A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Trong chương trình Toán nâng cao lớp 4, các bài toán "Tính nhanh phân số" hay "Tính bằng cách thuận tiện nhất với phân số" thường là những biểu thức rất dài và cồng kềnh. Tuy nhiên, các em đừng vội quy đồng mẫu số nhé!

Chìa khóa để giải quyết chuyên đề này là "Tìm ra quy luật". Khi nắm được quy luật, các em sẽ tạo ra hiệu ứng "domino" (triệt tiêu nhau), giúp bài toán dài trở nên vô cùng ngắn gọn.

Để làm tốt, các em cần ghi nhớ các nguyên tắc cơ bản sau:

- Nắm vững cách cộng, trừ, nhân, chia hai phân số.

- Nắm vững tính chất của phép tính: Giao hoán, kết hợp, phân phối, nhân một số với một tổng/hiệu, ...

- Quan sát thật kỹ mối liên hệ giữa tử số và mẫu số, hoặc giữa phân số đứng trước và phân số đứng sau để xếp chúng vào đúng dạng bài.

B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Áp dụng các tính chất của phép tính để tính nhanh

Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, ... để tính nhanh.

Ví dụ: Tính bằng cách thuận tiện:

a) \(\frac{1}{13}+\frac49+\frac57+\frac27+\frac{12}{13}+\frac59\)

b) \(\frac{7}{12}\times\frac{9}{14}+\frac{3}{14}\times\frac{7}{12}\)

Bài giải

a) \(\frac{1}{13}+\frac49+\frac57+\frac27+\frac{12}{13}+\frac59\)

= \(\left(\frac{1}{13}+\frac{12}{13}\right)+\left(\frac49+\frac59\right)+\left(\frac27+\frac57\right)\)

= 1 + 1 + 1

= 3

b) \(\frac{7}{12}\times\frac{9}{14}+\frac{3}{14}\times\frac{7}{12}\)

= \(\frac{7}{12}\) × \(\left(\frac{9}{14}+\frac{3}{14}\right)\)

= \(\frac{7}{12}\) × \(\frac{12}{14}\)

= \(\frac12\)

Dạng 2: Tổng các phân số có tử số bằng nhau và mẫu số gấp nhau n lần

Đặc điểm: Các phân số có cùng tử số. Mẫu số của phân số đứng sau gấp 2 lần, 3 lần... (n lần) mẫu số của phân số đứng ngay trước nó.

Phương pháp giải: Ta gọi tổng đó là A. Ta nhân A với đúng số lần gấp nhau đó (nhân với n), sau đó lấy phép nhân vừa rồi trừ đi A ban đầu để triệt tiêu các phân số ở giữa.

Ví dụ: Tính nhanh:

\(A=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}\)

Bài giải

Ta nhận thấy mẫu số liền sau gấp 2 lần mẫu số liền trước (4 gấp đôi 2; 8 gấp đôi 4...).

Ta nhân biểu thức A với 2:

\(A\times2=2\times\left(\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}\right)\)

\(A\times2=1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\)

Thế thì:

\(\left(A\times2\right)-A=1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\left(\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}\right)\)

\(A=1+\left(\frac12-\frac12\right)+\left(\frac14-\frac14\right)+\left(\frac18-\frac18\right)+\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right)+\left(\frac{1}{32}-\frac{1}{32}\right)-\frac{1}{64}\)

\(A=1-\frac{1}{64}\)

\(A=\frac{63}{64}\)

Vậy \(A=\frac{63}{64}\).

Dạng 3: Mẫu số là tích của hai số tự nhiên, hiệu của hai số đó đúng bằng tử số

Đặc điểm: Mẫu số được viết dưới dạng phép nhân (ví dụ: 3 × 7). Lấy hai số ở mẫu trừ cho nhau thì kết quả bằng đúng tử số (ví dụ 7 − 3 = 4, tử số là 4). Thừa số thứ hai của mẫu trước lại là thừa số thứ nhất của mẫu sau.

Phương pháp giải: Nếu có dạng \(\frac{n}{a\times b}\) mà \(b-a=n\), ta lập tức tách thành: \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\). Khi tách toàn bộ biểu thức, các phân số ở giữa sẽ mang dấu cộng và trừ xen kẽ nhau, tự triệt tiêu hết, chỉ còn lại phân số đầu tiên trừ đi phân số cuối cùng.

Ví dụ: Tính nhanh:

\(B=\frac{4}{3\times7}+\frac{4}{7\times11}+\frac{4}{11\times15}+\frac{4}{15\times19}+\frac{4}{19\times23}\)

Bài giải

Nhận xét: Ở mẫu số có 7 − 3 = 4; 11 − 7 = 4; 15 − 11 = 4... (hiệu bằng đúng tử số là 4).

Áp dụng quy tắc, ta có:

\(B=\frac{4}{3\times7}+\frac{4}{7\times11}+\frac{4}{11\times15}+\frac{4}{15\times19}+\frac{4}{19\times23}\)

\(=\frac13-\frac17+\frac17-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+\frac{1}{15}-\frac{1}{19}+\frac{1}{19}-\frac{1}{23}\)

\(=\frac13+\left(\frac17-\frac17\right)+\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{19}\right)-\frac{1}{23}\)

\(=\frac13-\frac{1}{23}\)

\(=\frac{23-3}{69}\)

\(=\frac{20}{69}\)

Vậy \(B=\frac{20}{69}\).

Dạng 4: Nhân nhiều phân số (Phương pháp triệt tiêu chéo)

Đặc điểm: Là một dãy các phép tính nhân phân số. Tử số của phân số này có liên quan (thường là giống hệt) với mẫu số của phân số kia.

Phương pháp giải: Tuyệt đối không được nhân tất cả các tử số và mẫu số lại với nhau vì số sẽ rất khổng lồ! Các em hãy viết gộp thành một vạch phân số dài. Quan sát thấy số nào xuất hiện ở CẢ tử số và mẫu số thì ta gạch bỏ (rút gọn) số đó.

Ví dụ: Tính.

\(C=\frac{2020}{2021}\times\frac{2021}{2022}\times\frac{2022}{2023}\times\frac{2023}{2024}\times\frac{2024}{2025}\times\frac{2025}{2026}\)

Bài giải

\(C=\frac{2020}{2021}\times\frac{2021}{2022}\times\frac{2022}{2023}\times\frac{2023}{2024}\times\frac{2024}{2025}\times\frac{2025}{2026}\)

Ta thấy các số 2 021 cho đến 2 025 đều có mặt ở cả trên tử và dưới mẫu. Cùng gạch bỏ chúng đi, trên tử số chỉ còn sót lại 2 020, dưới mẫu số chỉ còn sót lại 2 026.

Vậy \(C=\frac{2020}{2026}=\frac{1010}{1013}\).

Vậy \(C=\frac{1010}{1013}.\)

Dạng 5: Tách, ghép để tạo thừa số chung (Triệt tiêu cả một cụm)

Đặc điểm: Biểu thức có dạng phân số lớn, trên tử số và dưới mẫu số là các phép tính nhân, cộng, trừ kết hợp. Các con số ở tử và mẫu trông "na ná" giống nhau.

Phương pháp giải: Ta giữ nguyên Mẫu số (hoặcTử số). Chọn số lớn hơn ở phần còn lại tách ra thành (Số bé + một số nào đó) để tạo ra các cụm giống hệt nhau ở cả trên tử và dưới mẫu. Khi tử số và mẫu số giống hệt nhau thì phân số đó có giá trị bằng 1.

Ví dụ: Tính nhanh:

\(D=\frac{(1999\times2004-1004)}{(1999\times2003+995)}\).

Bài giải

Ta quan sát thấy trên tử có số 2 004, dưới mẫu có số 2 003. Ta tách 2 004 = 2 003 + 1.

Xét riêng tử số:

1 999 × 2 004 − 1 004

= 1 999 × (2003 + 1) − 1 004

= 1 999 × 2003 + 1 999 × 1 − 1004

= 1 999 × 2003 + 1 999 − 1004

= 1 999 × 2003 + 995

Lúc này, ta thấy tử số vừa biến đổi xong giống hệt với mẫu số ban đầu.

Vậy nên D có giá trị là 1.