BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

A. Các định nghĩa

1. Ước và Bội của một số nguyên

Với $a, \, b \in \mathbb{Z}$ và $b \ne 0$. Nếu có số nguyên $q$ sao cho $a = bq$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$. Ta còn nói $a$ là bội của $b$ và $b$ là ước của $a$.

2. Nhận xét

- Nếu $a = bq$ thì ta nói $a$ chia cho $b$ được $q$ và viết $a : b = q$.

- Số $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$. Số $0$ không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số $1$ và $-1$ là ước của mọi số nguyên.

3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết

Nếu số tự nhiên $a$ chia cho số tự nhiên $b$ được số dư là $k$ thì số $(a - k) \,\, \vdots \,\, b$.

4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung của các số $a, \, b, \, c$ được kí hiệu là ƯC$(a, \, b, \, c)$.

5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung của các số $a, \, b, \, c$ được kí hiệu là BC$(a, \, b, \, c)$.

6. Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của các số đó.

B. Các tính chất

- ƯCLN$(a, \, 1) = 1$; BCNN$(a, \, 1) = a$.

- Nếu $a \,\, \vdots \,\, b \Rightarrow $ ƯCLN$(a, \, b) = b$; BCNN$(a, \, b) = a$.

- Nếu $a, \, b$ nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow $ ƯCLN$(a, \, b) = 1$; BCNN$(a, \, b) = a \cdot b$.

- ƯC$(a, \, b) = \text{Ư}\big($ ƯCLN$(a, \, b)\big)$ và BC$(a, \, b) = \text{B}\big($ BCNN$(a, \, b)\big)$.

- Nếu ƯCLN$(a, \, b) = d$; $\begin{cases} a = dm \\ b = dn \end{cases} \Rightarrow $ ƯCLN$(m, \, n) = 1$. Ví dụ: ƯCLN$(10, \, 15) = 5$; $\begin{cases} 10 = 2 \cdot 5 \\ 15 = 3 \cdot 5 \end{cases} \Rightarrow $ ƯCLN$(2, \, 3) = 1$.

- Nếu BCNN$(a, \, b) = c$; $\begin{cases} c = am \\ c = bn \end{cases} \Rightarrow $ ƯCLN$(m, \, n) = 1$. Ví dụ: BCNN$(10, \, 15) = 30$; $\begin{cases} 30 = 10 \cdot 3 \\ 30 = 15 \cdot 2 \end{cases} \Rightarrow $ ƯCLN$(2, \, 3) = 1$.

- $a \cdot b = $ ƯCLN$(a, \, b) \cdot $ BCNN$(a, \, b)$.

- Nếu $a$ là ước của $b$ thì $-a$ cũng là ước của $b$.

- Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b$.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Tìm ước và bội của một số nguyên

Phương pháp giải:

- Từ việc tìm ước và bội của một số tự nhiên suy ra ước và bội của một số nguyên.

- Chú ý: Nếu $a$ là ước của $b$ thì $-a$ cũng là ước của $b$. Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b$.

Ví dụ 1. Cho hai tập hợp số $A = \{2; \, 3; \, 4; \, 5; \, 6\}$ và $B = \{21; \, 22; \, 23\}$.

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng $(a + b)$ với $a \in A$ và $b \in B$?

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho $2$?

Lời giải

a) Số các tổng dạng $(a + b)$ với $a \in A$ và $b \in B$ là: $5 \cdot 3 = 15$ (tổng).

b) Tổng $(a + b)$ chia hết cho $2$ khi $a$ và $b$ cùng tính chẵn lẻ.

- Trường hợp 1: $a$ chẵn và $b$ chẵn.

Tập $A$ có $3$ số chẵn, tập $B$ có $1$ số chẵn. Có $3 \cdot 1 = 3$ tổng.

- Trường hợp 2: $a$ lẻ và $b$ lẻ.

Tập $A$ có $2$ số lẻ, tập $B$ có $2$ số lẻ. Có $2 \cdot 2 = 4$ tổng.

Vậy số các tổng chia hết cho $2$ là: $3 + 4 = 7$ (tổng).

Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên)

Phương pháp giải:

Tìm số $n \in \mathbb{Z}$ để số $A$ chia hết cho số $B$ hoặc $\dfrac{A}{B}$ là số nguyên, trong đó $A, \, B$ là các biểu thức phụ thuộc vào số $n$.

- Viết biểu thức $A$ dưới dạng $A = k \cdot B + m$ ($k, \, m \in \mathbb{Z}$).

- Lập luận:

+ Vì $k \cdot B$ chia hết cho $B$, nên để $A$ chia hết cho $B$ thì số $m$ phải chia hết cho $B$ hay $B$ là ước của $m$.

+ Giải điều kiện $B$ là ước của số $m$, ta tìm được $n$.

Ví dụ 2. Tìm $n \in \mathbb{Z}$ biết: $(3n + 8) \,\, \vdots \,\, (n + 1)$.

Lời giải

Ta có: $3n + 8 = 3n + 3 + 5 = 3(n + 1) + 5$.

Để $(3n + 8) \,\, \vdots \,\, (n + 1)$ thì $5 \,\, \vdots \,\, (n + 1)$ (vì $3(n + 1) \,\, \vdots \,\, (n + 1)$).

Suy ra $(n + 1) \in \text{Ư}(5) = \{-5; \, -1; \, 1; \, 5\}$.

- Với $n + 1 = -5 \Rightarrow n = -6$.

- Với $n + 1 = -1 \Rightarrow n = -2$.

- Với $n + 1 = 1 \Rightarrow n = 0$.

- Với $n + 1 = 5 \Rightarrow n = 4$.

Vậy $n \in \{-6; \, -2; \, 0; \, 4\}$.

Ví dụ 3. Cho $A = \dfrac{3n - 5}{n + 4}$. Tìm $n \in \mathbb{Z}$ để $A$ có giá trị nguyên.

Lời giải

Ta có $A = \dfrac{3n - 5}{n + 4} = \dfrac{3n + 12 - 17}{n + 4} = \dfrac{3(n + 4) - 17}{n + 4} = 3 - \dfrac{17}{n + 4}$.

Để $A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{17}{n + 4} \in \mathbb{Z} \Rightarrow (n + 4) \in \text{Ư}(17) = \{-17; \, -1; \, 1; \, 17\}$.

- Với $n + 4 = -17 \Rightarrow n = -21$.

- Với $n + 4 = -1 \Rightarrow n = -5$.

- Với $n + 4 = 1 \Rightarrow n = -3$.

- Với $n + 4 = 17 \Rightarrow n = 13$.

Vậy $n \in \{-21; \, -5; \, -3; \, 13\}$ thì $A$ có giá trị nguyên.

Dạng 3: Phương trình ước

Phương pháp giải:

- Tìm cặp số nguyên $x, \, y$ thỏa mãn $P(x, \, y) = m$, ta đưa về dạng $A(x, \, y) \cdot B(x, \, y) = m$, từ đó suy ra $A(x, \, y)$ và $B(x, \, y)$ là các ước của $m$, suy ra giá trị của $x, \, y$.

Ví dụ 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; \, y)$ sao cho $xy - 2x + y + 1 = 0$.

Lời giải

Ta có: $xy - 2x + y + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x(y - 2) + y - 2 + 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)(y - 2) = -3$.

Vì $x, \, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1, \, y - 2 \in \mathbb{Z}$.

Do đó, $(x + 1)$ và $(y - 2)$ là các cặp ước của $-3$.

Ta có các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: $\begin{cases} x + 1 = 1 \\ y - 2 = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = -1 \end{cases}$.

- Trường hợp 2: $\begin{cases} x + 1 = -1 \\ y - 2 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = 5 \end{cases}$.

- Trường hợp 3: $\begin{cases} x + 1 = 3 \\ y - 2 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$.

- Trường hợp 4: $\begin{cases} x + 1 = -3 \\ y - 2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -4 \\ y = 3 \end{cases}$.

Từ đó suy ra $(x; \, y) \in \{(0; \, -1); \, (-2; \, 5); \, (2; \, 1); \, (-4; \, 3)\}$.

Ví dụ 5. Tìm các cặp số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn $(x + 1)(2y - 5) = 8$.

Lời giải

Vì $x, \, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1, \, 2y - 5 \in \mathbb{Z}$.

Ta có $(x + 1)(2y - 5) = 8 \Rightarrow 2y - 5 \in \text{Ư}(8)$.

Mà $2y - 5$ là số lẻ nên $2y - 5 \in \{1; \, -1\}$.

- Trường hợp 1: $2y - 5 = 1 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.

Khi đó $x + 1 = 8 \Rightarrow x = 7$.

- Trường hợp 2: $2y - 5 = -1 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$.

Khi đó $x + 1 = -8 \Rightarrow x = -9$.

Vậy $(x; \, y) \in \{(7; \, 3); \, (-9; \, 2)\}$.