Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác $0$ sao cho khi chia nó cho $2$ thì được một số chính phương, khi chia nó cho $3$ thì được lập phương của một số tự nhiên.

Tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất sao cho khi chia $a$ cho $7$, cho $9$, cho $11$ có số dư lần lượt là $1; \, 4; \, 6$.

Cho $p$ và $2p + 1$ là các số nguyên tố ($p > 3$). Hỏi $4p + 1$ là số nguyên tố hay hợp số?

Cho $A = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2\,022}$. Tìm $x$ để $4A + 5 = 5^x$.

Tìm cặp số tự nhiên $(x; \, y)$ thoả mãn: $xy + 2x + y = 15$.

Viết $M = 4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2\,022}$ dưới dạng luỹ thừa với cơ số $2$.

Cho $B = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99} + 2^{100}$. Hỏi $B$ có chia hết cho $7$ không? Vì sao?

Cho $A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + 28 \cdot 29 + 29 \cdot 30$. Hỏi $A$ có chia hết cho $31$ không? Vì sao?

Cho dãy hình theo quy luật, mỗi hình đều được ghép bởi các hình vuông như hình vẽ dưới đây. Tính tổng số hình vuông trong $100$ hình đầu tiên của dãy hình đã cho.

Cho $S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{95} + 3^{96}$. Chứng minh rằng $S$ chia hết cho $4$.

Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên thoả mãn $a$ chia cho $26$ dư $3$ và $b$ chia cho $39$ dư $2$. Hỏi $2a + 3b$ có là bội của $13$ hay không? Vì sao?

Cho $A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2\,022}$ và $B = 2^{2\,023}$. So sánh $A$ và $B$.

Chuyện kể rằng, vào thế kỉ thứ IV, vương quốc Gupta hưng thịnh dưới thời trị vì của đức vua Sêram. Khi đất nước thái bình, muốn tìm kiếm một thú vui tao nhã nào đó để tận hưởng cuộc sống nên đức vua ban bố khắp thiên hạ ai có sáng kiến gì hay thì dâng lên nhà vua. Một hôm, có một nhà thông thái tên là Seta đã dâng lên nhà vua một trò chơi có tên là Saturanga (còn được gọi là Cờ vua) đã khiến cho nhà vua vô cùng khâm phục sự sắc sảo và đa dạng của các tình huống trên bàn cờ. Quá khâm phục trí tuệ của người sáng tạo, nhà vua quyết định ban thưởng hậu hĩnh cho người sáng tạo ra trò chơi này.

Seta im lặng suy nghĩ rồi cung kính thưa:

- Thưa đức vua! Thần không ham vàng bạc châu báu. Chỉ xin ngài thực hiện cho thần một điều ước.

- Ngươi cứ nói. Ta chắc chắn rằng, mọi điều ước của ngươi sẽ được đáp ứng.

- Thưa ngài! Ngài hãy ra lệnh cho đặt $1$ hạt thóc vào ô thứ nhất của bàn cờ; ở ô thứ hai, ngài hãy đặt vào $2$ hạt thóc, ô thứ ba để $4$ hạt, ô thứ tư để $8$ hạt, ô thứ năm là $16$ hạt...

Nhà vua không kiềm chế nổi sự kinh ngạc của mình:

- Này Seta, ông đang đùa ta đấy ư? Làm như thế có ý nghĩa gì?

Seta chậm rãi trình bày tiếp:

- Kính thưa đức vua vĩ đại! Cứ như cách làm vừa rồi, ô tiếp sau sẽ có số thóc gấp đôi ô trước cho đến ô thứ $64$ cuối cùng. Thần sẽ nhận lấy toàn bộ số thóc đó.

Em hãy giúp nhà vua tính tổng số hạt thóc mà Seta sẽ nhận được.

Cho $A = 2^2 + 2^4 + 2^6 + \dots + 2^{200}$. Hãy so sánh $3A$ và $2^{202}$.

Cho tổng $A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2\,021}$. Tìm số dư khi chia tổng $A$ cho $13$.

Cho $A = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{1\,999} + 4^{2\,000}$. Chứng minh rằng $A$ chia hết cho $21$.

Cho $D = 9 + 9^2 + 9^3 + 9^4 + \dots + 9^{2\,019} + 9^{2\,020}$. Chứng minh rằng $D$ chia hết cho $41$.

Cho $B = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^8$. Chứng minh rằng $B$ chia hết cho $30$.