Bác nông dân làm một hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường. Bác chỉ làm 3 mặt vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự định sẽ dùng $180$ m lưới sắt để làm toàn bộ hàng rào đó. Hỏi diện tích lớn nhất bác có thể rào là bao nhiêu?

Định lí Bézout: Số dư trong phép chia đa thức $f(x)$ cho nhị thức $x - a$ bằng giá trị của đa thức tại $x = a$ (tức là $r = f(a)$).

Đa thức $f(x)$ thỏa mãn $f(x)$ chia cho $x - 2$ dư $5$, $f(x)$ chia cho $x - 1$ dư $3$, $f(x)$ chia cho $(x - 1)(x - 2)$ được thương là $2x - 1$ là đa thức nào?

Cho $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 0$. Chứng minh rằng: $2(a^5 + b^5 + c^5) = 5abc(a^2 + b^2 + c^2)$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $G = x^2 + 5y^2 - 4xy - 8y + 24$.

Cho các số $x, y$ thoả mãn $2x^2 + 10y^2 - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0$. Tìm giá trị của biểu thức: $A = \dfrac{(x + y - 3)^{2\,025} - y^{2\,025}}{x}$.

Một nông trại nghiên cứu việc trồng cây ăn quả trên mỗi $100$ m² đất. Người ta thấy rằng nếu trồng $n$ cây trên $100$ m² thì trung bình mỗi cây sẽ cho năng suất: $P(n) = 100 - 2n$ (kg/cây). Hỏi các bác nông dân nên trồng bao nhiêu cây trên $100$ m² để tổng sản lượng thu hoạch trái cây là lớn nhất?

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn: $a + b + c = 6$ và $a^2 + b^2 + c^2 = 12$. Tính giá trị biểu thức $H = (a - 1)^{2\,024} + (b - 2)^{2\,025} + (c - 3)^{2\,026}$.

Với các số thực $x, y, z$ thỏa mãn: $x + y + z = 6$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = xy + 2yz + 3zx$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^2 + 4y^2 + 6x - 4y - 4xy + 2\,030$.

Tính giá trị biểu thức $P = x^5 - 2\,026x^4 + 2\,026x^3 - 2\,026x^2 + 2\,026x - 1$ khi $x = 2\,025$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = 9x^2 + 6y^2 + 18x - 12xy - 12y - 27$.

Tính: $A = 24(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)...(5^{256} + 1)$.

Biết $x, y$ là hai số nguyên dương thỏa mãn: $3x^2 - 4xy + 2y^2 = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $M = x^{2\,025} + (y - 3)^{2\,025}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = x^2 + y^2 - xy - x - y + 2\,026$.

Cho $x - y = 7$. Tính giá trị của biểu thức $B = x^3 - 3xy(x - y) - y^3 - x^2 + 2xy - y^2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P = 4x^2 + 2y^2 - 4xy + 4x - 8y + 2\,034$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = 9x^2 + 9y^2 + 16xy - 2x + 2y + 5$.

Cho $x - y = 2\,024$. Tính giá trị của biểu thức $A = x^2 - y^2 - 2\,025x - 2\,023y$.

Cho $x$ là số gồm $22$ chữ số 1, $y$ là số gồm $35$ chữ số $1$. Chứng minh rằng $xy - 2$ chia hết cho $3$.

Cho các số thực $a, b, c$ thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$ và $a + b + c + ab + bc + ca = 6$. Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{a^9 + b^{11} + c^{2\,025}}{a^{2\,023} + b^{2\,024} + c^{2\,025}}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = x^2 - 2x(y + 1) + 3y^2 + 2\,024$.

Cho $x, y, z$ là các số thực khác $0$ và $x + y + z \neq 0$, thỏa mãn $\dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{y^2}{xz} + \dfrac{z^2}{xy} = 3$. Giá trị của biểu thức $A = \dfrac{x^3 + y^3 + z^3}{(x + y + z)^3}$ bằng bao nhiêu?

Gia đình bác Nam có một khu đất hình chữ nhật, một cạnh đã được xây tường bao. Trên khu đất này bác Nam định cải tạo một phần để trồng rau có dạng hình chữ nhật. Tận dụng tường bao đã có và $40$ m lưới B40, bác muốn vây kín ba mặt còn lại của phần đất trồng rau. Hỏi bác có thể vây kín được phần đất trồng rau có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Cho biểu thức $Q = (2n + 1)(2n + 3) - (4n - 6)(n + 1) + 1$. Chứng minh $Q$ luôn chia hết cho $5$ với mọi số nguyên $n$.

Cho biểu thức $M = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) + x^2$. Tính $M$ theo $a, b, c$ biết rằng $x = \dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{2}b + \dfrac{1}{2}c$.