2x^2=(x+y)(2-xy)

2x^2=(x+y)(x^2+y^2-xy)

2x^2=x^3+y^3

2=x^2+y^2 

suy ra (x^3+y^3)-(x^2+y^2)=2x^2-2

x^3+y^3-x^2-y^2=2(x^2-1)

x^2(x-1)+y^2(y-1)=2(x-1)(x+1)

x^2(x-1)+y^2(y-1)=(x-1)(2x+2)

x^2(x-1)-(x-1)(2x+2)+y^2(y-1)=0

(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0

Xét TH1 1<=x<=căn bậc 2

từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=y<=1 

y<=1 suy ra y-1<=0 => y^2(y-1)<=0 (1)

x>=1 => x-1>=0 

1<=x<= căn bậc 2 => -3<=x^2-2x-2<=-2 căn bậc 2

=> (x-1)(x^2-2x-2)<=0 (2)

từ (1) và (2) =>(x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1

Xét TH2 1<=y<= căn bậc 2 

từ x^2+y^2=2 suy ra 0<=x<=1 

y>=1 =>y-1>=0 =>y^2(y-1)>=0(3)

x<=1 => x-1<=0 

0<=x<=1 => -2<=x^2-2x-2<=-3

suy ra (x-1)(x^2-2x-2)>=0(4)

từ (3) và (4) => (x-1)(x^2-2x-2)+y^2(y-1)=0 khi và chỉ khi x=y=1  

vậy cặp số (x,y) duy nhất thỏa mãn đề bài là (1,1) 

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(2-xy\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2\\2x^2=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\\2x^2=x^3+y^3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\sqrt{2-x^2}\left(1\right)\\2x^2-x^3=\sqrt{\left(2-x^3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(2x^2-x^3\right)^2=\left(2-x^2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow2x^6-4x^5-2x^4+12x^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^5-x^4-2x^3-2x^2+4x+4=0\end{cases}}\)

Làm tiếp nhé

bài này hình như có trong sách Nâng cao phát triển toán 8?

BẠN DÙNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT ĐỂ C/M OM=ON

Vì OM // AB & OM // CD nên 

\(\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{AD}\&\frac{OM}{CD}=\frac{AM}{AD}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{DM}{AD}+\frac{AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow OM\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{DM+AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OM}\)(1)

TƯƠNG TỰ \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CB}=\frac{1}{ON}\)(2)

CỘNG VẾ VỚI VẾ CỦA (1) VÀ (2) TA CÓ:

\(2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)MÀ OM=ON(C/M TRÊN) NÊN MN=2.OM

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{OM}=\frac{2}{OM}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{2.OM}=\frac{2}{MN}\left(ĐPCM\right)\)

Mình mới học lớp 5 thôi nên chỉ vẽ hình thôi à! Thông cảm nha!

Hình như sau:

Thấy đúng thì !

a, f(x)=( x - 100 )( x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x ) - x + 25

=>f(100) = - 75

a ) Kết quả là -75 như Quỳnh đã làm 

b) Có:

7y-7x=y³- y³

7*(y-x)=0

y=x=0

Vậy không có các số nguyên dương phân biệt x, y thỏa mãn đề bài.

Ta chứng minh

\(\frac{-1}{2}\le\frac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\left(1-ab\right)+\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b-1\right)^2\ge0\)(đúng)

Tương tự cho trường hợp còn lại ta có ĐPCM

Bạn trã lời cho mình được không

Ta có 

\(ab\left(a^2+b^2\right)\left(a^2\:-b^2\right)=a^5b\:\:-ab^5\)

\(=a^5b-ab+ab-ab^5\)

\(=ab\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5ab\left(a-1\right)\left(a+1\right)-ab\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(b-2\right)\left(b+2\right)-5ab\left(b-1\right)\left(b+1\right)\)

Ta thấy rằng ab(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) và ab(b - 1)(b + 1)(b - 2)(b +2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 (1)

Ta lại có: ab(a - 1)(a + 1) và ab(b -1)(b +1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

\(\Rightarrow\) 5ab(a - 1)(a + 1) và 5ab(b -1)(b +1) chia hết cho 30 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

kho qua di

A B C D E

Xét \(\Delta AEB\)và \(\Delta DEC\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}=\widehat{DEC}\\\widehat{BAE}=\widehat{CDE}\left(gt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta AEB\approx\Delta DEC\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}\)

\(\Rightarrow EA.EC=DE.BE\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta DBA\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAE}=\widehat{BDA}\left(gt\right)\\\widehat{ABE}\left(chung\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\approx\Delta DBA\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{DB}=\frac{BE}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=DB.BE\left(2\right)\)

Theo đề bài ta cần chứng minh

\(BE^2=AB^2-EA.EC\)

\(\Leftrightarrow BE^2=AB^2-DE.BE\)(theo (1))

\(\Leftrightarrow BE\left(BE+DE\right)=AB^2\)

\(\Leftrightarrow BE.BD=AB^2\) (Theo (2) thì cái này đúng)

Vậy ta có ĐPCM

bạn có thể gửi hình vào facebook của mình https://www.facebook.com/maximilian.mark.16 để mình giải thử cho bạn

Gợi ý cách làm:

Vì c nguyên tố nên \(c\in\left(2,3,5,7\right)\)

Thay c = 2 vào ta được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\) ta giả sử \(a\ge b\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\)

\(\Rightarrow0< b\le4\Rightarrow b\in\left(1,2,3,4\right)\)

Thế vào tìm được a. Cứ vậy làm hết bài

đúng rồi

Ta có:

\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)

\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN là  \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có: 

\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)

\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Đẳng  thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)