\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(bc+ca+ab\right)=abc\)

\(\Rightarrow abc+a^2c+a^2b+b^2c+abc+ab^2+bc^2+ac^2+abc=abc\)

\(\Rightarrow2abc+a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2=0\)

\(\Rightarrow\left(abc+a^2b\right)+\left(ac^2+a^2c\right)+\left(b^2c+b^2a\right)+\left(bc^2+abc\right)=0\)

\(\Rightarrow ab\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)+bc\left(a+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[\left(ab+ac\right)+\left(b^2+bc\right)\right]\left(a+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

Do đó trong a , b , c luôn có 2 số đối nhau.

Phần 2 : Do vai trò a , b , c như nhau nên coi \(a=-b\)( Do có 2 số đối nhau)

\(\Rightarrow a^n=-b^n\)(Vì n lẻ )

\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{a^n+b^n}{a^n.b^n}+\frac{1}{c^n}=0+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)

\(\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{\left(a^n+b^n\right)+c^n}=\frac{1}{0+c^n}=\frac{1}{c^n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)

Vậy ...

A B C D O

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có \(S_{ABCD}=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCD}+S_{ODA}=200\)

Mặt khác, ta có : \(S_{OAB}\le\frac{1}{2}OA.OB\) , \(S_{OBC}\le\frac{1}{2}OB.OC\) , \(S_{OCD}\le\frac{1}{2}OC.OD\) , \(S_{OAD}\le\frac{1}{2}OA.OD\)

Suy ra \(S_{ABCD}\le\frac{1}{2}\left(OA.OB+OB.OC+OC.OD+OD.OA\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[OA.\left(OB+OD\right)+OC.\left(OB+OD\right)\right]=\frac{1}{2}AC.BD\)

\(\le\frac{1}{2}BD^2\)

Hay : \(BD^2\ge2S_{ABCD}\Leftrightarrow BD^2\ge400\Leftrightarrow BD\ge20\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của đường chéo BD bằng 20 khi \(\hept{\begin{cases}BD=AC\\BD\perp AC\end{cases}}\)

Dùng hình bạn Ngọc nhé

Gọi K là giao điểm của MP và NQ

Kẽ MH, QE lần lược vuông góc với DC, BC tại H,E. I, F là giao điểm của QE với MP và MH

Ta có QE //DC

=> MIQ = MPH (góc đồng vị)

MIQ = QNE ( + NQE = 90)

=> MPH = QNE (1)

Xét tam giác QNE và tam giác MPH có

Góc MPH = góc QNE

Góc MHP = góc QEN = 90

MH = QE (cùng bằng cạnh hình vuông)

=> Tam giác QNE = tam giác MPH

=> NQ = PM

Ai vẽ hộ cái hình đi t giải cho :)

Ta chứng minh với \(\hept{\begin{cases}n\ge a+2\\a\ge1\end{cases}}\)thì 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{n}>\frac{1}{a+1}+\frac{1}{n-1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+n}{an}>\frac{a+n}{an-a+n-1}\)

\(\Leftrightarrow an< an-a+n-1\)

\(\Leftrightarrow n>a+1\)(đúng) 

Từ đó ta có

\(\frac{1}{2018}+\frac{1}{6052}>\frac{1}{2019}+\frac{1}{6051}>...>\frac{1}{4034}+\frac{1}{4036}>\frac{1}{4035}+\frac{1}{4035}=\frac{2}{4035}\) (có 2017 nhóm lớn hơn \(\frac{2}{4035}\) tất cả)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2017+1}+\frac{1}{2017+2}+...+\frac{1}{3.2017+1}=\frac{1}{2018}+\frac{1}{2019}+...+\frac{1}{6052}\)

\(>\frac{2}{4035}+\frac{2}{4035}+...+\frac{2}{4035}+\frac{1}{4035}=\frac{2017.2}{4035}+\frac{1}{4035}=\frac{4035}{4035}=1\)

A = x mũ 3 - y mũ 2 = xy

   =  x mũ 2 . ( x - 1 ) + x mũ 2 - y mũ 2 = xy

  =  ( x mũ 2 . ( x -1) + xy )  +  ( x mũ 2 + y mũ 2 - 2xy )  - 2y mũ 2  = 0

  =  ( x mũ 2 . ( x -1) + xy ) + ( x - y ) mũ 2 - 2y mũ 2 = 0

Sau đó tự phân tích và tìm nghiệm

Tớ nghĩ ra rồi :không biết đó có phải là số 0?

 \(89^6=4,96981291x10^{11}\left(1\right)\)

\(4,96981291x10^{11}-4,9698129x10^{11}=961\)

Lắp vào  (1),đc 89⁶=496981290961

**=81

chắc thế

496981290961

Để cm ˆACE=BCF^, ta gấp đôi các góc trên bằng cách vẽ H đối xứng với E qua AC, vẽ K đối xứng với F qua BC. Cần phải cm ˆHCE=FCK^. Muốn vậy ta sẽ cm ˆHCF=ECK^ bằng cách cm △HCF=△ECK
2 tam gíác này đã có HC=EC, CF=CK. Cần cm FH=KE.
Ta tạo ra 1 đoạn thẳng trung gian: Vẽ I đối xứng với E qua AB. Lần lượt cm:
△FAH=△FAI(c-g-c) suy ra FH=FI, △IBF=△EBK(c-g-c) suy ra FI=EK

\(2^{2n+1}=2\left(4^n\right)=2\left(3+1\right)^n=2\left(BS3+1\right)=BS3+2=3k+2\)

=>\(2^{2^{2n+1}}+3=2^{3k+2}+3=4\left(8\right)^k+3=4\left(7+1\right)^k+3=4\left(BS7+1\right)+3=BS7+7\)

chia hết cho 7

=> \(A\notin P\)

Thiếu

K\(\ge1\)

Ta không thể áp dụng định lý Fermat nhỏ ngay được vì 2013 va 2016 không là hai số nguyên tố cùng nhau. Cô gợi ý một cách để có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(2013^{2016}=\left(-3\right)^{2016}\left(mod2016\right)=3^{2016}\left(mod2016\right)\)
\(2016=2^5.3^2.7\).
Gọi x là số dư của \(3^{2016}\)khi chia cho 2016. Ta suy ra:
                                  .\(\hept{\begin{cases}3^{2016}=x\left(mod2^5\right)\\3^{2016}=x\left(mod3^2\right)\\3^{2016}=x\left(mod7\right)\end{cases}}\)
Nhận xét: \(3^8=1\left(mod2^5\right)\),\(3^6=1\left(mod7\right)\), \(3^{2016}=0\left(mod3^2\right)\). Do 2016 đều chia hết cho 8,6 nên:
                                  \(\hept{\begin{cases}3^{2016}=1\left(mod2^5\right)\\3^{2016}=1\left(mod7\right)\\3^{2016}=0\left(mod3^2\right)\end{cases}}\)
Như vậy: 
                                  \(\hept{\begin{cases}x=1\left(mod2^5\right)\\x=1\left(mod7\right)\\x=0\left(mod3^2\right)\end{cases}}\)
Từ đó suy ra : \(x-1=BC\left(2^5,7\right)\).và x chia hết cho 9, x < 2016.
Từ đó ta tìm được x = 225.
Đây là trường hợp đặc biệt nên ta áp dụng cách tìm bội chung của lớp 6 nếu giả sử rơi vào trường hợp sau:
  \(\hept{\begin{cases}x=5\left(mod2^5\right)\\x=6\left(mod7\right)\\x=2\left(mod3^2\right)\end{cases}}\)thì các bạn có thể áp dụng định lý số dư Trung Hoa.

áp dụng "=] chả vại còn gì, trong trường hợp quá bí" ta có:

số chia là 2016 

Vì số dư nhỏ hơn số chia =2015

Xét 2015 trường hợp ta có:....

A B C D E F M N K

a) Ta có :

Góc BAD + Góc ADC = 180^o

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\widehat{BAD}+\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}.180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAD}+\widehat{MDA}=90^o\)

Xét \(\Delta MAD\)có \(\widehat{MAD}+\widehat{MDA}=90^o\Rightarrow\widehat{AMD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{AMF}=\widehat{DME}=90^o\)( SỬ dụng góc kề bù để suy ra )

Xét \(\Delta AMD\)và \(\Delta AMF:\)

\(\widehat{DAM}=\widehat{FAM}\)( AE là phân giác \(\widehat{A}\))

Chung cạnh AM

\(\widehat{AMD}=\widehat{AMF}\)( cmt )

\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta AMF\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm DF

Xét \(\Delta AFM\)và \(\Delta EDM\), có :

\(\widehat{AFM}=\widehat{EDF}\)( 2 góc so le trong vì AF//DE )

\(FM=DM\)( M là trung điểm DF )

\(\widehat{FMA}=\widehat{DME}=90^o\)

\(\Rightarrow\Delta AMF=\Delta EMD\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\)M là trung điểm AE

Tứ giác ADEF có hai đường chép vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

b) Từ N kẻ đường thằng song song với AB ( CD ); cắt BC tại K.

Có \(\widehat{FBN}=\widehat{BNK}\)( So le trong )

Mà \(\widehat{FBN}=\widehat{KBN}\)( BN là phân giác góc B )

\(\Rightarrow\widehat{BNK}=\widehat{KBN}\) nên tam giác KBN cân tại K; hay BK = NK

Tương tự chứng minh tam giác CNK cân tại K; hay NK = KC

\(\Rightarrow BK=KC;\)hay K là trung điểm BC

\(AB\text{//}CD\Rightarrow FB\text{//}EC\)

\(\Rightarrow FBCE\)là hình thang

Xét hình thang FBCE có :

\(NK\text{//}FB\text{//}FC\)

\(K\)là trung điểm BC

\(\Rightarrow NK\)là đường trung bình hình thang, hay N là trung điểm FE, tức N nằm trên EF

Vậy ...

c) \(AB=\frac{3}{2}AD\) nên đặt \(AD=2\alpha;AB=3\alpha\)

Ở phần a đã chứng minh \(\Delta AMD=\Delta AMF\Rightarrow AD=AF=2\alpha\)(2 cạnh tương ứng )

Xét tam giác EAF :  N là trung điểm FE ; M là trung điểm AE nên MN là đường trung bình

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}\left(2\alpha\right)=\alpha\)

Vì góc A = 120^o nên \(\widehat{FAM}=\frac{1}{2}.\widehat{A}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MFA}=90^o-\widehat{FAM}=30^o\)

Xét tam giác AMF vuông tại M có 2 góc nhọn là 60^o và 30^o \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}FA=\frac{1}{2}\left(2\alpha\right)=\alpha\)(Mình chứng minh bên dưới 

Mà \(AM=ME\Rightarrow ME=\alpha\)

Do ABCD là hình bình hành nên góc BCD cũng bằng góc A và bằng 120^o

\(\Rightarrow\widehat{BCN}=\frac{1}{2}\widehat{C}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CBN}=90^o-\widehat{BCN}=30^o\)

Xét tam giác vuông BNC vuông tại N có 2 góc nhọn là 30^o và 60^o nên \(NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\left(2\alpha\right)=\alpha\)

AFED là hình thoi nên \(FA=DE=2\alpha\)

Lại có \(CD=AB=3\alpha\)

\(\Rightarrow CD-DE=EC=3\alpha-2\alpha=\alpha\)

Tứ giác \(MNCE\)có 4 cạnh bằng nhau và bằng \(\alpha\) nên là hình thoi.

Vậy ...

À quên :) Cách chứng minh một tam giác vuông có một góc 60 độ / 30 độ thì cạnh góc vuông nhỏ hơn sẽ bằng nửa cạnh huyền.

S P Q J 60 30

Xét tam giác SQP vuông tại Q và \(\widehat{P}=60^o;\widehat{S}=30^o\)

Trên tia đối của QP, lấy J sao cho JQ=QP.

Xét \(\Delta SJP\)có \(SQ\)vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên là tam giác cân, lại có  \(\widehat{S}=60^o\)nên là tam giác đều.

\(\Rightarrow JP=SQ\)

\(\Rightarrow2.QP=SQ\)

\(\Rightarrow SQ=\frac{1}{2}SQ\)

Vậy ...