Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)

*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).

*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.

-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.

Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1

=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.

=>P chia hết cho 32

Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.

=> P chia hết cho 32(2).

Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.

Mà (9,32)=1

=>P chia hết cho 9.32.

=>P chia hết cho 288

=> ĐPCM

Đặt P=(a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)

*Với 5 số a,b,c,d,e có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a và b khi đó a-b chia hết cho 3. Bỏ đi b, xét 4 số còn lại. Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là d và e khi đó d-e chia hết cho 3. =>P chia hết cho 9(1).

*Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ.

-Nếu có cả 5 số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của P đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ, 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích, mà mỗi tích đều chia hết cho 2.

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho

=>P chia hết cho 32

-Nếu trong 5 số có 3 số cùng tính chẵn, không mất tính tổng quát giả sử đó là a,b,c.

Đặt a=2.m,b=2.n,c=2.p,d=2.q+1,e=2.l+1

=>P là tích của 16(m-n)(m-p)(n-p)(q-l) và 6 thừa số lẻ. Trong 3 số m,n,p có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ, chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2.

=>P chia hết cho 32

Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P chia hết cho 32.

=> P chia hết cho 32(2).

Từ (1) và (2) ta thấy: P chia hết cho 9 và 32.

Mà (9,32)=1

=>P chia hết cho 9.32.

=>P chia hết cho 288

=> ĐPCM

Gọi số sinh viên là x ( x nguyên), ta có x - 1 là số chia hết cho 3, 4, 5.

x - 1 là bội chung của 3, 4, 5 mà x trong khoảng 150 đến 200 nên x - 1 = 120, 180.

=> x = 121, 181. Do số sinh viên xếp thành hàng 11 thì vừa đủ cho nên x chia hết cho 11.

Vậy số sinh viên là 121

Đáp số: 121

• Số có dạng \(a^{4k+2}\)thì tận cùng cũng chính là tận cùng của \(a^2\)

Do đó ta coi  \(\overline{X}=2^2+3^2+4^2+...+104^2\)là một số có tận cùng giống tận cùng của \(X.\)

• Bài toán phụ : chứng minh \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) với \(n>1\)bằng phương pháp quy nạp.

Coi tồn tại một số \(n\)thỏa mãn đẳng thức trên.

\(\Rightarrow1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Ta cần chứng minh đẳng thức cũng thỏa mãn với \(n+1.\)

Có : \(1^2+2^2+3^2+...+n^2+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\left(n+1\right)^2\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6\left(n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(2n+1\right)+6\left(n^2+2n+1\right)^2}{6}\)

\(=\frac{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}\)

\(=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\)

\(=\frac{\left(2n^3+2n^2\right)+\left(7n^2+7n\right)+\left(6n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{2n^2\left(n+1\right)+7n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+7n+6\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(2n^2+4n\right)+\left(3n+6\right)\right]}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left[2n\left(n+2\right)+3\left(n+2\right)\right]}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{6}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)+1\right]\left[2\left(n+1\right)+1\right]}{6}\)

\(\Rightarrow\)Đẳng thức thỏa mãn với mọi \(n\in N\)

• Quay trở lại bài toán chính, có :

\(\overline{X}=2^2+3^2+4^2+...+104^2\)

\(=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+...+104^2\right)-1^2\)

\(=\frac{104.\left(104+1\right)\left(2.104+1\right)}{6}-1\)

\(=\left(...0\right)-1\)

\(=\left(...9\right)\)

\(\overline{X}\)có tận cùng là 9 nên \(X\)có tận cùng là 9.

Vậy...

Gọi số tự nhiên đó là n với n \(\ne\) 0 .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tố, ta xét 4 trường hợp sau:

TH1: n chứa 1 thừa số nguyên tố: n = 2^x. Ta có 2⁵ < 60 < 2⁶ \(\Rightarrow\) n = 2⁵ có 5 + 1 = 6 ước số.

TH2:  n chứa 2 thừa số nguyên tố : n = 2^x . 3^y. Ta có 2⁴ . 3 < 60 < 2⁴ . 3² 

\(\Rightarrow\) n = 2⁴ . 3 có (4 + 1) . (1 + 1) = 10 ước số.

TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố: n = 2^x . 3^y . 5^z. Ta có 2 . 3 . 5 < 60 < 2² . 3 . 5

\(\Rightarrow\) n = 2 . 3 . 5 có (1 + 1) . (1+ 1) . (1 + 1) = 8 ước số.

TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.

    Trong các trường hợp trên, chọn n nhiều ước nhất \(\Rightarrow\) n = 2⁴ . 3 = 48

                       Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số tự nhiên đó là n  với  .Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tô, ta xét 4 trường hợp sau:
TH1: n chứa một thừa số nguyên tố:   có 6 ước số.
TH2:  n chứa 2 thừa số nguyên tố :    
  có 10 ước.
TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố:  
  có 8 ước số.
TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó tích của chúng lớn hơn 60.
Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)

Có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\) 

\(\Leftrightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{99}{100}< 1\)

Sửa lại cái đầu. Đặt: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

12H30'30

lúc đó là 12h30'30"

Để chia hết cho 9999 thì cần chia hết cho 9,11,101 ( vì ( 9,11,101)=1) và 9.11.101=9999

Để chia hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết  9. => Số các số 1 là bội của 9

Để chia hết cho 11 thì tổng các chữ số hàng lẻ trừ tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11

Ta các chữ số 0,1 xen kẽ nhau. Suy ra hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ lả bội của 11. Suy ra số các chữ số 1 là bội của 11

Để chia hết cho 101 thì ta quan sát phép chia như sau

Lấy 101 chia 101 đc 1, hạ 0 xuống, chia 101 đc 0. Ta lại hạ 1 xuống tiếp chia 101 thì đc 0, dư 1. Lại hạ 0 xuống, đc 10 chia 101 dư 10. Hạ 1 xuống, ta có 101 chia 101 được 1....... Cứ như thế, ta thấy số chữ số 1 là bội của 2. Vì nếu lẻ, như bước quan sát kia, ta thấy lượt chia thứ 3 thì hạ 1, nhưng khi đó số các số 1 là lẻ, và lúc đó chia thì dư 1.

Vậy số các số 1 là BCNN(9;11;2). Vì yêu cầu tìm số các chữ số nhỏ nhất nên phải tìm BCNN

Ta thấy 3 số trên ko có thừa số nguyên tố chung nên BCNN là 9.11.2=198

Vậy cần ít nhất 198 số 1

có ít nhất 9 chữ số 1

kick minh nha