M A B C D I' K

Gọi \(I'\) là giao điểm của CD với (O) . CA và DB kéo dài cắt nhau tại K . Ta dễ dàng chứng minh được  K thuộc (O) và tam giác KCD vuông cân tại K. (1)

Trước tiên ta chứng minh \(C,M,D\) thẳng hàng :

Ta có \(\widehat{CMA}+\widehat{AMB}+\widehat{BMD}=45^o+90^o+45^o=180^o\) => C,M,D thẳng hàng. (2)

Xét trong (O) có : \(\widehat{I'MB}=\widehat{I'KB}=\frac{1}{2}\text{sđcung}BI'=45^o\) 

Từ đó suy ra được \(\hept{\begin{cases}KI'\perp CD\left(3\right)\\\text{ }I'\in\left(O\right)\left(\text{**}\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (3) suy ra \(I'\) là trung điểm của CD, mà I cũng là trung điểm của CD

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}I'\equiv I\\CI=ID\end{cases}}\) (*)

Từ (*) và (**) ta suy ra đpcm.

thank you very much

Giả thiết của dề bài chưa đúng, mình sửa lại thành \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC.cosA}\)

Đặt \(a=\sqrt{cosA},b=\sqrt{cosB},c=\sqrt{cosC}\)

Suy từ giả thiết : 

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\)

Vậy ta có \(\sqrt{cosA}=\sqrt{cosB}=\sqrt{cosC}\Rightarrow\hept{\begin{cases}cosA=cosB=cosC\\\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều.

a/ Tam giác BMD vuông tại B có BI là trung tuyến nên IB=MD/2=ID lại có CB = CD
=> IC là đường trung trực của đoạn thẳng BD
=> IC qua trung điểm O của BD hay I,O,C thẳng hàng.
Mặt khác: A,O,C thẳng hàng (O là trung điểm AC)
Vậy A,O,I,C thẳng hàng.
b/ Ta có: AFD = CID (cùng bù với góc AID)
Tứ giác CDIE nội tiếp (tổng hai góc đối I + C = 180 độ)
=> góc CID = CED (2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh CD dưới góc bằng nhau).
Do đó: góc AFD = CED.
c/ Tự chứng minh tam giác AFD = tam giác CED => DF = DE
EF là trung trực của đoạn thẳng MD => DF = FM và DE = EM
Từ đó suy ra DF=FM=EM=DE => DEMF là hình thoi (1)
=> DI là phân giác của góc EDF.
Tứ giác CDIE nội tiếp (tổng hai góc đối I + C = 180 độ)
=> góc IDE = góc ICE = 45 độ => Góc EDF = 2.IDE = 90 độ (2)
Từ (1) và (2) => DEMF là hình vuông.

bvczakk

tui mới học có lớp 6 , câu này cũng hóc búa quá , đợi tui lên lớp 9 tui giải cho

bằng 0

tại sao

cô mình bảo max A=1 tại x=4

Ta có \(A=3.3^n+3^n-1=4.3^n-1\)

\(B=6.3^n-3^n+1=5.3^n+1\)

Khi đó \(A+B=4.3^n-1+5.3^n+1=9.3^n=3^{n+2}\)

Vì (3;7) = 1 nên A + B không chia hết cho 7.

Vậy trong A và B tồn tại ít nhất 1 số không chia hết cho 7.

Chữ số 2.

kick cho mình nha.

Thắng Nguyễn Phần cuối cùng viết rõ ra một chút :

\(2\sqrt{2}\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{y^2+x^2-z^2}{z}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}\)

\(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}-\sqrt{2015}\ge\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{2\left(x+y+z\right)}-\sqrt{2015}=\sqrt{2015}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\sqrt{2015}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}\)

Đặt \(\sqrt{a^2+b^2=z};\sqrt{a^2+c^2}=y;\sqrt{b^2+c^2}=x\left(x;y;z>0\right)\)

\(\Rightarrow a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2};b=\frac{x^2+z^2-y^2}{2};c=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\)

Theo đề \(x+y+z=\sqrt{2015}\)

Ta có:\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2}\cdot x\)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}\cdot x}\)

Tương tự cho 2 cái còn lại rồi, cộng lại:

\(VT\cdot2\sqrt{2}\ge\sqrt{2015}\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}\)

@@ làm xong r quên k gửi 
casio à. làm luôn 2 ý nhé 
Gán \(1\rightarrow A,2\rightarrow B,1\rightarrow C,2\rightarrow D,3\rightarrow E\)
Nhập dòng lệnh trên máy :........
\(A=A+2:C=2D+3C:E=E+C:B=B+2:D=3D+2C:E=E+D\)
\(CALC\) rồi = liên tục =>................
nấy thôi nhé =='

Đặt: \(x_1=\sqrt{a^2}\)

\(x_2=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2}}\)

\(x_3=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\sqrt{a^2}}}\)

...

\(x_n=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}\) ( n dấu căn )

Ta có: \(a\ne0\Rightarrow0< x_1< x_2< x_3< ...< x_{n-1}< x_n\)

Từ: \(x_n=\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}\Rightarrow x_n^2=a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}\)  (n-1 dấu căn ) \(=a^2+x_{n-1}\) 

\(\Rightarrow x_n^2-a^2=x_{n-1}< x_n\Rightarrow x_n^2-a^2< x_n\Rightarrow x_n^2-x_n-a^2< 0\)

\(\Rightarrow\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-a^2< 0\Rightarrow\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2< \frac{1+4a^2}{4}\Rightarrow x_n< \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{1+4a^2}}{2}\) (1)

Ta cần chứng minh: \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{1+4a^2}}{2}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\) (2)

Thật vậy, ta có: \(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+4a^2}}{2}< \frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{1+4a^2}< \sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\)

\(\Leftrightarrow16\left(1+4a^2\right)< 10+32a^2+2\sqrt{\left(1+16a^2\right)\left(9+16a^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow32a^2+6< 2\sqrt{\left(1+16a^2\right)\left(9+16a^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow16a^2+3< \sqrt{\left(1+16a^2\right)\left(9+16a^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow256a^4+96a^2+9< 9+160a^2+256a^4\)

\(\Leftrightarrow-64a^2< 0\) ( luôn đúng với mọi a khác 0)

=> Bất đẳng thức (2) đúng

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow x_n< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a}}}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)

Ngọc bổ sung một cách khác nhé :))

Ta xét vế trái, vì dễ thấy \(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...+\sqrt{a^2}}}\) (n dấu căn) \(< \sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...}}}\)(vô hạn dấu căn)

Ta đặt \(\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+\sqrt{a^2+...}}}=t,t\ge0\)

\(\Rightarrow t^2=t+a^2\Rightarrow t^2-t-a^2=0\)

Ta đưa phương trình trên về phương trình bậc hai ẩn t , khi đó \(\Delta=1+4a^2>0\Rightarrow t=\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}\) (vì \(t\ge0\))

Do vậy ta chỉ cần chứng minh \(\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}< \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(\sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{1+4a^2}< \sqrt{1+16a^2}+\sqrt{9+16a^2}\)

\(\Leftrightarrow16\left(1+4a^2\right)< 32a^2+10+2\sqrt{1+16a^2}.\sqrt{9+16a^2}\)

\(\Leftrightarrow16a^2+3< \sqrt{1+16a^2}.\sqrt{9+16a^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(16a^2+3\right)^2< \left(16a^2+1\right)\left(16a^2+9\right)\)

\(\Leftrightarrow16^2a^4+96a^2+9< 16^2a^4+160a^2+9\)

\(\Leftrightarrow0< 64a^2\) (luôn đúng với \(a\ne0\))

Vậy ta có đpcm.