Xét \(F+1=ab+bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow F+1=\left(a+c\right)^2+b\left(a+c\right)+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2+b\left(a+c\right)+b^2-F-1=0\left(6\right)\)

Ta coi (6) là pt bậc 2 ẩn \(t=\left(a+c\right)\)

Để (6) có nghiệm thì

\(\Delta=b^2-4.1.\left(b^2-F-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow F\ge-1+\frac{3}{4}b^2\ge-1\)

Dấu = khi b=0 và \(a=-c=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) 

1 bài cực trị hay i it :))

Bạn không sửa thì m sửa.

Sửa đề: \(P=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{2303}{27}}+6}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{2303}{27}}-6}\)

\(P^3=\sqrt{\frac{2303}{27}}+6-\left(\sqrt{\frac{2303}{27}}-6\right)-\frac{3.11.P}{3}\)

\(\Leftrightarrow P^3=12-11P\)

\(\Leftrightarrow P^3+11P-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P^2+P+12\right)=0\)

Vì \(P^2+P+12>0\) nên ta có

\(P=1\)

Đề bạn chép sai rồi. Sửa lại đi b

chịu ????????????????

BẠN ơi bạn có ghi nhầm đề bài ko vậy?

Sửa đề

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=6\\\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}=6\end{cases}}\)

Điều kiện: \(x+y,y+z,z+x\ge0\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=a\\\sqrt{y+z}=b\\\sqrt{z+x}=c\end{cases}}\) thì ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=12\\a+b+c=6\end{cases}}\)

Ma ta có: 

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{36}{3}=12\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(\Rightarrow x=y=z=2\)

Alibaba nguyen dung roi nhung quen chua dat c=\(\sqrt{z+x}\)

Chỉ hướng dẫn câu đại thôi nhé

Theo đề bài thì ta có hai giả thuyết sau

\(\hept{\begin{cases}x_1+y_1=x_2+y_2=...=x_{10}+y_{10}=10\\x_1+x_2+...+x_{10}=y_1+y_2+...+y_{10}\end{cases}}\)

Theo đề bài thì

\(x^2_1+x^2_2+...+x^2_{10}=y_1^2+y^2_2+...+y^2_{10}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2_1-y^2_1\right)+\left(x^2_2-y^2_2\right)+...+\left(x^2_{10}-y^2_{10}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow10\left(x_1-y_1\right)+10\left(x_2-y_2\right)+...+\left(x_{10}-y_{10}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2+...+x_{10}-y_1-y_2-...-y_{10}=0\)ĐPCM 

Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đường tròn d: Đường tròn qua N với tâm I Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [K, M] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [O, M] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [N, I] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [K, O] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, M] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [B, M] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [E, F] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [K, B] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [E, P] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [K, A] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [Q, F] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [Q, P] O = (-104.14, 3867.65) O = (-104.14, 3867.65) O = (-104.14, 3867.65) B = (179.14, 3864.38) B = (179.14, 3864.38) B = (179.14, 3864.38) Điểm A: Giao điểm của c, f Điểm A: Giao điểm của c, f Điểm A: Giao điểm của c, f Điểm K: Giao điểm của c, h Điểm K: Giao điểm của c, h Điểm K: Giao điểm của c, h Điểm N: Điểm trên g Điểm N: Điểm trên g Điểm N: Điểm trên g Điểm M: Giao điểm của c, i Điểm M: Giao điểm của c, i Điểm M: Giao điểm của c, i Điểm I: Giao điểm của k, l Điểm I: Giao điểm của k, l Điểm I: Giao điểm của k, l Điểm E: Giao điểm của d, q Điểm E: Giao điểm của d, q Điểm E: Giao điểm của d, q Điểm F: Giao điểm của d, r Điểm F: Giao điểm của d, r Điểm F: Giao điểm của d, r Điểm P: Giao điểm của a, t Điểm P: Giao điểm của a, t Điểm P: Giao điểm của a, t Điểm Q: Giao điểm của f_1, e Điểm Q: Giao điểm của f_1, e Điểm Q: Giao điểm của f_1, e X

a. Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt OM tại I. Vậy (I; IN) chính là tâm đường tròn cần tìm. 

Ta chỉ cần chứng minh M thuộc (I). Thật vậy, IN // KO (Cùng vuông góc AB) nên \(\widehat{OKM}=\widehat{INM}\) mà \(\widehat{OKM}=\widehat{OMK}\)

Vậy nên \(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\Rightarrow IN=IM\). Vậy M thuộc đường tròn (I).

b. Kẻ tiếp tuyến Mx của hai đường tròn. Khi đó \(\widehat{FEM}=\widehat{FMx}=\widehat{BMx}=\widehat{BAM}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên EF // AB.

c. Ta thấy ngay \(\Delta OKN\sim\Delta KMJ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{KN}{MJ}=\frac{OK}{KM}\Rightarrow KM.KN=MJ.OK=2R^2.\)

d. Coi AK = 1, đặt \(\frac{NB}{AB}=t\Rightarrow\frac{AN}{AB}=1-t;NP=t;NQ=1-t;PQ=\sqrt{t^2+\left(1-t\right)^2}\)

Ta tìm min \(1+\sqrt{2t^2-2t+1}=1+\sqrt{2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}\ge1+\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=\frac{1}{2}\) hay N trùng O.

tks bạn nha !

\(x^4+\sqrt{x^2+2017}=2017\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2+\frac{1}{4}=x^2+2017-\sqrt{x^2+2017}+\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\sqrt{x^2+2017}-\frac{1}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{2}=\sqrt{x^2+2017}-\frac{1}{2}\)(vì \(\sqrt{x^2+2017}>\frac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow x^2-\sqrt{x^2+2017}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2017-\sqrt{x^2+2017}+\frac{1}{4}\right)=\frac{8065}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2017}-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{8065}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2017}=\frac{\sqrt{8065}+1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{\left(\sqrt{8065}+1\right)^2}{4}-2017\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{8065}+1\right)^2}{4}-2017}\\x=-\sqrt{\frac{\left(\sqrt{8065}+1\right)^2}{4}-2017}\end{cases}}\)

Cảm ơn bạn nha

Câu 2/

Điều kiện xác định b tự làm nhé:

\(\frac{6}{x^2-9}+\frac{4}{x^2-11}-\frac{7}{x^2-8}-\frac{3}{x^2-12}=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-25x^2+150=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10\right)\left(x^2-15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=10\\x^2=15\end{cases}}\)

Tới đây b làm tiếp nhé.

a. ĐK: \(\frac{2x-1}{y+2}\ge0\)

Áp dụng bđt Cô-si ta có: \(\sqrt{\frac{y+2}{2x-1}}+\sqrt{\frac{2x-1}{y+2}}\ge2\)

\(\)Dấu bằng xảy ra khi  \(\frac{y+2}{2x-1}=1\Rightarrow y+2=2x-1\Rightarrow y=2x-3\) 

Kết hợp với pt (1) ta tìm được x = -1, y = -5 (tmđk)

b. \(pt\Leftrightarrow\left(\frac{6}{x^2-9}-1\right)+\left(\frac{4}{x^2-11}-1\right)-\left(\frac{7}{x^2-8}-1\right)-\left(\frac{3}{x^2-12}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(15-x^2\right)\left(\frac{1}{x^2-9}+\frac{1}{x^2-11}+\frac{1}{x^2-8}+\frac{1}{x^2-12}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-15=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{15}\\x=-\sqrt{15}\end{cases}}\)

Đường tròn c: Đường tròn qua B_1 với tâm O Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [B, S] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [C, S] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, K] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [B, K] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [A, I] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [K, C] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [E, M] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [M, D] Đoạn thẳng f_1: Đoạn thẳng [E, I] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [D, I] O = (4.6, -0.76) O = (4.6, -0.76) O = (4.6, -0.76) Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm K: Giao điểm của c, f Điểm K: Giao điểm của c, f Điểm K: Giao điểm của c, f Điểm I: Giao điểm của j, g Điểm I: Giao điểm của j, g Điểm I: Giao điểm của j, g Điểm F: Giao điểm của f, k Điểm F: Giao điểm của f, k Điểm F: Giao điểm của f, k Điểm S: Giao điểm của k, l Điểm S: Giao điểm của k, l Điểm S: Giao điểm của k, l Điểm D: Giao điểm của c, k Điểm D: Giao điểm của c, k Điểm D: Giao điểm của c, k Điểm L: Giao điểm của k, m_1 Điểm L: Giao điểm của k, m_1 Điểm L: Giao điểm của k, m_1 Điểm E: Giao điểm của b, q Điểm E: Giao điểm của b, q Điểm E: Giao điểm của b, q Điểm M: Trung điểm của B, C Điểm M: Trung điểm của B, C Điểm M: Trung điểm của B, C

a. Ta thấy ngay tứ giác ABLF có hai góc đối bằng 90⁰ và tứ giác AIFC có \(\widehat{AIC}=\widehat{AFC}=90^o\) nên chúng đều là các tứ giác nội tiếp.

b. Ta thấy đường kính AK vuông góc với dây cung CD tại K nên K là trung điểm CD. Vậy ACD là tam giác cân tại A hay AK là phân giác. Từ đó suy ra cung CK = cung CK hay \(\widehat{LCK}=\widehat{KBC}\)

Vậy thì \(\Delta LCK\sim\Delta CBK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{KL}{KC}=\frac{KC}{KB}\Rightarrow KL.KB=KC^2.\)

c. Ta thấy \(\Delta LFK\sim\Delta LBS\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{LF}{LB}=\frac{LK}{LS}\left(1\right)\)

\(\Delta LCK\sim\Delta LBD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{LK}{LD}=\frac{LC}{LB}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(\frac{LF}{LB}:\frac{LC}{LB}=\frac{LK}{LS}:\frac{LK}{LD}\Rightarrow\frac{LF}{LC}=\frac{LD}{LS}\)

\(\Rightarrow LF.LS=LC.LD\Rightarrow LF\left(SD+DL\right)=\left(LF+FC\right)LD\)

\(\Rightarrow LF.SD+LF.DL=LF.DL+FC.LD\Rightarrow LF.DS=FC.LD\)

\(=\frac{LD}{DS}=\frac{LF}{FC}\left(đpcm\right)\)

\(x^2+6x+1=\left(2x+1\right)\sqrt{x^2+2x+3}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+2x+3}=a\\2x+1=b\end{cases}}\)

Thì ta có:

\(a^2+2b-4=ab\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(b-a-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=b-2\end{cases}}\)

Với a = 2 

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+3}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{2}-1\\x=-\sqrt{2}-1\end{cases}}\)

Với a = b - 2

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+3}=2x-1\)

Bình phương rồi giải tiếp sẽ ra.