\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4b+y^4a}{ab}=\frac{\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)}{a+b}\Rightarrow x^4ab+x^4b^2+y^4ab+y^4a^2=x^4ab+y^4ab+2x^2y^2ab\)
\(\Leftrightarrow x^4b^2+y^4a^2-2x^2y^2ab=0\Leftrightarrow\left(x^2b-y^2a\right)^2=0\Leftrightarrow x^2b=y^2a\Leftrightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2010}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)^{1006}}{\left(a+b\right)^{1006}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1006}}\)
 

Nếu để ý thì bài này dùng coossi sờ vác ngay bước đầu sẽ ngắn đi rất nhiều 

Câu 1 thì mình biết làm đó.

Vì 2013 chia 7 dư 4 nên 2013²⁰¹² chia 7 cũng dư 4

chắc là 2 đấy

Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
 \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a.b}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)=0.\)
Vậy: hoặc a + b = 0 hoặc c + a = 0 hoặc c + b =0.
Vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử \(a+b=0\Leftrightarrow a=-b.\)
Khi đó: \(\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{b^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{\left(-a\right)^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{c^{2007}}.\)
           \(\frac{1}{a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}+\left(-a\right)^{2007}+c^{2007}}=\frac{1}{c^{2007}}.\)
Vậy: \(\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{b^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}}.\)(đpcm).

bạn béo 

T-T MÌNH KO HIỂU

thiếu đề nhưng mk đã làm 1 bài giống thế này nên biết đoạn sau của nó như sau: CMR:AB+BC+CA>3/2(AH+BH+CH)...Nếu ko đúng thì bỏ qua nhé!

Nếu chỉ có BDT đươn thuần thì : 
Qua H kẻ đt // AC cắt AB tại X và đt // AB cắt AC tại Y => XHY là hbh và HX vg BH, HY vg CH 
AB + AC = BX + (XA + AY) + YC = BX + (AX + XH) + YC > HB + HA + HC 
Tương tự có BA + BC > HA + HB + HC, CA + CB > HA + HB + HC 
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có 2(AB + AC + BC) > 3(HA + HB + HC) 
```````````````````````````````````````... 
Ta se Cm một BDT mạnh hơn và toàn diện hơn 
Giả sử a >=b >= c. Do 2S = a ha = b hb = c hc =>ha <= hb <= hc 
Goij A1; B1 ; C1 lan luot la hinh chieu cua A; B : C len cac canh cua Tam giac ABC 
Ta co ha = AH.S/( Sb + Sc) ≤ hb = BH.S/(Sa + Sc) => AH( Sa + Sc) ≤ BH( Sb + Sc) (1 ) 
Ta se CM Sa ≥ Sb 
DO Sa/Sb = BC1/AC1 = BC cosB /( AC cosA) = sinA cosB/(sinB cosA) = tanA/tanB ≥ 1 do a ≥ b suy ra Sa≥ Sb => Sa + Sc ≥ Sb + Sc ( 2) 
Tu (1) va (2 ) suy ra AH ≤ BH, tuong tu ta suy ra BH ≤ CH do do AH ≤ BH ≤ CH \ 
Do 6S = a ha + b hb + c hc = aAH + b BH + c CH + 2(Sa+Sb+Sc) = 
= aAH + b BH + c CH +2S => aAH + b BH + c CH = 4S 
Áp dụng BDT che-bu-sep ta co (a+b+c)(AH + BH + CH) <= 3( a AH + b BH + c CH) 

= 12S = 6absinC = 24R^2 sinA sinB sinC 
Ta dự đoán 12R^2 sinA sinB sinC <= 1/(2√3) (a+b+c)^2 = 2/(√3)R^2 * ( sinA + sinB + sinC)^2 
<=> sinA sinB sinC < = 1/(6√3) ( sinA + sinB + sinC)^2 
Ta có (sinA + sinB + sinC )^2 <= 3( sin^2A + sin^2B + sin^2C) = 
= 3/2 ( 2 - cos^2C + cosC cos( A-B) ) <= 3/2 ( 2 -cos^2C + cosC) 
<= 27/4 =>sinA + sinB + sinC ≤ 3√3/2 
=> 3√3/2 ≥ 3³√(sinA sinB sinC) => ³√(sinA sinB sinC) ≤ √3/2 
suy ra (sinA + sinB + sinC)²/(sinA sinB sinC) ≥ 9/³√(sinA sinB sinC) ≥ 6√3 
Từ đó suy ra (a+b+c)(AH + BH + CH) ≤ √3/3 ( a + b + c )² => 
=> 3/2( AH + BH + CH) ≤ √3/2 (a+b+c) < a + b + c 

THIẾU ĐỀ NHƯNG MÌNH LÀM BÀI TƯƠNG TỰ GIỐNG BÀI CỦA BẠN NHA !

Nếu chỉ có BDT đươn thuần thì : 
Qua H kẻ đt // AC cắt AB tại X và đt // AB cắt AC tại Y => XHY là hbh và HX vg BH, HY vg CH 
AB + AC = BX + (XA + AY) + YC = BX + (AX + XH) + YC > HB + HA + HC 
Tương tự có BA + BC > HA + HB + HC, CA + CB > HA + HB + HC 
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có 2(AB + AC + BC) > 3(HA + HB + HC) 
```````````````````````````````````````... 
Ta se Cm một BDT mạnh hơn và toàn diện hơn 
Giả sử a >=b >= c. Do 2S = a ha = b hb = c hc =>ha <= hb <= hc 
Goij A1; B1 ; C1 lan luot la hinh chieu cua A; B : C len cac canh cua Tam giac ABC 
Ta co ha = AH.S/( Sb + Sc) ≤ hb = BH.S/(Sa + Sc) => AH( Sa + Sc) ≤ BH( Sb + Sc) (1 ) 
Ta se CM Sa ≥ Sb 
DO Sa/Sb = BC1/AC1 = BC cosB /( AC cosA) = sinA cosB/(sinB cosA) = tanA/tanB ≥ 1 do a ≥ b suy ra Sa≥ Sb => Sa + Sc ≥ Sb + Sc ( 2) 
Tu (1) va (2 ) suy ra AH ≤ BH, tuong tu ta suy ra BH ≤ CH do do AH ≤ BH ≤ CH \ 
Do 6S = a ha + b hb + c hc = aAH + b BH + c CH + 2(Sa+Sb+Sc) = 
= aAH + b BH + c CH +2S => aAH + b BH + c CH = 4S 
Áp dụng BDT che-bu-sep ta co (a+b+c)(AH + BH + CH) <= 3( a AH + b BH + c CH) 

= 12S = 6absinC = 24R^2 sinA sinB sinC 
Ta dự đoán 12R^2 sinA sinB sinC <= 1/(2√3) (a+b+c)^2 = 2/(√3)R^2 * ( sinA + sinB + sinC)^2 
<=> sinA sinB sinC < = 1/(6√3) ( sinA + sinB + sinC)^2 
Ta có (sinA + sinB + sinC )^2 <= 3( sin^2A + sin^2B + sin^2C) = 
= 3/2 ( 2 - cos^2C + cosC cos( A-B) ) <= 3/2 ( 2 -cos^2C + cosC) 
<= 27/4 =>sinA + sinB + sinC ≤ 3√3/2 
=> 3√3/2 ≥ 3³√(sinA sinB sinC) => ³√(sinA sinB sinC) ≤ √3/2 
suy ra (sinA + sinB + sinC)²/(sinA sinB sinC) ≥ 9/³√(sinA sinB sinC) ≥ 6√3 
Từ đó suy ra (a+b+c)(AH + BH + CH) ≤ √3/3 ( a + b + c )² => 
=> 3/2( AH + BH + CH) ≤ √3/2 (a+b+c) < a + b + c 
```````````````````````````````````````... 
Rõ ràng BDT cuối mà ta cm dc mạnh hơn BDT cần CM 

A B C D M N E F O I

Gọi giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của NC và EF là I.

Xét tam giác ANC có M là trung điểm AN, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình tam giác ANC. Vì vậy, MO hay BD song song NC.

Ta có: \(\widehat{EFC}=\widehat{NCF}=\widehat{CDM}=\widehat{DCA}\Rightarrow\) EF // AC.

b. Kéo dài EF cắt AN tại M', ta chứng minh M' = M.

Thật vậy, xét tam giác ANC có I là trung điểm NC, IM' song song AC nên M' là trung điểm AN. Vậy M' trùng M hay M, E ,F thẳng hàng.

Hoàng Thị Thu Huyền cô Huyền ơi cho em hỏi tại s anh Việt và cô gv (QT) s wá trời điểm ạ

Làm biếng lắm

đm đéo lm thì đừng có mà cmt là lm biếng đéo bt lm nói mẹ luôn đi cho đỡ daì dòng AZUMA ạ