Gọi UCLN(a,c) = d => a = a₁ d, c = c₁ d.

=> ab = c

<=> a₁ db = (c₁ d)²

<=> a₁ b = c₁² d (1)

Từ (1) => a₁ b chia hết cho c₁² mà vì (a₁, c₁) = 1 nên b chi hết cho c₁² (2)

Từ (1) ta lại => c₁² d chia hết cho b mà vì (a,b) = 1 nên (b,d) = 1

=> c₁² chia hết cho b (3)

Từ (2) và (3) => b = c₁²

Từ đề bài ta có 

ab = c² 

<=> ac₁² = (c₁ d)²

<=> a = d²

Vậy a, b là hai số chính phương 

I don't no

1. Ta có dãy số: 19;1919;191919;19...19(20 số 19)

Theo nguyên lí Direchlet thì có ít nhất 2 số trong dãy số trên có cùng số dư khi chia cho 13

=>19...19(x chữ số 19) - 19...19(y chữ số 19) chia hết cho 19

=>19...1900...0(x-y chữ số 19 , y chữ số 0) chia hết cho 19

=>19...19.10^y(x-y chữ số 19) chia hết cho 19

Vì 10^y và 19 nguyên tố cùng nhau 

=> 19...19(x-y chữ số 19) chia hết cho 19

=> Tồn tại 1 bội của số 19 mà gồm toàn chữ số 19( đpcm)

2. Ta nhóm  20 số trên thành các cặp có tổng bằng 21:

1+20=21 ; 2+19=21 ; ... ; 10+11=21

Vậy có tất cả 10 cặp

Mà chọn 11 số trong dãy số trên nên tho nguyên lý Direchlet thì chọn 11 số bất kì trong dãy số trên thì có ít nhất hai số có tổng bằng 21(đpcm)

các bạn phải : \(\text{Ư}CLN\left(2000;4000\right)=\text{Ư}?=\text{{}.....\)}

                      \(BCNN\left(2000;4000\right)=B?=\text{{}....\)}

\(\Rightarrow\) lần lượt tính theo thứ tự 2 bạn gặp nhau và xây tinh cầu

chiu thua

Xem lại đề nhé. x - y hay x² - y² là số chính phương thế

sai de roi nhe ban

Trong 4 số a,b,c,d sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tích đó sẽ chia hết cho 3.

Trong 4 số a,b,c,d

Nếu có 2 số có cùng số dư khi chia cho 4 thì tích đó chia hết cho 4

Nếu không có cùng số dư thì số dư của 4 số đó chia cho 4 lần lược sẽ là 0,1,2,3. Vậy trong 4 số này có 2 số chẵn, 2 số lẻ. Mà hiệu 2 số chẵn và lẻ đều là số chẵn nên tích đó phải có ít nhât 2 số chẵn hay tích đó  chia hết cho 4

Vì 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên tích đã cho chia hết cho 12

Quá dễ

+ Nếu p = 2 thì p² + 8 là số chẵn, không là số nguyên tố (trái với đề bài)

+ Nếu p = 3 thì p² + 8 = 3² + 8 = 17; p² + 2 = 3² + 2 = 11 đều là số nguyên tố (đpcm)

+ Nếu p > 3, do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3

=> p² không chia hết cho 3 => p² chia 3 dư 1

=> p² + 8 chia hết cho 3, không là số nguyên tố (trái với đề bài)

Vậy ta có điều phải chứng minh

tim p nguyen to de p+2,p+4 la nguyen to

Ta có từ số - 1357 tới 2016 có (2016 + 1357 + 1) = 3374 số

Cặp số 1 ta có 1 số

Cặp số 2 ta có 2 số

.....

Tổng các số trong tất cả các cặp là 

\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) (với n tự nhiên lớn hơn 0)

Ta nhận thấy rằng

\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\le3374\) 

\(1\le n\le81\)

=> Có tất cả 81 cặp được chia

Từ đây ta thấy rằng có thể dùng \(\frac{81.82}{2}=3321\)để chia thành các cặp như trên

Số dư là  \(3374-3321=53\)số

Cặp cuối cùng có 81 số

Mk sẽ giúp bạn 

a) 70 . 2 + 21 . 3 + 15 . 4 + (-) 105k = 263 + (-) 105k       ( k thuộc N )

b)  Gọi số quân là n

      n = 3x + a => 70n = 210x + 70a

      n = 5y + b => 21n = 105y + 21b

      n = 7z + c => 15n = 105z + 15c

Do đó : 106n = 70a + 21b + 15c + (-) 105t

Vậy n = 70a + 21b + 10c + (-) 105h 

Duyệt đi bạn nhé

khó vậy bạn

Ta thấy abc = 100a + 10b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c)

Thấy ngay 7(14a + b) chia hết cho 7 nên nếu 2a + 3b + c không chia hết cho 7 thì tổng 100a + 10b + c không chia hết cho 7. Nói cách khác abc không chia hết cho 7.

abc=ko chia het cho 7

Ta có \(N^2=\left(n_1+n_2+...+n_{100}\right)^2=n_1^2+n_2^2+...+n_{100}^2+2A=2013^2\) (A là tập hợp các số còn lại mà chia hết cho 2, ký hiệu vậy cho nó gọn)

\(\Rightarrow S=2013^2-2A\)

\(\Rightarrow S-1=2013^2-1-2A\)

Ta thấy rằng 2A chia hết cho 2 và 2013² - 1 chia hết cho 2 nên S - 1 chia hết cho 2

S-1 chia hết cho 2