Chứng minh rằng: $a^2+b^2+1\ge ab+a+b$.

Bài làm

Chứng minh rằng với mọi $a,b$ thì $a^4-2a^{3}b+2a^2{b}^2-2a{b}^3+b^4\ge 0$.

Bài làm

Cho $x;y$ là hai số dương. Chứng minh rằng: $2(x^3+y^3)\ge (x+y)(x^2+y^2)$.

Bài làm

Cho $x;y$ là hai số dương. Chứng minh rằng: $(\frac{x+y}{2}{)}^3\le \frac{x^3+y^3}{2}$.

Bài làm

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3>a(b-c{)}^2+b(c-a{)}^2+c(a-b{)}^2$

Bài làm

Chứng minh rằng, với mọi $a,b$ ta có $(a^2+b^2{)}^2\ge ab(a+b{)}^2$.

Bài làm

Chứng minh rằng, với mọi $a,b$ ta có: $2(a^4+b^4)\ge (a+b)(a^3+b^3)$.

Bài làm

Cho các số $a,b,c,d$ thỏa mãn $0<a,b,c,d<1$. Chứng minh rằng: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d$.

Bài làm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D=\frac{2x+1}{x^2+2}$.

Bài làm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{8040x+6030}{x^2+1}$.

Bài làm

Ngày xưa, có một vị tể tướng nổi tiếng thông thái. Đến khi tể tướng muốn cáo quan về quê, nhà vua liền ban thưởng bằng cách đưa cho tể tướng một đoạn dây dài $400$ mét và nói : "Ngươi hãy căng sợi dây này thành một hình chữ nhật, sao cho hai đầu dây chạm vào nhau. Mảnh đất bên trong hình chữ nhật đó sẽ thuộc về ngươi". Hỏi tể tướng sẽ căng sợi dây như thế nào để mảnh đất có diện tích lớn nhất ?

Bài làm

Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi $60$ m để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng của khu đất là $x$ (m), tìm $x$ để diện tích vườn hoa xây được lớn nhất.

Bài làm

Một nhà thi đấu có $200$ ghế, giá hiện tại là $100$ nghìn đồng mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi buổi. Ban quản lý đang xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Mỗi lần tăng giá $5$ nghìn đồng, số ghế trống sẽ tăng $4$ ghế. Mức giá vé mới là bao nhiêu để nhà thi đấu đạt doanh thu lớn nhất?

Bài làm

Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương rất cao và phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Giả sử rằng giá bán của viên kim cương tỉ lệ thuận với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần bằng nhau và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì giá bán của viên kim cương ban đầu giảm đi bao nhiêu lần?

Bài làm

Một công ty cần vận chuyển $76$ tấn hàng. Công ty có thể thuê hai loại xe: xe loại thứ nhất có trọng tải $15$ tấn với giá thuê $13$ triệu đồng/xe, xe loại thứ hai có trọng tải $10$ tấn với giá thuê $9$ triệu đồng/xe. Chi phí thuê xe nhỏ nhất mà công ty phải trả là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

Bài làm

Một cửa hàng bán bưởi Diễn với giá bán mỗi quả là $50000$ đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng bán được $40$ quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính nếu cửa hàng cứ giảm giá mỗi quả $1000$ đồng thì số bưởi bán ra tăng thêm $10$ quả mỗi ngày. Hỏi giá bán của mỗi quả bưởi là bao nhiêu (đơn vị: đồng) để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất? Biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả bưởi là $30000$ đồng.

Bài làm

Do ảnh hưởng của bão Bualoi và Matmo, nhiều tỉnh miền Bắc bị ngập lụt nghiêm trọng, người dân mất nhà cửa, tài sản, cuộc sống gặp rất nhiều khó khăn. Phát huy truyền thống tương thân tương ái, góp phần chia sẻ, giúp đồng bào khắc phục hậu quả do thiên tai gây ra, Ngân đã quyết định dùng $15$ triệu đồng tiền tiết kiệm của mình để mua gạo và mì gói gửi tặng đồng bào vùng lũ. Ngân mua $10$ thùng mì, mỗi thùng giá $150$ nghìn đồng. Số tiền còn lại, Ngân dùng để mua gạo. Biết rằng $1$ bao gạo có giá $650$ nghìn đồng. Hỏi Ngân có thể mua được tối đa bao nhiêu bao gạo để gửi tặng người dân vùng lũ?

Bài làm

Anh Nam muốn thiết kế một khu tiểu cảnh hình chữ nhật để trang trí sân vườn ngôi nhà mới. Khu tiểu cảnh này được đặt sát một bức tường gạch trang trí có sẵn nên anh chỉ cần rào $3$ mặt còn lại. Chi phí để xây mỗi mét tường rào (bao gồm vật liệu và nhân công) là $100000$ đồng. Với ngân sách dự kiến là $4$ triệu đồng cho phần tường rào này, anh Nam có thể thiết kế khu tiểu cảnh với diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Bài làm

Hiện tại bạn An đã thực hiện một số bài kiểm tra môn Toán và có điểm trung bình môn Toán là $7$ điểm. Nếu ba bài kiểm tra Toán tiếp theo, mỗi bài được $10$ điểm thì điểm trung bình môn Toán của bạn sẽ tăng $1,5$ điểm so với điểm trung bình môn Toán hiện nay. Số bài kiểm tra môn Toán mà bạn An đã làm hiện nay là

Bài làm

Một nhà hát có $150$ ghế, giá vé hiện tại là $120$ nghìn đồng mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi chương trình. Ban quản lý nhà hát đang xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, nhà hát nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm $5$ nghìn đồng, số ghế bị bỏ trống sẽ tăng thêm $3$ ghế. Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu (đơn vị: nghìn đồng) để nhà hát đạt doanh thu cao nhất?

Bài làm