A B C H E F K O I

Kí hiệu các điểm như trênh hình vẽ. Gọi r1 và r2 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác CBH và CHA và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Dễ dàng chứng minh được : \(\Delta HBC~\Delta CBA\left(g.g\right)\Rightarrow\left(\frac{r_1}{r}\right)^2=\left(\frac{BC}{AB}\right)^2\)

và \(\Delta HAC~\Delta CAB\left(g.g\right)\Rightarrow\left(\frac{r_2}{r}\right)^2=\left(\frac{AC}{AB}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=\frac{AC^2+BC^2}{AB^2}=\frac{AB^2}{AB^2}=1\Rightarrow r_1^2+r_2^2=r^2\)

Như trên hình vẽ ta có : \(EF^2=FK^2+KE^2=\left(r_1+r_2\right)^2+\left(r_2-r_1\right)^2=2\left(r_1^2+r_2^2\right)=2r^2\)

\(\Rightarrow EF=\sqrt{2}r\). Ta có EF đạt giá trị lớn nhất khi r đạt giá trị lớn nhất. 

Mà ta có : \(OI^2=R\left(R-2r\right)\) (Mình sẽ chứng minh ở bài khác)

\(\Rightarrow r=\frac{R-\frac{OI^2}{R}}{2}=\frac{R^2-OI^2}{2R}\)

Vì R không đổi nên r đạt giá trị lớn nhất khi OI đạt giá trị nhỏ nhất.

Mà theo công thức ba điểm ta lại có : \(OI\ge OC-IC=R-IC\)

Dấu "=" xảy ra khi O,I,C thẳng hàng => C là điểm chính giữa cung AB .

Vậy C là điểm chính giữa cung AB thi EF đạt giá trị lớn nhất

Cái đoạn \(OI^2=R\left(R-2r\right)\) chính là hệ thức Euler, bạn có thể tham khảo cách chứng minh ở nguồn khác nhé :)

Từ gt,ta có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c\left(a+b+c\right)}\Rightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-\left(a+b\right)ab\)

=> 0 = (a + b)(ca + cb + c²) - [-(a + b)ab] = (a + b)(ca + cb + c² + ab) = (a + b)(c + a)(c + b)

=> a + b = 0 hoặc c + a = 0 hay c + b = 0.Giả sử a = -b thì a¹⁵ = -b¹⁵ nên a¹⁵ + b¹⁵ = 0 => N = 0

\(C=ab+2bc+3ca=ab+ca+2bc+2ca\)
   \(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)  
   \(=a\left(1-a\right)+2c\left(1-c\right)=-a^2+a-2c^2+2c\)
    \(=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-2\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\le\frac{3}{4}.\)
Vậy GTLN của C = \(\frac{3}{4}\)khi \(a=\frac{1}{2};c=\frac{1}{2};b=0.\)

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>C=ab+2bc+3ca=ab+ca+2bc+2ca
   =a(b+c)+2c(a+b)  
   =a(1−a)+2c(1−c)=−a2+a−2c2+2c
    =−(a−12 )2−2(c−12 )2+34 ≤34 .
Vậy GTLN của C = 34 khi a=12 ;c=12 ;b=0.

Điều kiện xác định ; \(\hept{\begin{cases}x,y\ge0\\x,y\in Z\end{cases}}\)

Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{931}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=931\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-x+y=931-x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y}.\sqrt{y}=931-x+y\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{y}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=931-x+y\)

\(\Leftrightarrow4y\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(931-x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4y.931=\left(931-x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2^2.7^2.19.y=\left(931-x+y\right)^2\)

Nhận xét : Vế phải là bình phương của một số tự nhiên, do vậy đẳng thức xảy ra khi vế trái cũng là bình phương của một số tự nhiên. Vậy thì \(y=19.k^2\)với k là một số tự nhiên

Ta xét với k = 1,2,3,.... thì chọn được k = 7 thỏa mãn. (Chú ý điều kiện \(y\le931\))

Vậy (x;y) = (0;931) ; (931;0)

Ta vẫn chọn được hai cặp (x;y) vì do vai trò của hai số này bình đẳng.

chao p

Gọi cặp hai tập hợp con không giao nhau của X là ( A; B), trong đó \(A\in X;B\in X;A\cap B=\Phi\)

Lấy 1 phần tử \(x\in X\) thì có 3 trường hợp:

\(x\in A;x\in B\) hoặc x không thuộc cả A và B.

Như vậy có tổng cổng 3ⁿ cặp được sắp thứ tự gồm hai tập con không giao nhau của X. Lại có trong 3ⁿ cặp đó có duy nhất 1 cặp gồm hai tập hợp rỗng, như vậy có 3ⁿ - 1 cặp được sắp thứ tự gồm hai tập con không giao nhau của X, trong đó có ít nhất một tập hợp khác rỗng. Lại có cặp (A ; B) và cặp (B ; A) là giống nhau, như vậy có \(\frac{3^n-1}{2}\) cặp .

Lại có cặp gồm hai tập rỗng cũng thỏa mãn \(A\cap B=\Phi\) nên số cặp thỏa mãn đề bài là \(\frac{3^n-1}{2}+1=\frac{3^n+1}{2}\).

tớ mới học lớp 12 thôi 

e học mới có lớp 5 tuy em lớn nhất tiểu học 1 năm nữa là em nhỏ nhất cơ sở

tớ mới lớp 6