Nhận xét : Vai trò của x; y như nhau nên giả sử x \(\le\) y

4x + 1 chia hết cho y => 4x + 1 = ky ( k \(\in\) N*)

Có  4x + 1 \(\le\) 4y + 1  =>  k.y \(\le\) 4y + 1 . => (k - 1).y + y \(\le\) 4y + 1

Vì y là số tự nhiên khác 0 => 1 \(\le\) y => (k-1).y + 1 \(\le\) (k-1)y + y \(\le\) 4y + 1

=> k - 1 \(\le\) 4 => k - 1 = 0; 1;2;3;4 => k = 1;2;3;4;5

+) Với k = 1 => 4x + 1 = y  => 4y + 1 = 4.(4x +1) + 1 = 16x + 5 chia hết cho x => 5 chia hết cho x => x = 1 hoặc x = 5

=> y = 5 hoặc  y = 21

+) Với k = 2 => 4x + 1 = 2y => 4y + 1 = 8x + 3 chia hết cho x => 3 chia hết cho x => x =1 hoặc x = 3 

=> y = 5/2 (Loại) hoặc y = 13/2 (Loại)

+) Với k = 3 => 4x + 1 = 3y => 4y + 1 = \(\frac{16x+7}{3}\) chia hết cho x => 16x + 7 = 3m x ( m là số tự nhiên)

=> (3m - 16)x = 7 => x là ước của 7 => x = 7 hoặc x = 1 => y = 29/3 hoặc y = 5/3 (Loại)

+) k  = 4 => 4x + 1 = 4y Loại Vì 4x +1 không chia hết cho 4 mà 4y chia hết cho 4

+) k = 5 => 4x + 1 = 5y => 4y + 1 = \(\frac{16x+9}{5}\) chia hết cho x => 16x + 9 = 5ny (n là số tự nhiên)

=> (5n = 16)x = 9 => x là ước của 9 => x = 1; 3; 9 => y = 1; hoặc y = 13/5 (loại); y = 37/5 (loại)

Từ các trường hợp trên các cặp số (x;y) thỏa mãn là: (1;1); (1;5); (5;21); hoăc (5;1); (21;5)

=> (4x+1)(4y+1) chia hết hco xy

=> 16xy+4x+4y+1 chia hết cho xy

Vì 16xy chia hết cho xy nên 4x+4y+1 chia hết cho xy

=> 4xy+4y²+y chia hết cho xy

=> y(4y+1) chia hết cho xy

=> 4y+1 chia hết cho x

Thế y=0,1,2,3,... ta được x

ai làm bài này đi

ko biết làm

Ta có:

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{4a}=\frac{1}{b^2-2b}\)

\(\Leftrightarrow13b^2-26b-12a=0\)

\(\Leftrightarrow12\left(a+b\right)=13b^2-14b\)

\(\Leftrightarrow a+b=\frac{13b^2-14b}{12}\)

\(\Leftrightarrow a+b=b^2-b+\frac{b^2-2b}{12}=b^2-b+\frac{b\left(b-2\right)}{12}\)

Dễ thấy b phải là số chẵn (1)

để \(\frac{b\left(b-2\right)}{2.2.3}\) nguyên thì

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b⋮3\\b-2⋮3\end{cases}}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=6k\\b-2=6k\end{cases}\left(k\ge1\right)}\)

Với \(b=6k\) thế vào ta được

\(a+b=\frac{13\left(6k\right)^2-14.\left(6k\right)}{12}=36k^2-7k\)

Dễ thấy hàm số \(f\left(k\right)=39k^2-7k\) là hàm đồng biết với \(k\ge1\)

Từ đây ta có a + b nhỏ nhất khi k nhơ nhất hay \(k=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=6\\a=26\\a+b=32\end{cases}}\)

Tương tự cho trường hợp \(b-2=6k\) sẽ tìm được GTNN của a + b

PS: Vì m thích làm sự đơn điệu của hàm số thôi. Nếu các b có cách khác thì cứ làm cho gọn nhé :)

\(\Rightarrow a=26\), \(b=6\)Còn cách làm thì giống như Bạn alibaba nguyễn đó bạn 

~ Chúc bạn học giỏi ~~~

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{2}\)

BĐT trên \(=\frac{9}{2}\). Còn cách làm thì giống bạn alibaba nguyễn .

~~~ Chúc bạn học giỏi ~~~

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+xy=3\left(1\right)\\2x^2+3xy=1+4x\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) + (2) ta được

\(3x^2+y^2+4xy-4-4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+x-2\right)\left(y+3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2-x\\y=-2-3x\end{cases}}\)

Thế \(y=2-x\)vào (1) ta được

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Tương tự cho trường hợp còn lại.

^{x2 + y2 + xy  = 3}

2x^2=(x+y)(2-xy)

2x^2=(x+y)(x^2+y^2-xy)

2x^2=x^3+y^3

2=x^2+y^2 

suy ra (x^3+y^3)-(x^2+y^2)=2x^2-2

x^3+y^3-x^2-y^2=2(x^2-1)

x^2(x-1)+y^2(y-1)=2(x-1)(x+1)

x^2(x-1)+y^2(y-1)=(x-1)(2x+2)

x^2(x-1)-(x-1)(2x+2)+y^2(y-1)=0

(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0

Xét TH1 1<=x<=căn bậc 2

từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=y<=1 

y<=1 suy ra y-1<=0 => y^2(y-1)<=0 (1)

x>=1 => x-1>=0 

1<=x<= căn bậc 2 => -3<=x^2-2x-2<=-2 căn bậc 2

=> (x-1)(x^2-2x-2)<=0 (2)

từ (1) và (2) =>(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1

Xét TH2 1<=y<= căn bậc 2 

từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=x<=1 

y>=1 =>y-1>=0 =>y^2(y-1)>=0(3)

x<=1 => x-1<=0 

0<=x<=1 => -2<=x^2-2x-2<=-3

suy ra (x-1)(x^2-2x-2)>=0(4)

từ (3) và (4) => (x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1  

vậy cặp số (x,y) duy nhất thỏa mãn đề bài là (1,1) 

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(2-xy\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\\2x^2=x^3+y^3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\left(1\right)\\2x^2-x^3=\sqrt{\left(2-x^3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(2x^2-x^3\right)^2=\left(2-x^2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow2x^6-4x^5-2x^4+12x^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4=0\end{cases}}\)

Làm tiếp nhé

\(A=\frac{\left(1-\tan^2x\right)^2}{4\tan^2x}-\frac{1}{4\sin^2x.\cos^2x}\)

 \(=\frac{1}{\tan^22x}-\frac{1}{\sin^22x}\)

\(=\frac{\cos^22x}{\sin^22x}-\frac{1}{\sin^22x}\)

\(=\frac{\cos^22x-1}{\sin^22x}=\frac{-\sin^22x}{\sin^22x}=-1\)

Vậy A không phụ thuộc vào x

em chỉ là học sinh lớp 6 thôi ko giúp đc gì cả

* Ta chứng minh A = 1!+2!+....+n! không phải là số chính phương

Ta có 1!+2!+3!+4! chia 10 dư 3

5!+6!+....+n! chia hết cho 10

Vậy A chia 10 dư 3 => A không phải là số chính phương nên A không thể là lũy thừa với số mũ chẵn      (1)

* Chứng mịnh A không thể là lũy thừa với mũ lẻ

+) Với n= 4 => 1!+2!+3!+4!=33 không là lũy thừa một số nguyên

+) Với n lớn hơn hoặc bằng 5

Ta có 1!+2!+3!+4!+5! chia hết cho 9

6!+7!+....+n! chia hết cho 9

=> A chia hết cho 9

+) Ta thấy 9!+10!+...+n! chia hết cho 7

còn 1!+2!+...+8! chia cho 27 dư 9            (2)

Từ (1) và (2) suy ra A không phải là lũy thừa của một số nguyên ( với n>3 ; b>1)

Đặt a/b =5k/3k;b/c=12/21=4m/7m;c/đ=6n/11n với k,n,m \(\in\) N *

Ta co : b=3k=4m(1).Đó b là số tự nhiên => 4m : 3 . Do (4,3) = 1 

=>m : 3

Ta co : c=7m=6n(2).CM tương tự ta có : m:6

m nho nhat , khac 0 ; chia het cho 3 va 6 =>m=6. khi do b=24

Thay b=24 vao (1) co : 3k = 24 => k=8

Khi do a=5 . k = 5.8 =40 

Thay m =6 vao (2) ta co c=7 . 6 =42 ,khi do 6n=42 =>n=7

Khi do d=k . 11 =7.11 =77

Vay :a=40 ; b=24 ; c=77; d=77

Đặt a/b =5k/3k;b/c=12/21=4m/7m;c/đ=6n/11n với k,n,m $\in$∈ N *

Ta co : b=3k=4m(1).Đó b là số tự nhiên => 4m : 3 . Do (4,3) = 1 

=>m : 3

Ta co : c=7m=6n(2).CM tương tự ta có : m:6

m nho nhat , khac 0 ; chia het cho 3 va 6 =>m=6. khi do b=24

Thay b=24 vao (1) co : 3k = 24 => k=8

Khi do a=5 . k = 5.8 =40 

Thay m =6 vao (2) ta co c=7 . 6 =42 ,khi do 6n=42 =>n=7

Khi do d=k . 11 =7.11 =77

Vay :a=40 ; b=24 ; c=77; d=77

bài này hình như có trong sách Nâng cao phát triển toán 8?