Giải phương trình chứ chứng minh cái gì

\(\frac{1}{2x-2006}+\frac{1}{3-2007x}+\frac{1}{2006x+2005}=\frac{1}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2x-2006}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{3-2007x}+\frac{1}{2006x+2005}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2008}{\left(2x-2006\right)\left(x+2\right)}+\frac{x-2008}{\left(3-2007x\right)\left(2006x-2005\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2008\right)\left(\frac{1}{\left(2x-2006\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(3-2007x\right)\left(2006x-2005\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2008\right)\left(2008x-1\right)\left(2005x+2003\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2008;x=\frac{1}{2008};x=-\frac{2003}{2005}\)

A B D E C H

a) \(\Delta ABH,\Delta CBA\)có \(\widehat{ABC}\)chung ;\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)nên \(\Delta ABH~\Delta CBA\left(g-g\right)\)

b) Từ câu a,ta có \(\frac{BA}{BC}=\frac{BH}{BA}\)mà \(\frac{BA}{BC}=\frac{EA}{EC}\)(tính chất đường phân giác BE của \(\Delta ABC\))\(\Rightarrow\frac{EA}{EC}=\frac{BH}{AB}\)

c) Ta có : \(\frac{BA}{BC}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow BH=\frac{BA^2}{BC}=\frac{25}{3}\)(cm)

\(\Delta AHB\)vuông tại H có \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{100-\frac{625}{9}}=\frac{5\sqrt{11}}{3}\)(cm) (định lí Pi-ta-go)

Ta có : \(\frac{AD}{DH}=\frac{AB}{BH}\)(tính chất đường phân giác BD của \(\Delta ABH\))

\(\Rightarrow\frac{AD}{10}=\frac{DH}{\frac{25}{3}}=\frac{AD+DH}{10+\frac{25}{3}}=\frac{5\sqrt{11}}{3}:\frac{55}{3}=\frac{1}{\sqrt{11}}\)(cm) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow AD=\frac{10}{\sqrt{11}}\left(cm\right);DH=\frac{25}{3\sqrt{11}}\left(cm\right)\)

Ái chà thời này toán học cao siêu quá còn có trường hợp bằng nhau của tam giác là góc góc :v

Do EF // AM nên \(\frac{EF}{AM}=\frac{CE}{CM}\Rightarrow EF=\frac{CE}{CM}.AM\)

Do AM // EG nên \(\frac{AM}{EG}=\frac{MB}{ME}\Rightarrow EG=\frac{BE}{MB}.AM=\frac{BE}{MC}.AM\)

Vậy nên \(EF+EG=\left(\frac{CE+BE}{MC}\right).AM=\frac{BC}{MC}.AM=2AM.\)

Câu 2/

\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)

Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)

Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.

PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.

tks bn nhé, bn giúp mk câu 1 được ko

111...1222...2 = 111...1. 10ⁿ + 222...2 = 111...1. 10ⁿ + 2. 111...1 (n chữ số 1)

= 111...1.(10ⁿ + 2)  (n chữ số 1)

Nhận xét: 10ⁿ = 999...9 + 1 (n chữ số 9)

= 9. 111...1 + 1 

đặt a = 111...1 => 111...1222...2 = a.(9a +1 + 2) = a.(9a+ 3) = 3a(3a + 1)

hai số 3a ; 3a + 1 là số tự nhiên liên tiếp

=> đpcm

mk cung the

Ta có: \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}-1-\frac{1}{\frac{a}{b}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2-\frac{a}{b}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\\\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}}\)

Thế \(\frac{a}{b}\) vào PT \(x^2-x-1\) ta thấy ĐPCM

ta có:

4s=1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+.........+k(k+1)(k+2)((k+3)-(k-1))

4s=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+........+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)

4s=k(k+1)(k+2)(k+3)

ta biết rằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp khi cộng thêm 1 luôn là 1 số chính phương

=>4s+1 là 1 số chính phương

ta co:1/1*2*3=(1/1*2-1/2*3):2
1/2*3*4=(1/1*2-1/2*3):2
...
cu nhu the cho den:
1/98*99*100=(1/98*99-1/99*100):2
suy ra : 1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+...+1/98*99*100
=(1/1*2-1/2*3):2+(1/2*3-1/3*4):2+...+(1/98*99-1/99*100):2
=(1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+...+1/98*99-1/99*100):2
=(1/1*2-1/99*100):2
=(1/2-1/9900)
=(4950/9000-1/9000):2
=4949/9000:2
=4949/18000
học tốt

+) Nếu x<0 ta có

x^6>0, x^5<0, x^4>0, x^3<0,x^2>0, x<0=>x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x > 0=>x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+3/4>0(trái với đề bài)

+)Nếu x > hoặc =0 thì x^6>x^5, x^4>x^3, x^2>x, 3/4>0 =>x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+3/4>0(trái với đề bài)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

A B C H I K O

Ta có: 

\(\frac{OH}{AH}+\frac{OI}{BI}+\frac{OK}{CK}=\frac{\frac{OH.BC}{2}}{\frac{AH.BC}{2}}+\frac{\frac{OI.AC}{2}}{\frac{BI.AC}{2}}+\frac{\frac{OK.AB}{2}}{\frac{CK.AB}{2}}\)

\(=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{COA}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Đường cao không cần kí hiệu vuông góc ạ?!