

Xem kỹ là số

\(B=\frac{1+1+...+1}{2+3+...+2016}\) hay \(B=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\) nhé b

ta thấy 7^m luôn có dạng 3k+1

do đó 7^m+3=3k+1+3=3(k+1)+1

vậy 2ⁿ có dạng 3(k+1)+1

ta thấy nếu n chẵn thì 2ⁿ có dạng 3k+1

n lẻ thì có dạng 3k+2

mà 2ⁿ theo đề bài cho là có dạng 3(k+1)+1 nên n chẵn.

ta xét nều m=0 thì 7^m =1 thì 2ⁿ=4 và n sẽ bằng n=2 thỏa mãn

ta xét nếu m khác 0 thì 7^m có dạng 2k-1 với k luôn chẵn.mà theo đề bài 7^m=2ⁿ -3=2(2^n-1 -1)-1

                                                                                                           mà 2^n-1 -1 luôn lẻ 

 nên với m khác 0thì không có giá trị nào thỏa mãn.

vậy m=0 và n=2 thì thỏa mãn đề bài   

                                               _duc tuan nguyen-                    ta thấy 7^m luôn có dạng 3k+1

do đó 7^m+3=3k+1+3=3(k+1)+1

vậy 2ⁿ có dạng 3(k+1)+1

ta thấy nếu n chẵn thì 2ⁿ có dạng 3k+1

n lẻ thì có dạng 3k+2

mà 2ⁿ theo đề bài cho là có dạng 3(k+1)+1 nên n chẵn.

ta xét nều m=0 thì 7^m =1 thì 2ⁿ=4 và n sẽ bằng n=2 thỏa mãn

ta xét nếu m khác 0 thì 7^m có dạng 2k-1 với k luôn chẵn.mà theo đề bài 7^m=2ⁿ -3=2(2^n-1 -1)-1

                                                                                                           mà 2^n-1 -1 luôn lẻ 

 nên với m khác 0thì không có giá trị nào thỏa mãn.

vậy m=0 và n=2 thì thỏa mãn đề bài   

                                               _duc tuan nguyen-                    

mình rút gọn

ta xét nều m=0 thì 7^m =1 thì 2ⁿ=4 và n sẽ bằng n=2 thỏa mãn

ta xét nếu m khác 0 thì 7^m có dạng 2k-1 với k luôn chẵn.mà theo đề bài 7^m=2ⁿ -3=2(2^n-1 -1)-1

                                                                                                           mà 2^n-1 -1 luôn lẻ 

 nên với m khác 0thì không có giá trị nào thỏa mãn.

vậy m=0 và n=2 thì thỏa mãn đề bài   

                                               _duc tuan nguyen-                    

Ta thấy \(\frac{3}{4}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2};\frac{5}{36}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2};...\)

Tổng quát:  \(\frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}=\frac{\left(n+1\right)^2-n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

Đặt \(A=\frac{3}{4}+\frac{5}{36}+...+\frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

\(A=1-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

Do \(\left(n+1\right)^2>0\Rightarrow A< 1.\)

Ta xét:

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}\)

Gọi bội chung nhỏ nhất của \(1,2,3,...,2017\) là \(2^{10}.B\) (với B là tích các số nguyên tố khác 2)

Trong các số từ 1 đến 2017 chỉ có 1024 là số duy nhất có thể phân tích thành tích của các lũy thừa của các số nguyên tố trong đó có \(2^{10}\) còn các số còn lại thì tối đa chỉ phân tích được trong tích có tối đa là \(2^9\).

Vậy khi quy đồng tổng \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}\) thì ngoại trừ \(\frac{1}{1024}\)thì sau khi quy đồng có tử là số lẻ. Còn các số khác sẽ có tử đều là số chẵn.

\(\Rightarrow\)\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}=\frac{sl}{sc}\)(sl: Số lẻ; sc: số chẵn)

Ta lại có: \(1+2+3+...+2017=\frac{2017.2018}{2}=2035153=sl\)

\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}\right).\left(1+2+...+2017\right)=\frac{sl}{sc}.sl=\frac{sl}{sc}\)

Ta có tử là số lẻ, mẫu là số chẵn nên tử không bao giờ chia hết cho mẫu 

Vậy A không thể là số nguyên được.

a là số nguyên

Ta có : a⁴ - b⁴ = ( a⁴ - 1 ) - ( b⁴ - 1 )

240 = 2 . 3 . 5 . 8

do đó : ta phải chứng minh : ( a⁴ - 1 ) \(⋮\)240 và ( b⁴ - 1 ) \(⋮\)240

Lại có : ( a⁴ - 1 ) = ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a² + 1 )

Vì a là số nguyên tố > 5 nên a là số lẻ

=> ( a - 1 ) ( a + 1 ) là tích 2 số chẵn liên tiếp nên \(⋮\)8 ( 1 )

do a > 5 nên : 

a = 3k + 1

=> a - 1 = 3k \(⋮\)3

a = 3k + 2                                    ( 2 )

=> a + 1 = 3k \(⋮\)3      

mặt khác vì a là số lẻ => a² là số lẻ

=> a² +1 là số chẵn

nên a² + 1 \(⋮\)2 ( 3 )

a có các dạng :

a = 5k + 1 => a - 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k + 2 => a² + 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k + 3 => a² + 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k + 4 => a - 1 \(⋮\)5 => a⁴ - 1 \(⋮\)5

a = 5k mà p là số nguyên tố nên k = 1

=> a = 5 ( ko thỏa mãn )

=> a⁴ - 1 \(⋮\)5 ( 4 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) => a⁴ - 1 \(⋮\)240

tương tự , ta cũng có b⁴ \(⋮\)240

bài này trong đề thi học sinh giỏi của em họ mình có nè

a/ Ta có

\(200-\left(3+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+...+\frac{2}{100}\right)\)

\(=1+2\left(1-\frac{1}{3}\right)+2\left(1-\frac{1}{4}\right)+...+2\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

\(=1+2\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}\right)\)

Thế lại bài toán ta được:

\(\frac{200-\left(3+\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+...+\frac{2}{100}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}}\)

\(=\frac{2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}}=2\)

b/ Ta có: 

A - B\(=\frac{-21}{10^{2016}}+\frac{12}{10^{2016}}+\frac{21}{10^{2017}}-\frac{12}{10^{2017}}\)

\(=\frac{9}{10^{2017}}-\frac{9}{10^{2016}}< 0\)

Vậy A < B