Ta có \(N^2=\left(n_1+n_2+...+n_{100}\right)^2=n_1^2+n_2^2+...+n_{100}^2+2A=2013^2\) (A là tập hợp các số còn lại mà chia hết cho 2, ký hiệu vậy cho nó gọn)

\(\Rightarrow S=2013^2-2A\)

\(\Rightarrow S-1=2013^2-1-2A\)

Ta thấy rằng 2A chia hết cho 2 và 2013² - 1 chia hết cho 2 nên S - 1 chia hết cho 2

S-1 chia hết cho 2

Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)

*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).

*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.

-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.

Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1

=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.

=>P chia hết cho 32

Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.

=> P chia hết cho 32(2).

Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.

Mà (9,32)=1

=>P chia hết cho 9.32.

=>P chia hết cho 288

=> ĐPCM

Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)

*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).

*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.

-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.

Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1

=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.

=>P chia hết cho 32

Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.

=> P chia hết cho 32(2).

Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.

Mà (9,32)=1

=>P chia hết cho 9.32.

=>P chia hết cho 288

=> ĐPCM

Gọi số sinh viên là x ( x nguyên), ta có x - 1 là số chia hết cho 3, 4, 5.

x - 1 là bội chung của 3, 4, 5 mà x trong khoảng 150 đến 200 nên x - 1 = 120, 180.

=> x = 121, 181. Do số sinh viên xếp thành hàng 11 thì vừa đủ cho nên x chia hết cho 11.

Vậy số sinh viên là 121

Đáp số: 121

• Số có dạng \(a^{4k+2}\)thì tận cùng cũng chính là tận cùng của \(a^2\)

Do đó ta coi  \(\overline{X}=2^2+3^2+4^2+...+104^2\)là một số có tận cùng giống tận cùng của \(X.\)

• Bài toán phụ : chứng minh \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) với \(n>1\)bằng phương pháp quy nạp.

Coi tồn tại một số \(n\)thỏa mãn đẳng thức trên.

\(\Rightarrow1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Ta cần chứng minh đẳng thức cũng thỏa mãn với \(n+1.\)

Có : \(1^2+2^2+3^2+...+n^2+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(2n+1\right)+6\left(n^2+2n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}\)

\(=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\)

\(=\frac{\left(2n^3+2n^2\right)+\left(7n^2+7n\right)+\left(6n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{2n^2\left(n+1\right)+7n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(2n^2+4n\right)+\left(3n+6\right)\right]}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left[2n\left(n+2\right)+3\left(n+2\right)\right]}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)+1\right]\left[2\left(n+1\right)+1\right]}{6}\)

\(\Rightarrow\)Đẳng thức thỏa mãn với mọi \(n\in N\)

• Quay trở lại bài toán chính, có :

\(\overline{X}=2^2+3^2+4^2+...+104^2\)

\(=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+...+104^2\right)-1^2\)

\(=\frac{104.\left(104+1\right)\left(2.104+1\right)}{6}-1\)

\(=\left(...0\right)-1\)

\(=\left(...9\right)\)

\(\overline{X}\)có tận cùng là 9 nên \(X\)có tận cùng là 9.

Vậy...

Gọi số tự nhiên đó là n với n \(\ne\) 0 .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tố, ta xét 4 trường hợp sau:

TH1: n chứa 1 thừa số nguyên tố: n = 2^x. Ta có 2⁵ < 60 < 2⁶ \(\Rightarrow\) n = 2⁵ có 5 + 1 = 6 ước số.

TH2:  n chứa 2 thừa số nguyên tố : n = 2^x . 3^y. Ta có 2⁴ . 3 < 60 < 2⁴ . 3² 

\(\Rightarrow\) n = 2⁴ . 3 có (4 + 1) . (1 + 1) = 10 ước số.

TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố: n = 2^x . 3^y . 5^z. Ta có 2 . 3 . 5 < 60 < 2² . 3 . 5

\(\Rightarrow\) n = 2 . 3 . 5 có (1 + 1) . (1+ 1) . (1 + 1) = 8 ước số.

TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.

    Trong các trường hợp trên, chọn n nhiều ước nhất \(\Rightarrow\) n = 2⁴ . 3 = 48

                       Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số tự nhiên đó là n  với  .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tô, ta xét 4 trường hợp sau:
TH1: n chứa một thừa số nguyên tố:   có 6 ước số.
TH2:  n chứa 2 thừa số nguyên tố :    
  có 10 ước.
TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố:  
  có 8 ước số.
TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.
Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)

Có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\) 

\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{99}{100}< 1\)

Sửa lại cái đầu. Đặt: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

12H30'30

lúc đó là 12h30'30"