abc + bca + cab = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b = 111(a + b + c) = 37.3(a + b + c) chia hết cho 37

mà abc và bca chia hết cho 37

=> cab chia hết cho 37

abc = 11.37a 

a) bn tự lm

b) n + 2 chia hết cho n² + 1

=> n.(n + 2) chia hết cho n² + 1

=> n² + 2n chia hết cho n² + 1

=> n² + 1 + 2n - 1 chia hết cho n² + 1

Do n² + 1 chia hết cho n² + 1 => 2n - 1 chia hết cho n² + 1 (1)

Lại có: n + 2 chia hết cho n² + 1 (theo đề bài)

=> 2.(n + 2) chia hết cho n² + 1

=> 2n + 4 chia hết cho n² + 1 (2)

Từ (1) và (2) => (2n + 4) - (2n - 1) chia hết cho n² + 1

=> 2n + 4 - 2n + 1 chia hết cho n² + 1

=> 5 chia hết cho n² + 1

Mà \(n\in N\) nên \(n^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow n^2+1\in\left\{1;5\right\}\)

\(\Rightarrow n^2\in\left\{0;4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2\right\}\)

Thử lại ta thấy trường hợp n = 2 không thỏa mãn

Vậy n = 0

c) bn tự lm

đon giản wá

Ta thấy 1.1! + 1! = 2.1! = 2!

            2.2! + 2! = 3.2! = 3!

                  ....

Vì vậy ta có: S + 1! + 2! + 3! + ... + 100! = (1.1! + 1!) + (2.2!+2!) + ... + (100.100! + 100!) = 2! + 3! + 4! + ... + 100! + 101!

                   \(\Rightarrow S+1!=101!\Rightarrow S=101!-1.\)

Ta có công thức thu gọn : \(n.n!=n!.\left(n+1-1\right)=\left(n+1\right)!-n!\)

Áp dụng với n = 1,2,...,100 sẽ được kết quả giống như cô Huyền.

- Dùng sợi chỉ quấn 20 - 30 vòng sát nhau quanh cây bút chì. Đánh dấu độ dài đã quấn được lên bút chì. Dùng thước có ĐGNN phù hợp để đo độ dài đã đánh dấu. Lấy kết quả đo chia cho số vòng dây thì sẽ ra được đường kính sợi chỉ.

a)TH1: n chẵn

Đặt \(n=2k\)

Trước hết n chẵn nên n + 1 lẻ

\(\Rightarrow\left(-1\right)^{n+1}=-1\text{≡}-1\left(mod3\right)\)

\(2^2=4\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(2^2\right)^k=2^{2k}\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n\text{≡}1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n+\left(-1\right)^{n+1}\text{≡}1+\left(-1\right)\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2^n+\left(-1\right)^{n+1}}{3}\in N\)

TH2 : n lẻ

Đặt \(n=2k+1\)

Lại có n + 1 chẵn nên \(\left(-1\right)^{n+1}=1\text{≡}-2\left(mod3\right)\)

\(\left(2^2\right)^k.2\text{≡}1.2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{2k+1}\text{≡}2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n\text{≡}2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^n+\left(-1\right)^{n+1}\text{≡}2+\left(-2\right)\text{≡}0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2^n+\left(-1\right)^{n+1}}{3}\in N\)

Vậy ...

chịu thôi

2015 là số có 4 chữ số

abc là số có 3 chữ số 

Chỉ 2015\(^0\)bé hơn số có 3 chữ số Còn các số mũ<0 thì lớn hơn số có 3 chữ số suy ra abc không tồn tại để thỏa mãn yêu cầu

không gì cả

a) E = 7¹⁰⁰ - 7⁹⁹ + 7⁹⁸ - 7⁹⁷ + ... + 7² - 7 + 1

7E = 7¹⁰¹ - 7¹⁰⁰ + 7⁹⁹ - 7⁹⁸ + ... + 7³ - 7² + 7

7E + E = (7¹⁰¹ - 7¹⁰⁰ + 7⁹⁹ - 7⁹⁸ + ... + 7³ - 7² + 7) + (7¹⁰⁰ - 7⁹⁹ + 7⁹⁸ - 7⁹⁷ + ... + 7² - 7 + 1)

8E = 7¹⁰¹ + 1

\(E=\frac{7^{101}+1}{8}\)

b) Ta có:

8E - 1 = 7¹⁰¹ + 1 - 1

8E - 1 = 7¹⁰¹ = 7²ⁿ⁺¹

=> 2n + 1 = 101

=> 2n = 101 - 1

=> 2n = 100

=> n = 100 : 2

=> n = 50

Vậy n = 50

c) E = 7¹⁰⁰ - 7⁹⁹ + 7⁹⁸ - 7⁹⁷ + ... + 7² - 7 + 1 (có 101 số; 101 chia 4 dư 1)

E = (7¹⁰⁰ - 7⁹⁹ + 7⁹⁸ - 7⁹⁷) + (7⁹⁶ - 7⁹⁵ + 7⁹⁴ - 7⁹³) + ... + (7⁴ - 7³ + 7² - 7) + 1

E = 7⁹⁷.(7³ - 7² + 7 - 1) + 7⁹³.(7³ - 7² + 7 - 1) + ... + 7.(7³ - 7² + 7 - 1) + 1

E = 7⁹⁷.300 + 7⁹³.300 + ... + 7.300 + 1

E = 300.(7⁹⁷ + 7⁹³ + ... + 7) + 1

E = (...0) + 1

E = (...1)

Thật sự ngạc nhiên khi một bài dễ như này vào câu hỏi hay :)

15 điểm thẳng hàng => còn lại 2015 - 15 = 2000 (điểm phân biệt)

=> Số đoạn thẳng tạo từ 2000 điểm phân biệt là :

\(\frac{2000.\left(2000-1\right)}{2}=1999000\) (đoạn thẳng)

Cộng với 1 đoạn thẳng gồm 15 điểm => Người ta tạo được 1999001 đoạn thẳng

Điều kiện \(0< a,b,c\le9\) và \(a\ne b,\)\(b\ne c,\)\(c\ne a.\)

Ta viết lại \(\frac{\overline{ab}}{\overline{ca}}=\frac{b}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(10a+b\right)c=\left(10c+a\right)b\)\(\Leftrightarrow\)\(10ac-10bc=ab-bc\)

\(\Leftrightarrow\)\(2.5c\left(a-b\right)=b\left(a-c\right)\)(1)

Do \(c\ne0\) và \(a\ne b\) nên \(b\left(a-c\right)\) chia hết cho 5. Xảy ra 3 trường hợp:

- TH1: \(b\) chia hết cho 5, mà \(0< b\le9\) \(\Rightarrow\)\(b=5.\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2.5.c\left(a-5\right)=5\left(a-c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(2c\left(a-5\right)=a-c\)\(\Leftrightarrow\)\(2ac-a-9c=0\)(2)

\(\Leftrightarrow\)\(a=2ac-9c=c\left(2a-9\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(c=\frac{a}{2a-9}\)

Mặt khác (2) \(\Leftrightarrow\)\(2ac=a+9c\)\(\Leftrightarrow\)\(2c=\frac{a+9c}{a}=1+\frac{9c}{a}=1+\frac{\frac{9a}{2a-9}}{a}=1+\frac{9}{2a-9}\)

Do \(2c>0\) nên \(2a-9>0,\) do đó \(2a-9\in\left\{3;9\right\}\)Ta có \(2a-9\ne1\) vì \(a\ne c.\)

Ta tìm được \(\left(a;b;c\right)=\left(6;5;2\right),\left(9;5;1\right).\)

- TH2: \(a-c\) chia hết cho 5 nên \(a-c=5\)\(\Rightarrow\)\(a=c+5\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2c\left(c+5-b\right)=b\)\(\Leftrightarrow\)\(b=\frac{2c^2+10c}{2c+1}\)\(\Leftrightarrow\)\(2b=2c+9-\frac{9}{2c+1}\)

Suy ra \(2c+1\in\left\{3;9\right\}\) do \(c\ne0.\) Tìm được \(\left(a;b;c\right)=\left(6;4;1\right),\left(9;8;4\right).\)

- TH3: \(c=a+5\)

(1) \(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+5\right)\left(a-b\right)=-b\)\(\Leftrightarrow\)\(b=\frac{2a^2+10a}{2a-9}\)\(\Leftrightarrow\)\(2b=2a+19-\frac{9.19}{2a-9}\)

Suy ra \(b>9,\) ta không xét.

Vậy có 4 bộ số thỏa đề bài: \(\left(a;b;c\right)=\left(6;5;2\right),\left(9;5;1\right),\left(6;4;1\right),\left(9;8;4\right).\)

a;b;c=(9;5;1),(9;8;4),(6;4;1),(6;5;2)