ai làm bài này đi

ko biết làm

\(A=\frac{\left(1-\tan^2x\right)^2}{4\tan^2x}-\frac{1}{4\sin^2x.\cos^2x}\)

 \(=\frac{1}{\tan^22x}-\frac{1}{\sin^22x}\)

\(=\frac{\cos^22x}{\sin^22x}-\frac{1}{\sin^22x}\)

\(=\frac{\cos^22x-1}{\sin^22x}=\frac{-\sin^22x}{\sin^22x}=-1\)

Vậy A không phụ thuộc vào x

em chỉ là học sinh lớp 6 thôi ko giúp đc gì cả

Ta có:

\(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{1-a-b+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{1-b-c+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{1-a-c+ca}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)

\(\le\frac{a^2}{2\left(1-a\right)}+\frac{b^2}{2\left(1-b\right)}+\frac{b^2}{2\left(1-b\right)}+\frac{c^2}{2\left(1-c\right)}+\frac{c^2}{2\left(1-c\right)}+\frac{a^2}{2\left(1-a\right)}\)

\(=-\left(\frac{a^2}{a-1}+\frac{b^2}{b-1}+\frac{c^2}{c-1}\right)\)

\(\le-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN là  \(P=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Biến đổi một chút, ta có:\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}\)

\(=\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\cdot\sqrt{\frac{bc}{c+a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có: 

\(\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right);\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{a+b}\right)\)

Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta có:

\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
 

Ta có: 

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\)

\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}=\frac{2\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\sqrt{a}\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}\sqrt{3b+a}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

Với a = b = c = 2 thì ta có cả 3 phương trình đều có dạng.

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)Vậy trong trường hợp này cả 3 phương trình đều chỉ có 1 nghiệm.

Vậy đề bài sai.

Nếu xét các trường hợp khác thì sao alibaba ??

Ta chứng minh

\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\ge0\)(đúng )

Áp đụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+1}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)

đặt x=a/b , y=b/c , z=c/a 

Mình cứ đắn đo câu này mãi. Chắc là bạn chép sai đề. M tự ý sửa đề nếu không phải thì thôi nhé. Sửa đề:

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\sqrt{3}+xy=-1\\x^2+y^2+x+2y=\sqrt{3}+\frac{2}{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+3xy-\left(x+y\right)\sqrt{3}=-1\left(1\right)\\x^2+y^2+x+2y=\sqrt{3}+\frac{2}{3}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (2) - (1) ta được

\(x\left(1+\sqrt{3}\right)+y\left(2+\sqrt{3}\right)-3xy=\frac{3\sqrt{3}+5}{3}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x\left(1+\sqrt{3}\right)=a\\y\left(2+\sqrt{3}\right)=b\\3\sqrt{3}+5=c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3xy=\frac{3ab}{c}\)từ đây ta có 

\(\Leftrightarrow a+b-\frac{3ab}{c}=\frac{c}{3}\)

\(\Leftrightarrow3ac+3bc-9ab-c^2=0\)

 \(\Leftrightarrow\left(3a-c\right)\left(c-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c=3a\\c=3b\end{cases}}\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé

Đã đặt \(c=3\sqrt{3}+5\) mà sao đăng lên là nó bị mất.

Cô Vân ơi sửa lỗi này đi cô. Cứ dùng ký hiệu hệ phương trình 3 ẩn thì nó bị mất đi 1 phương trình ah.

Ta có:

\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Ta có:

\(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)

Tưng tự ta có: \(\hept{\begin{cases}3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\\3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\end{cases}}\)

Từ đó ta có

P\(\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)

\(=7^3\sqrt[7]{\frac{1}{16^3a^4b^4c^4}}\ge7^3.\sqrt[7]{\frac{8^4}{16^3}}=7^3\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Ta có:

\(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)

Tưng tự ta có: \(\hept{\begin{cases}3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\\3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\end{cases}}\)

Từ đó ta có

\(\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}.7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)

\(=7^3\sqrt[7]{\frac{1}{16^3a^4b^4c^4}}\ge7^3.\sqrt[7]{\frac{8^4}{16^3}}=7^3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

cách khác đơn giản hơn nhiều 

Đk:\(x\ge1\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+4\right)}+\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+3\right)}-3\sqrt{x+4}-3\sqrt{x+3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+4\right)}-3\sqrt{x+4}+\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+3\right)}-3\sqrt{x+3}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+4}\left(\sqrt{2\left(x-1\right)}-3\right)+\sqrt{x+3}\left(\sqrt{2\left(x-1\right)}-3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+4}+\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{2\left(x-1\right)}-3\right)=1\)

Xét Ư(1)={1;-1}={....}

Dễ nhé, tự làm nốt

Đk: \(x\ge1\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+6x-8}+\sqrt{2x^2+4x-6}-3\sqrt{x+4}-3\sqrt{x+3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+6x-8}-\frac{10}{3}\sqrt{x+3}+\frac{1}{3}\sqrt{x+3}-1\sqrt{2x^2+4x-6}-3\sqrt{x+4}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2+6x-8-\frac{100}{9}\left(x+3\right)}{\sqrt{2x^2+6x-8}+\frac{10}{3}\sqrt{x+3}}+\frac{x-6}{3\left(\sqrt{x+3}+3\right)}+\frac{2x^2+4x-6-9\left(x+4\right)}{\sqrt{2x^2+4x-6}+3\sqrt{x+4}}=0\)

Để đỡ rối ta đặt mấy cái mẫu \(\hept{\begin{cases}N=\sqrt{2x^2+6x-8}+\frac{10}{3}\sqrt{x+3}>0\\H=\sqrt{x+3}+3>0\\T=\sqrt{2x^2+4x-6}+3\sqrt{x+4}>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{18x^2-46x-372}{9N}+\frac{x-6}{3H}+\frac{2x^2-5x-42}{T}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(\frac{18x+62}{9N}+\frac{1}{3H}+\frac{2x+7}{T}\right)=0\)

Dễ  thấy: \(\forall x\ge1\) thì \(\frac{18x+62}{9N}+\frac{1}{3H}+\frac{2x+7}{T}>0\)

\(\Rightarrow x-6=0\Rightarrow x=6\) (thỏa mãn)

Ta có: 

\(\Delta=b^2-4ac\)

Với \(b=2k\)

Thì \(\Delta=4k^2-4ac\)chia hết cho 4

Với \(b=2k+1\)

Thì \(\Delta=4k^2+4k+1-4ac\)chia cho 4 dư 1

Từ đây ta có \(\Delta\)chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1 (1)

Ta lại có 2018 chia cho 4 dư 2 còn 2019 chia cho 4 dư 3 (2).

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Qua De =1975