1. Kiến thức cần nhớ

1.1. Phép nhân

1.1.1. Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

$a$ × $b$ $=$ $b$ × $a$

Ví dụ: $18$ × $62$ $=$ $62$ × $18$

1.1.2. Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.

$(a$ × $b)$ × $c$ $=$ $a$ × $(b$ × $c)$

Ví dụ: $(198$ × $34)$ × $11$ $=$ $198$ × $(34$ × $11)$

1.1.3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

− Khi nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả với nhau.

$a$ × $(b + c)$ $=$ $a$ × $b$ $+$ $a$ × $c$

Ví dụ: $501$ × $(75 + 25)$ $=$ $501$ × $75$ $+$ $501$ × $25$

− Khi nhân một tổng với một số, ta có thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng các kết quả với nhau.

$(a$ $+$ $b)$ × $c$ $=$ $a$ × $c$ $+$ $b$ × $c$

Ví dụ: $(147$ $+$ $353)$ × $21$ $=$ $147$ × $21$ $+$ $353$ × $21$

1.1.4. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ:

− Khi nhân một số với một hiệu, ta có thể nhân số đó lần lượt với số bị trừ và số trừ, sau đó trừ các kết quả cho nhau.

$a$ × $(b$ − $c)$ $=$ $a$ × $b$ − $a$ × $c$

Ví dụ: $820$ × $(72$ − $36)$ $=$ $820$ × $72$ − $820$ × $36$

− Khi nhân một hiệu với một số, ta có thể nhân lần lượt số bị trừ và số trừ với số đó, sau đó trừ các kết quả cho nhau.

$(a$ − $b)$ × $c$ $=$ $a$ × $c$ − $b$ × $c$

Ví dụ: $(871$ − $209)$ × $25$ $=$ $871$ × $25$ − $209$ × $25$

1.1.5. Nhân với số $0$: Một số tự nhiên nhân với $0$ sẽ bằng $0$.

$a$ × $0$ $=$ $0$ × $a$ $=$ $0$

Ví dụ: $9$ $305$ × $0$ $=$ $0$ × $9$ $305$ $=$ $0$

1.1.6. Nhân với số $1$: Một số tự nhiên nhân với $1$ sẽ bằng chính số đó.

$a$ × $1$ $=$ $1$ × $a$ $=$ $a$

Ví dụ: $35$ $244$ × $1$ $=$ $1$ × $35$ $244$ $=$ $35$ $244$

1.1.7. Trong một tích, nếu gấp một thừa số lên $n$ lần và đồng thời giảm một thừa số khác đi $n$ lần $(n > 1)$ thì tích không thay đổi.

$(a$ × $n)$ × $(b : n)$ $=$ $a$ × $b$

Ví dụ: $(716$ × $25)$ × $(175 : 25)$ $=$ $716$ × $175$

1.1.8. Trong một tích, nếu gấp một thừa số lên $n$ lần $(n > 1)$, còn các thừa số khác giữ nguyên thì tích cũng gấp lên $n$ lần.

$(a$ × $n)$ × $b$ $=$ $(a$ × $b)$ × $n$

Trong một tích, nếu giảm một thừa số đi $n$ lần $(n > 1)$, còn các thừa số khác giữ nguyên thì tích cũng giảm đi $n$ lần.

$(a$ $:$ $n)$ × $b$ $=$ $(a$ × $b)$ $:$ $n$

Ví dụ: Cho phép tính $9$ × $11$ $=$ $99$.

− Nếu gấp thừa số $9$ lên $2$ lần:

⚡Thừa số mới là: $9$ × $2$ $=$ $18$

⚡Tích mới là: $18$ × $11$ $=$ $198$

⚡Tích mới gấp lên số lần là: $198 : 99$ $=$ $2$ (lần)

Như vậy, nếu gấp thừa số $9$ lên $2$ lần thì tích sẽ gấp lên $2$ lần.

− Nếu giảm thừa số $9$ đi $3$ lần:

⚡Thừa số mới là: $9$ $:$ $3$ $=$ $3$

⚡Tích mới là: $3$ × $11$ $=$ $33$

⚡Tích mới giảm đi số lần là: $99 : 33$ $=$ $3$ (lần)

Như vậy, nếu giảm thừa số $9$ đi $3$ lần thì tích sẽ giảm đi $3$ lần.

1.1.9. Trong một tích, nếu gấp một thừa số lên $m$ lần, đồng thời gấp một thừa số khác lên $n$ lần $(m,$ $n > 1)$ và giữ nguyên các thừa số khác thì tích gấp lên $(m$ × $n)$ lần.

$(a$ × $m)$ × $(b$ × $n)$ $=$ $(a$ × $b)$ × $(m$ × $n)$

Trong một tích, nếu giảm một thừa số đi $m$ lần, đồng thời giảm một thừa số khác đi $n$ lần $(m,$ $n > 1)$ và giữ nguyên các thừa số khác thì tích giảm đi $(m$ × $n)$ lần.

$(a$ $:$ $m)$ × $(b$ $:$ $n)$ $=$ $(a$ × $b)$ $:$ $(m$ × $n)$

Ví dụ: Cho phép tính $2$ × $6$ × $8$ $=$ $96$.

− Nếu gấp thừa số $2$ lên $2$ lần, gấp thừa số $6$ lên $3$ lần và giữ nguyên thừa số $8$:

⚡Thừa số mới là:

$2$ × $2$ $=$ $4$

$6$ × $3$ $=$ $18$

⚡Tích mới là: $4$ × $18$ × $8$ $=$ $576$

⚡Tích mới gấp lên số lần là: $576 : 96$ $=$ $6$ (lần)

Ta có: $6$ $=$ $2$ × $3$

Như vậy, nếu gấp thừa số $2$ lên $2$ lần, gấp thừa số $6$ lên $3$ lần và giữ nguyên thừa số $8$ thì tích sẽ gấp lên $(2$ × $3)$ lần, tức $6$ lần.

− Nếu giảm thừa số $6$ đi $3$ lần, giảm thừa số $8$ đi $4$ lần và giữ nguyên thừa số $2$:

⚡Thừa số mới là:

$6$ $:$ $3$ $=$ $2$

$8$ $:$ $4$ $=$ $2$

⚡Tích mới là: $2$ × $2$ × $2$ $=$ $8$

⚡Tích mới giảm đi số lần là: $96 : 8$ $=$ $12$ (lần)

Ta có: $12$ $=$ $3$ × $4$

Như vậy, nếu giảm thừa số $6$ đi $3$ lần, giảm thừa số $8$ đi $4$ lần và giữ nguyên thừa số $2$ thì tích sẽ giảm đi $(3$ × $4)$ lần, tức $12$ lần.

1.1.10. Trong một tích, nếu tăng một thừa số thêm $n$ đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích tăng thêm một số đơn vị bằng $n$ nhân với tích các thừa số còn lại.

$(a + n)$ × $b$ $=$ $(a$ × $b)$ $+$ $(n$ × $b)$

Trong một tích, nếu giảm một thừa số đi $n$ đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích giảm đi một số đơn vị bằng $n$ nhân với tích các thừa số còn lại.

$(a − n)$ × $b$ = $(a$ × $b)$ − $(n$ × $b)$

Ví dụ: Cho phép tính $131$ × $16$ $=$ $2$ $096$.

− Nếu tăng thừa số $131$ thêm $26$ đơn vị và giữ nguyên thừa số $16$:

⚡Thừa số mới là: $131$ $+$ $26$ $=$ $157$

⚡Tích mới là: $157$ × $16$ $=$ $2$ $512$

⚡Tích mới tăng thêm là: $2$ $512$ − $2$ $096$ $=$ $416$ (đơn vị)

Ta có: $416$ $=$ $26$ × $16$

Như vậy, nếu tăng thừa số $131$ thêm $26$ đơn vị và giữ nguyên thừa số $16$ thì tích sẽ tăng thêm $(16$ × $26)$ đơn vị, tức $416$ đơn vị.

− Nếu giảm thừa số $16$ đi $10$ đơn vị và giữ nguyên thừa số $131$:

⚡Thừa số mới là: $16$ − $10$ $=$ $6$

⚡Tích mới là: $131$ × $6$ $=$ $786$

⚡Tích mới giảm đi là: $2$ $096$ − $786$ $=$ $1$ $310$ (đơn vị)

Ta có: $1$ $310$ $=$ $10$ × $131$

Như vậy, nếu giảm thừa số $16$ đi $10$ đơn vị và giữ nguyên thừa số $131$ thì tích sẽ giảm đi $(10$ × $131)$ đơn vị, tức $1$ $310$ đơn vị.

1.2. Phép chia

1.2.1. Chia một số cho một tích: Khi chia một số cho một tích, ta có thể chia số đó lần lượt cho từng thừa số của tích.

$a$ $:$ $(b$ × $c)$ $=$ $a$ $:$ $b$ $:$ $c$ $=$ $a$ $:$ $c$ $:$ $b$ $(b,$ $c > 0)$

Ví dụ: $360$ $:$ $(5$ × $9)$ $=$ $360$ $:$ $5$ $:$ $9$ $=$ $360$ $:$ $9$ $:$ $5$

1.2.2. Số $0$ trong phép chia: Số $0$ chia cho một số khác $0$ thì bằng $0$.

$0$ $:$ $a$ $=$ $0$ $(a > 0)$

Ví dụ: $0$ $:$ $987$ $=$ $0$

1.2.3. Số $1$ trong phép chia:

− Một số tự nhiên chia cho $1$ thì bằng chính số đó.

$a$ $:$ $1$ $=$ $a$

Ví dụ: $2$ $032$ $:$ $1$ = $2$ $032$

− Một số tự nhiên khác $0$ chia cho chính nó thì bằng $1$.

$a$ $:$ $a$ $=$ $1$ $(a > 0)$

Ví dụ: $429$ $:$ $429$ $=$ $1$

1.2.4. Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng: Khi chia hai số hạng của một tổng cho cùng một số khác $0$, ta có thể lấy từng số hạng chia cho số đó rồi cộng các kết quả với nhau.

$(a$ $+$ $b)$ $:$ $c$ $=$ $a$ $:$ $c$ $+$ $b$ $:$ $c$ $(c > 0)$

Ví dụ: $(92$ $+$ $8)$ $:$ $4$ $=$ $92$ $:$ $4$ $+$ $8$ $:$ $4$

1.2.5. Tính chất phân phối của phép chia đối với phép trừ: Khi chia số bị trừ và số trừ của một hiệu cho cùng một số khác $0$, ta có thể lấy lần lượt số bị trừ và số trừ chia cho số đó rồi trừ các kết quả cho nhau.

$(a$ − $b)$ $:$ $c$ $=$ $a$ $:$ $c$ − $b$ $:$ $c$ $(c > 0)$

Ví dụ: $(120$ − $75)$ $:$ $15$ $=$ $120$ $:$ $15$ − $75$ $:$ $15$

1.2.6. Trong một phép chia, nếu gấp số bị chia lên $n$ lần ($n > 1$) và giữ nguyên số chia thì thương cũng gấp lên $n$ lần.

$(a$ × $n)$ $:$ $b$ $=$ $(a$ $:$ $b)$ × $n$

Trong một phép chia, nếu giảm số bị chia đi $n$ lần ($n > 1$) và giữ nguyên số chia thì thương cũng giảm đi $n$ lần.

$(a$ $:$ $n)$ $:$ $b$ $=$ $(a$ $:$ $b)$ $:$ $n$

Ví dụ: Cho phép tính $840$ $:$ $70$.

⚡Nếu gấp số bị chia $840$ lên $3$ lần thì thương sẽ gấp lên $3$ lần.

⚡Nếu giảm số bị chia $840$ đi $5$ lần thì thương sẽ giảm đi $5$ lần.

1.2.7. Trong một phép chia, nếu gấp số chia lên $n$ lần ($n > 1$) và giữ nguyên số bị chia thì thương giảm đi $n$ lần.

$a$ $:$ $(b$ × $n)$ $=$ $(a$ $:$ $b)$ $:$ $n$

Trong một phép chia, nếu giảm số chia đi $n$ lần ($n > 1$) và giữ nguyên số bị chia thì thương gấp lên $n$ lần.

$a$ $:$ $(b$ $:$ $n)$ $=$ $(a$ $:$ $b)$ × $n$

Ví dụ: Cho phép tính $960$ $:$ $24$ = $40$.

− Nếu gấp số chia $24$ lên $2$ lần:

⚡Số chia mới là: $24$ × $2$ $=$ $48$

⚡Thương mới là: $960$ $:$ $48$ $=$ $20$

⚡Thương mới giảm đi số lần là: $40 : 20$ $=$ $2$ (lần)

Như vậy, nếu gấp số chia $24$ lên $2$ lần thì thương sẽ giảm đi $2$ lần.

− Nếu giảm số chia đi $4$ lần:

⚡Số chia mới là: $24$ $:$ $4$ $=$ $6$

⚡Thương mới là: $960$ $:$ $6$ $=$ $160$

⚡Thương mới tăng lên số lần là: $160 : 40$ $=$ $4$ (lần)

Như vậy, nếu giảm số chia đi $4$ lần thì thương sẽ tăng lên $4$ lần.

1.2.8. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng được gấp lên hoặc giảm đi $n$ lần ($n > 1$) thì thương không thay đổi.

$(a$ × $n)$ $:$ $(b$ × $n)$ $=$ $a : b$

$(a$ $:$ $n)$ $:$ $(b$ $:$ $n)$ $=$ $a : b$

Ví dụ: Cho phép tính $924$ $:$ $22$ = $42$.

− Nếu gấp số bị chia và số chia lên $3$ lần:

⚡Số bị chia mới là: $924$ × $3$ $=$ $2$ $772$

⚡Số chia mới là: $22$ × $3$ $=$ $66$

⚡Thương mới là: $2$ $772$ $:$ $66$ $=$ $42$

Như vậy, nếu gấp số bị chia và số chia lên $3$ lần thì thương không thay đổi.

− Nếu giảm số bị chia và số chia đi $2$ lần:

⚡Số bị chia mới là: $924$ $:$ $2$ $=$ $462$

⚡Số chia mới là: $22$ $:$ $2$ $=$ $11$

⚡Thương mới là: $462$ $:$ $11$ $=$ $42$

Như vậy, nếu giảm số bị chia và số chia đi $2$ lần thì thương không thay đổi.

1.2.9. Trong một phép chia có dư, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng được gấp lên $n$ lần ($n > 1$) thì thương không thay đổi và số dư cũng được gấp lên $n$ lần.

Trong một phép chia có dư, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng giảm đi $n$ lần ($n > 1$) thì thương không thay đổi và số dư cũng được giảm đi $n$ lần (với điều kiện số dư cũng chia hết cho $n$).

Ví dụ: Cho phép tính $212$ $:$ $20$ $=$ $10$ (dư $12$).

− Nếu gấp số bị chia và số chia lên $3$ lần:

⚡Số bị chia mới là: $212$ × $3$ $=$ $636$

⚡Số chia mới là: $20$ × $3$ $=$ $60$

⚡Phép tính mới là: $636$ $:$ $60$ $=$ $10$ (dư $36$)

Ta có: $36$ $=$ $12$ × $3$

Như vậy, nếu gấp số bị chia và số chia lên $3$ lần thì thương không thay đổi và số dư cũng được gấp lên $3$ lần.

− Nếu giảm số bị chia và số chia đi $4$ lần:

⚡Số bị chia mới là: $212$ $:$ $4$ $=$ $53$

⚡Số chia mới là: $20$ $:$ $4$ $=$ $5$

⚡Phép tính mới là: $53$ $:$ $5$ $=$ $10$ (dư $3$)

Ta có: $3$ $=$ $12$ $:$ $4$

Như vậy, nếu giảm số bị chia và số chia đi $4$ lần thì thương không thay đổi và số dư cũng giảm đi $4$ lần.

2. Một số bài tập mẫu

2.1. Dạng 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất (vận dụng các tính chất của phép nhân và phép chia)

Ví dụ: Tính bằng cách thuận tiện nhất.

a. $125$ × $64$ × $8$

b. $428$ × $36$ + $36$ × $572$

c. $5$ $400$ $:$ $9$ $:$ $6$

Bài giải

a. $125$ × $64$ × $8$

Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân.

$125$ × $64$ × $8$

$=$ $125$ × $8$ × $64$

$=$ $1$ $000$ × $64$

$=$ $64$ $000$

b. $428$ × $36$ + $36$ × $572$

Vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

$428$ × $36$ + $36$ × $572$

$=$ $(428 + 572)$ × $36$

$=$ $1$ $000$ × $36$

$=$ $36$ $000$

c. $5$ $400$ $:$ $9$ $:$ $6$

Vận dụng tính chất chia một số cho một tích.

$5$ $400$ $:$ $9$ $:$ $6$

$=$ $5$ $400$ $:$ $(9$ × $6)$

$=$ $5$ $400$ $:$ $54$

$=$ $100$

2.2. Dạng 2: Tích, thương thay đổi khi thay đổi thành phần của phép tính

Ví dụ 1: Gấp một thừa số lên nhiều lần

Cho phép tính $128$ × $25$. Hỏi khi gấp thừa số $128$ lên $4$ lần và giữ nguyên thừa số còn lại thì tích mới là bao nhiêu?

Bài giải

Khi gấp một thừa số lên $n$ lần và giữ nguyên thừa số còn lại, tích mới gấp lên $n$ lần.

Ta có: $128$ × $25$ $=$ $3$ $200$

Khi gấp thừa số $128$ lên $4$ lần và giữ nguyên thừa số còn lại thì tích mới gấp lên $4$ lần.

Tích mới là:

$3$ $200$ × $4$ $=$ $12$ $800$

Đáp số: $12$ $800$.

Ví dụ 2: Giảm một thừa số đi nhiều lần

Cho phép tính $864$ × $15$. Hỏi khi giảm thừa số $864$ đi $3$ lần và giữ nguyên thừa số còn lại thì tích mới là bao nhiêu?

Bài giải

Khi giảm một thừa số đi $n$ lần và giữ nguyên thừa số còn lại, tích mới giảm đi $n$ lần.

Ta có: $864$ × $15$ $=$ $12$ $960$

Khi giảm thừa số $864$ đi $3$ lần và giữ nguyên thừa số còn lại thì tích mới giảm đi $3$ lần.

Tích mới là:

$12$ $960$ $:$ $3$ $=$ $4$ $320$

Đáp số: $4$ $320$.

Ví dụ 3: Gấp số chia lên nhiều lần

Cho phép tính $2$ $880$ $:$ $64$. Hỏi khi gấp số chia lên $5$ lần và giữ nguyên số bị chia thì thương mới là bao nhiêu?

Bài giải

Khi gấp số chia lên $n$ lần và giữ nguyên số bị chia, thương mới giảm đi $n$ lần.

Ta có: $2$ $880$ $:$ $64$ $=$ $45$

Khi gấp số chia lên $5$ lần và giữ nguyên số bị chia thì thương mới giảm đi $5$ lần.

Thương mới là:

$45$ $:$ $5$ $=$ $9$

Đáp số: $9$.

Ví dụ 4: Gấp số bị chia lên nhiều lần

Cho phép tính $1$ $000$ $:$ $25$. Hỏi khi gấp số bị chia lên $6$ lần và giữ nguyên số chia thì thương mới là bao nhiêu?

Bài giải

Khi gấp số bị chia lên $n$ lần và giữ nguyên số chia, thương mới gấp lên $n$ lần.

Ta có: $1$ $000$ $:$ $25$ $=$ $40$

Khi gấp số bị chia lên $6$ lần và giữ nguyên số chia thì thương mới gấp lên $6$ lần.

Thương mới là:

$40$ × $6$ $=$ $240$

Đáp số: $240$.

Ví dụ 5: Giảm số chia đi nhiều lần

Cho phép tính $3$ $456$ $:$ $72$. Hỏi khi giảm số chia đi $8$ lần và giữ nguyên số bị chia thì thương mới là bao nhiêu?

Bài giải

Khi giảm số chia đi $n$ lần và giữ nguyên số bị chia, thương mới tăng lên $n$ lần.

Ta có: $3$ $456$ $:$ $72$ $=$ $48$

Khi giảm số chia đi $8$ lần và giữ nguyên số bị chia thì thương mới tăng lên $8$ lần.

Thương mới là:

$48$ × $8$ $=$ $384$

Đáp số: $384$.

Ví dụ 6: Giảm số bị chia đi nhiều lần

Cho phép tính $5$ $040$ $:$ $84$. Hỏi khi giảm số bị chia đi $12$ lần và giữ nguyên số chia thì thương mới là bao nhiêu?

Bài giải

Khi giảm số bị chia đi $n$ lần và giữ nguyên số chia, thương mới giảm đi $n$ lần.

Ta có: $5$ $040$ $:$ $84$ $=$ $60$

Khi giảm số bị chia đi $12$ lần và giữ nguyên số chia thì thương mới giảm đi $12$ lần.

Thương mới là:

$60$ $:$ $12$ $=$ $5$

Đáp số: $5$.

Ví dụ 7: Gấp số bị chia và số chia lên cùng một số lần (phép chia có dư)

Cho phép tính $212$ $:$ $20$. Hỏi khi cùng gấp số bị chia và số chia lên $9$ lần thì được thương và số dư (nếu có) là bao nhiêu?

Bài giải

Trong một phép chia có dư, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng được gấp lên \(n\) lần (\(n > 1\)) thì thương không thay đổi và số dư cũng được gấp lên \(n\) lần.

Ta có: $212$ $:$ $20$ $=$ $10$ (dư $12$)

Khi cùng gấp số bị chia và số chia lên $9$ lần thì thương không thay đổi và số dư gấp lên $9$ lần.

Số dư mới là:

$12$ × $9$ $=$ $108$

Như vậy, khi cùng gấp số bị chia và số chia lên $9$ lần thì được thương là $10$ và số dư là $108$.