Để chia hết cho 9999 thì cần chia hết cho 9,11,101 ( vì ( 9,11,101)=1) và 9.11.101=9999

Để chia hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết  9. => Số các số 1 là bội của 9

Để chia hết cho 11 thì tổng các chữ số hàng lẻ trừ tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11

Ta các chữ số 0,1 xen kẽ nhau. Suy ra hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ lả bội của 11. Suy ra số các chữ số 1 là bội của 11

Để chia hết cho 101 thì ta quan sát phép chia như sau

Lấy 101 chia 101 đc 1, hạ 0 xuống, chia 101 đc 0. Ta lại hạ 1 xuống tiếp chia 101 thì đc 0, dư 1. Lại hạ 0 xuống, đc 10 chia 101 dư 10. Hạ 1 xuống, ta có 101 chia 101 được 1....... Cứ như thế, ta thấy số chữ số 1 là bội của 2. Vì nếu lẻ, như bước quan sát kia, ta thấy lượt chia thứ 3 thì hạ 1, nhưng khi đó số các số 1 là lẻ, và lúc đó chia thì dư 1.

Vậy số các số 1 là BCNN(9;11;2). Vì yêu cầu tìm số các chữ số nhỏ nhất nên phải tìm BCNN

Ta thấy 3 số trên ko có thừa số nguyên tố chung nên BCNN là 9.11.2=198

Vậy cần ít nhất 198 số 1

có ít nhất 9 chữ số 1

kick minh nha

Đk:a,b<10;a khác 0

Ta có: ab=6ab

=>10a+b=6ab

=>10a=6ab-b

=>10a=b(6a-1) (*)

Mà UCLN(a;6a-1)=1

=>10 chia hết 6a-1

=>6a-1 thuộc Ư(10)={1;2;5} (vì a<10,ab là số tự nhiên)

=>6a thuộc {2;3;6}

Vì 6a chia hết 6 và a khác 0

=>6a=6 =>a=1

Thay a=1 vào (*) ta có:

10=b*(6-1) 

=>10=b*5 =>b=2

=>ab=12

Vậy số tự nhiên đó là ab=12

ab=6.a.b

10a+b=6.a.b

10a=b(6a-1)

b=10a/(6a-1)=a+(4a+1)/(6a-1)

a= 1 duy nhat b nguyen khi a>1 thi (4a+1)<(6a-1)

a=1=> b=2

ab=12

a) Số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 8, 4 và cho 2. Một số chia cho 8 dư 0, 1, 2,3, 4, 5, 6,7 => Nếu số là nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 8 phải dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 (vì nếu số đó chia 8 dư 2 thì nó viết dạng 8k + 2 chia hết cho 2, tương tự vậy không thể chia cho 8 dư 4 và dư 6)=> Số nguyên tố bình phương lên chia cho 8 dư 1 (vì 1² chia 8 dư 1, 3² =9 chia 8 dư 1, 5² =25 chia 8 dư 1, 7² = 49 chia 8 dư 1).

Vậy cả p² và q² chia 8 đều dư 1 => Hiệu p² - q² chia hết cho 8 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu).

Tương tự vậy, số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 phải dư 1 hoặc dư 2 => Bình phương số đó khi chia cho 3 dư 1 ( vì 1² = 1 chia 3 dư 1; 2² =4 chia 3 dư 1) => p² và q² chia cho 3 đều dư 1 => Hiệu p² - q² chia hết cho 3 (phần dư 1 sẽ triệt tiêu đối với phép trừ)

=> p² - q² chia hết cho cả 8 và 3, mà 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau => p² - q² chia hết cho 8x3 =24

b) Vì 2k luôn là số chẵn nên nếu k là số lẻ thì trong hai số a + k và a + 2k sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy k phải là số chẵn (tức là k chia hết cho 2).

Lý luận tương tự, k phải chia hết cho 3, vì nếu k chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2k chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +k, a +2k khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3

(vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3; 

nếu a chia 3 dư 1 thì a + k hoặc a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2

nếu a chia 3 dư 2 thì a + k và a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).

Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => k chia hết cho 6. 

a) Số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 8, 4 và cho 2. Một số chia cho 8 dư 0, 1, 2,3, 4, 5, 6,7 => Nếu số là nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 8 phải dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 (vì nếu số đó chia 8 dư 2 thì nó viết dạng 8k + 2 chia hết cho 2, tương tự vậy không thể chia cho 8 dư 4 và dư 6)=> Số nguyên tố bình phương lên chia cho 8 dư 1 (vì 1² chia 8 dư 1, 3² =9 chia 8 dư 1, 5² =25 chia 8 dư 1, 7² = 49 chia 8 dư 1).

Vậy cả p² và q² chia 8 đều dư 1 => Hiệu p² - q² chia hết cho 8 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu).

Tương tự vậy, số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 phải dư 1 hoặc dư 2 => Bình phương số đó khi chia cho 3 dư 1 ( vì 1² = 1 chia 3 dư 1; 2² =4 chia 3 dư 1) => p² và q² chia cho 3 đều dư 1 => Hiệu p² - q² chia hết cho 3 (phần dư 1 sẽ triệt tiêu đối với phép trừ)

=> p² - q² chia hết cho cả 8 và 3, mà 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau => p² - q² chia hết cho 8x3 =24

b) Vì 2k luôn là số chẵn nên nếu k là số lẻ thì trong hai số a + k và a + 2k sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy k phải là số chẵn (tức là k chia hết cho 2).

Lý luận tương tự, k phải chia hết cho 3, vì nếu k chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2k chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +k, a +2k khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3

(vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3; 

nếu a chia 3 dư 1 thì a + k hoặc a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2

nếu a chia 3 dư 2 thì a + k và a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).

Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => k chia hết cho 6. 

Gọi số đó là \(A\)

Ta có :

\(A=28k+24\)

\(=31h+20\)

\(\Rightarrow A+228=28\left(k+9\right)=31\left(h+8\right)\)

\(\Rightarrow A+228=B\left(31\right)=B\left(28\right)\)

Mà \(\left(28;31\right)=1\)

\(\Rightarrow A+228=B\left(31.28\right)=B\left(868\right)\)

\(\Rightarrow A+228\in\left\{0;868;1736;...\right\}\)

Mà \(A\) nhỏ nhất; \(A+228\ge228\)

\(\Rightarrow A+228=868\)

\(\Rightarrow A=640\)

Vậy ...

A=28.n+24=31m+20

n=(31m-4)/28=m+(3m-4)/28

3m=28k+4; m=(28k+4)/3=(9k+1)+(k+1)/3

k=3t+2

A nhỏ nhất chọn=> t=0=> k=2;m=20

A=31*20+20=20*32= 640

ds: 640

A=7^(2128) phải đưa cơ số về số 0

2128=133.2^4

7^4=2401 có lẽ khai triển từ con 401 

401^2=(...801)

401^3=(...201)

401^4=(---601)

401^5=(....001)  triển khai  đến con này

A=(.....401)^133.4=(....401)^3.(.....401)^5.424=(...201).(...001)^2=(....201)

Vậy 3 số  tận cùng của A là ...201

đáp số: 014+201=215

Ta thấy:

7^1 tận cùng là 7

7^2 tận cùng là 9

7^3 tận cùng là 3

7^4 tận cùng là 1

7^5 tận cùng là 7

7^6 tận cùng là 9

7^7 tận cùng là 3

7^8 tận cùng là 1

...

Vậy 7^a tận cùng là 7, 7^a+1 tận cùng là 9, 7^a+2 tận cùng là 3 7^a+3 tận cùng là 1, (Với a thuộc N; a chia 4 dư 1)

Vì 2128 chia hết cho 4 hay a+3 => Tận cùng của 7^2128 là 1  [1]

Tận cùng là 2014                                                                 [2]

Từ [1] và [2] => Tận cùng của tổng đó là 5

Hai chũ số còn lại tự tìm nhé :D

minh nghi so do la 72

72 không đúng vì

7*2=14 khong chia hết cho 7+2=9

số đó phải là 63 

 Nguười nhận quà mang số 32 trong lần điểm danh đầu tiên . Vì:

- Lần điểm danh thứ nhất có 20 người bị loại . Đó là những người mang số lẻ của dãy số đầu tiên

- Lần điểm danh thứ hai có 10 người bị loại. Đó là những người mang số chẵn không chia hết cho 4

- Lần điểm danh thứ ba có 5 người bị loại. Đó là những người mang số chẵn không chia hết cho 8

- Lần điểm danh thứ tu có 3 người bị loại. Đó là những người mang số chẵn không chia hết cho 16

- Lần điểm danh thứ năm có 1người bị loại. Đó là những người mang số chẵn không chia hết cho 32

Nếu dùng đại số với những ký hiệu về quãng đường, vận tốc thì ta cũng giải được bài toán. Tuy nhiên ta có thể lý luận ngắn gọn như sau:

Trong thời gian Marco đi xe đạp về bến cuối thì xe buýt đi được đoạn AB1.

Giả sử xe buýt vẫn còn ở A thì trong thời gian Marco chạy từ B3 đến B2, xe buýt chạy được quãng đường AB3.

Do vậy, trong thời gian Marco đi xe đạp về bến cuối sau đó chạy ngược về bến giữa thì xe buýt đi được quãng đường dài bằng AB1 + AB3 = 2AB2

do đó sẽ hết 2 x 15 = 30 phút.

Trong thời gian Marco đi xe đạp về bến xe buýt được đoạn AB1 . 

Giả sử xe buýt vẫn còn ở A thì trong thời gian Marco chạy từ B3 đến B2 , xe buýt chạy được quãng đường AB3 .

Do vậy , trong thời gian Marco đi xe đạp về bến cuối sau đó chạy ngược về bến giữa thì xe buýt đi được quãng đường dài bằng :

AB1+AB3=AB4 cũng như 2AB2

Do đó sẽ sẽ chạy hết 2x15=30 phút hay 0,5 giờ

Đặt  \(M=\overline{444...488...8}-\overline{133...3}+1\), \(x=111...111\) (10 chữ số 1)

Khi đó : \(M=\overline{444...488...8}-\overline{133...3}+1=\overline{444...4}.10^{10}+\overline{88...8}-\left(10^{10}+\overline{33...3}\right)+1\)

\(=4.x.10^{10}+8.x-3.x-10^{10}+1\)

\(=4.10^{10}x+5x-10^{10}+1=4.10^{10}.x+5.x-\left(10^{10}-1\right)=4.10^{10}x+5x-9x\)

\(=4.10^{10}x-4x=4x\left(10^{10}-1\right)=4x.9x=36x^2=\left(6x\right)^2\) là một số chính phương.

Nhằm mục đích để bài toán được "gọn" hơn , mình đã làm tắt ở bước \(10^{10}-1=9x\) . Nếu viết rõ ra thì như sau : 

\(10^{10}-1=1000...00-1\) (10 chữ số 0)

\(=999...99\) (10 chữ số 9)

\(=111..111\times9\) (111.111 = x đã đặt ở trên)

\(=9x\)

Là số 10035

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là abc và abc + 1 (\(a\ne0\); a,b,c là các chữ số)

Theo đề bài ta có: abc chia hết cho 8 => abc là số chẵn

=> abc + 1 là số lẻ

Mà abc + 1 chia hết cho 125 và abc + 1 \(\le1000\)

=> abc + 1\(\in\left\{125;375;625;875\right\}\)

=> abc \(\in\left\{124;374;624;874\right\}\)

Mặt khác; abc chia hết cho 8 => abc = 624

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 624 và 625

Đó là số 624 và 625( 624 chia hêt cho 8, 625 chia hết cho 125