Một cửa sổ có hình dạng như hình vẽ, bao gồm: Một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng tổng độ dài đường viền cho phép của cửa sổ là $4$ m. Diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

Bài làm

Từ một miếng gỗ hình bán nguyệt có đường kính $5$ dm, người ta muốn cắt một miếng gỗ hình chữ nhật $ABCD$ (hình vẽ) sao cho có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể của miếng gỗ hình chữ nhật là bao nhiêu?

Bài làm

Người ta cần xây hàng rào để bao quanh một khu vực hồ nước có dạng hình chữ nhật. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bờ tường có sẵn (như hình minh họa) nên chỉ cần rào ba cạnh còn lại. Nếu có $80$ m hàng rào thì diện tích tối đa của khu vực được rào là bao nhiêu (đơn vị: m²)?

Bài làm

Người ta cần xây một hồ chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $288$ m³. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là $100000$ đồng/m². Chi phí thuê nhân công thấp nhất là bao nhiêu (đơn vị: đồng)?

Bài làm

Một bức ảnh chữ nhật có diện tích phần ảnh hiển thị là $384$ cm² sẽ được đặt trong một khung ảnh. Phần viền giữa mép ảnh và khung có kích thước như sau: viền trên và viền dưới rộng $3$ cm, viền trái và viền phải rộng $2$ cm. Xác định kích thước chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh (bao gồm cả phần viền) để diện tích toàn bộ tấm ảnh (là diện tích phần bìa cần dùng) là nhỏ nhất lần lượt.

Bài làm

Trong thiết kế, "Tam giác bếp" là ba khu vực nhận nhiệm vụ chính gồm có tủ lạnh, chậu rửa và bếp. Việc sắp xếp chúng một cách hợp lý sẽ giúp cho công việc trong nhà bếp thực hiện một cách hiệu quả. Một căn bếp $PMNQ$ có dạng hình chữ U (như hình vẽ, coi $\hat{M}=\hat{N}=90^{\circ }$). Chậu rửa $A$ được đặt cố định trên $MN$ sao cho $MA=4$ m, $AN=1$ m. Vị trí đặt tủ lạnh $B$ trên $MP$ và bếp nấu $C$ trên $NQ$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có diện tích nhỏ nhất. Tính khoảng cách $MB$ và $NC$.

Bài làm

Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi $60$ m để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng của khu đất là $x$ (m), tìm giá trị của $x$ để diện tích vườn hoa xây được lớn nhất.

Bài làm

Một khu đất hình tam giác $ABC$ như hình vẽ. Một người dùng thước đo góc đo được góc $\widehat{CAH}=80^{\circ },\widehat{CBH}=65^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến $B$ người đó đo được $15$ gang tay. Biết mỗi gang tay dài $22$ cm. Diện tích của mảnh đất bằng bao nhiêu?

Bài làm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $AB=c;AC=b;BC=a$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Bài làm

Flycam là từ viết tắt của Fly camera. Đây là thiết bị bay không người lái có lắp camera hay máy ảnh để quay phim hoặc chụp ảnh từ trên cao. Một chiếc Flycam đang ở vị trí $A$ cách cây cầu $BC$ (theo phương thẳng đứng) một khoảng $AH=120$ m. Biết góc tạo bởi phương $AB,AC$ với các phương vuông góc với mặt cầu tại $B,C$ lần lượt là $\widehat{ABx}=30^{\circ },\widehat{ACy}=45^{\circ }$ (hình vẽ bên). Độ dài $BC$ của cây cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét) bằng bao nhiêu?

Bài làm

Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$, đường cao $MH$. Kẻ $HD,HQ$ lần lượt vuông góc với $MN,MP$ ($D$ thuộc $MN,Q$ thuộc $MP$). Chứng minh: ${\sin }^2\hat{N}=\frac{PQ}{MP}$.

Bài làm