CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa về ước và bội

+ Ước: Số tự nhiên $d$ được gọi là ước của số tự nhiên $a$ khi và chỉ khi $a$ chia hết cho $d$. Ta nói $d$ là ước của $a$.

Nhận xét: Tập hợp các ước của $a$ là Ư$(a) = \{d \in \mathbb{N} \mid a \,\, \vdots \,\, d\}$.

+ Bội: Số tự nhiên $m$ được gọi là bội của $a$ khi và chỉ khi $m$ chia hết cho $a$ hay $a$ là một ước của $m$.

Nhận xét: Tập hợp các bội của $a$ là B$(a) = \{m \in \mathbb{N} \mid m \,\, \vdots \,\, a\}$.

2. Tính chất

- Số $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$. Số $0$ không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số $1$ và $-1$ là ước của mọi số nguyên.

- Nếu số tự nhiên $a > 1$ có tập hợp ước Ư$(a) = \{1; \, a\}$ thì $a$ là số nguyên tố.

- Số lượng các ước của một số: Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên $a$ là $a = p_1^x \cdot p_2^y \dots$ thì số lượng các ước của $a$ bằng $(x + 1)(y + 1)\dots$

Thật vậy, ước của $a$ là số có dạng $p_1^m \cdot p_2^n \dots$ trong đó: $m$ có $x + 1$ cách chọn (từ $0$ đến $x$), $n$ có $y + 1$ cách chọn (từ $0$ đến $y$), $\dots$

Do đó, số lượng các ước của $a$ bằng $(x + 1)(y + 1)\dots$

3. Ước chung và bội chung

+ Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư$(a)$ và Ư$(b)$ có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước chung của $a$ và $b$. Kí hiệu: ƯC$(a; \, b)$.

+ Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số $d \in \mathbb{N}^*$ được gọi là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ ($a, \, b \in \mathbb{Z}$) khi $d$ là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC$(a; \, b)$. Kí hiệu: ƯCLN$(a; \, b)$ hoặc $(a; \, b)$.

+ Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B$(a)$ và B$(b)$ có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội chung của $a$ và $b$. Kí hiệu: BC$(a; \, b)$.

+ Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số $m \ne 0$ được gọi là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$ khi $m$ là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp BC$(a; \, b)$. Kí hiệu: BCNN$(a; \, b)$ hoặc $[a; \, b]$.

Một số tính chất của ƯCLN và BCNN:

- Nếu ƯCLN$(a; \, b) = 1$ thì ta nói $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

- Nếu ƯCLN$(a; \, b) = \text{ƯCLN}(b; \, c) = \text{ƯCLN}(c; \, a) = 1$ thì ta nói $a, \, b, \, c$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

- Mọi ước chung của $a$ và $b$ đều là ước của ƯCLN$(a; \, b)$.

- Nếu $a \,\, \vdots \,\, b$ thì ƯCLN$(a; \, b) = b$ và BCNN$(a; \, b) = a$.

- Nếu ƯCLN$(a; \, b) = d$ thì tồn tại $m, \, n$ sao cho $a = m \cdot d$, $b = n \cdot d$ với ƯCLN$(m; \, n) = 1$.

- Mọi bội chung của $a$ và $b$ đều là bội của BCNN$(a; \, b)$.

- Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng: ƯCLN$(a; \, b) \cdot $ BCNN$(a; \, b) = a \cdot b$.

II. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN

Phương pháp giải

Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên $a$ là $a = p_1^x \cdot p_2^y \dots$ thì số lượng các ước của $a$ bằng $(x + 1)(y + 1)\dots$

Ví dụ 1. Tìm số lượng các ước của số $360$.

Lời giải

Ta có phân tích ra thừa số nguyên tố: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Vậy số lượng các ước của số $360$ là: $(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ (ước).

Dạng 2. Tìm số nguyên $n$ để thỏa mãn điều kiện chia hết

Phương pháp giải

Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần hằng số (phần dư). Sau đó, để thỏa mãn yêu cầu chia hết thì số chia phải là ước của phần hằng số dư đó, từ đó ta tìm được số nguyên $n$.

Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên $n$ để $5n + 14$ chia hết cho $n + 2$.

Lời giải

Ta có: $5n + 14 = 5 \cdot (n + 2) + 4$.

Vì $5 \cdot (n + 2) \,\, \vdots \,\, (n + 2)$ nên để $(5n + 14) \,\, \vdots \,\, (n + 2)$ thì $4 \,\, \vdots \,\, (n + 2)$.

Suy ra $(n + 2)$ là ước của $4$. Do đó $(n + 2) \in \{1; \, 2; \, 4\}$.

Ta có bảng giá trị:

+ Nếu $n + 2 = 1 \Rightarrow n = -1$ (loại vì $n \in \mathbb{N}$).

+ Nếu $n + 2 = 2 \Rightarrow n = 0$ (thỏa mãn).

+ Nếu $n + 2 = 4 \Rightarrow n = 2$ (thỏa mãn).

Vậy với $n \in \{0; \, 2\}$ thì $(5n + 14) \,\, \vdots \,\, (n + 2)$.

Dạng 3. Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích và dữ kiện ƯCLN, BCNN

Phương pháp giải

- Biết ƯCLN$(a; \, b) = d$, ta đặt $a = m \cdot d$ và $b = n \cdot d$ với ƯCLN$(m; \, n) = 1$. Thay vào điều kiện tổng hoặc tích để tìm $m, \, n$, từ đó suy ra $a$ và $b$.

- Biết BCNN$(a; \, b) = k$, ta gọi ƯCLN$(a; \, b) = d$. Khi đó $a = m \cdot d, \, b = n \cdot d$ và BCNN$(a; \, b) = m \cdot n \cdot d$. Thay vào điều kiện đề bài để giải.

Ví dụ 3. Tìm hai số nguyên dương $a; \, b$ biết $a + b = 128$ và ƯCLN$(a; \, b) = 16$.

Lời giải

Giả sử $0 < a \le b$. Do ƯCLN$(a; \, b) = 16$ nên ta đặt $a = 16m; \, b = 16n$ với $m, \, n \in \mathbb{Z}^+; \, m \le n$ và ƯCLN$(m; \, n) = 1$.

Theo đề bài: $a + b = 128 \Rightarrow 16m + 16n = 128 \Rightarrow 16(m + n) = 128 \Rightarrow m + n = 8$.

Vì $m \le n$ và ƯCLN$(m; \, n) = 1$, ta có các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: $m = 1, \, n = 7 \Rightarrow a = 16, \, b = 112$.

- Trường hợp 2: $m = 3, \, n = 5 \Rightarrow a = 48, \, b = 80$.

Vậy các cặp số $(a; \, b)$ cần tìm là $(16; \, 112)$ và $(48; \, 80)$ (hoặc hoán vị nếu không có điều kiện $a \le b$).

Dạng 4. Thuật toán Euclid

Phương pháp giải

Muốn tìm ƯCLN của $a$ và $b$ (giả sử $a \ge b$):

- Bước 1: Chia $a$ cho $b$ có số dư là $r$.

- Bước 2:
+ Nếu $r = 0$ thì ƯCLN$(a; \, b) = b$. Phép toán dừng lại.
+ Nếu $r > 0$, ta chia tiếp $b$ cho $r$, được số dư $r_1$.

Tiếp tục lặp lại quá trình chia số chia cho số dư cho đến khi phép chia hết. ƯCLN$(a; \, b)$ chính là số dư cuối cùng khác $0$ trong chuỗi phép chia đó.

Ví dụ 4. Hãy tìm ƯCLN$(1\,575; \, 343)$ bằng thuật toán Euclid.

Lời giải

Ta thực hiện các phép chia liên tiếp:

$1\,575 = 343 \cdot 4 + 203$ (Dư $203$)

$343 = 203 \cdot 1 + 140$ (Dư $140$)

$203 = 140 \cdot 1 + 63$ (Dư $63$)

$140 = 63 \cdot 2 + 14$ (Dư $14$)

$63 = 14 \cdot 4 + 7$ (Dư $7$)

$14 = 7 \cdot 2 + 0$ (Phép chia hết)

Số dư khác $0$ cuối cùng là $7$. Vậy ƯCLN$(1\,575; \, 343) = 7$.