I_ Kiến thức cần nhớ

* Có \(10\) chữ số gồm: \(0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\). Mọi số tự nhiên đều được viết bằng \(10\) chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải luôn khác \(0\).

* Cấu tạo của một số tự nhiên:

\(\overline{ab}\) = \(a\) × \(10\) + \(b\)

\(\overline{abc}\) = \(a\) × \(100\) + \(b\) × \(10\) + \(c\)

....

* Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (hoặc kém) nhau \(1\) đơn vị.

* Hai số chẵn liên tiếp hơn (hoặc kém) nhau \(2\) đơn vị.

* Hai số lẻ liên tiếp hơn (hoặc kém) nhau \(2\) đơn vị.

II_ Bài tập mẫu

1. Phân tích cấu tạo số

Ví dụ: Cho \(\overline{abcde}\) = \(3\) × \(10\) \(000\) + \(5\) × \(1\) \(000\) + \(2\) × \(100\) + \(4\) × \(10\) + \(7\). Tìm số \(\overline{abcde}\).

Bài giải

⚡Mỗi phép nhân cho biết giá trị của một chữ số ở một hàng.

⚡Xác định từng chữ số:

− Chữ số \(3\) đứng ở hàng chục nghìn, vì vậy \(a\) = \(3\).

− Chữ số \(5\) đứng ở hàng nghìn, vì vậy \(b\) = \(5\).

− Chữ số \(2\) đứng ở hàng trăm, vì vậy \(c\) = \(2\).

− Chữ số \(4\) đứng ở hàng chục, vì vậy \(d\) = \(4\).

− Chữ số \(7\) đứng ở hàng đơn vị, vì vậy \(e\) = \(7\).

⚡Ghép các chữ số theo thứ tự: \(a\) = \(3\); \(b\) = \(5\); \(c\) = \(2\); \(d\) = \(4\); \(e\) = \(7\)

Vậy \(\overline{abcde}\) = \(35\) \(247\).

2. Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước

Ví dụ: Cho sáu chữ số: \(0;8;5;2;3;6\). Từ sáu chữ số đó:

a. Viết được tất cả bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau?

b. Số lớn nhất có sáu chữ số khác nhau là số nào?

c. Số chẵn bé nhất có sáu chữ số khác nhau là số nào?

Bài giải

a. Lần lượt chọn các chữ số từ hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị như sau:

− Hàng trăm nghìn có \(5\) cách chọn (chữ số hàng trăm nghìn khác 0).

− Hàng chục nghìn có \(5\) cách chọn (chữ số ở hàng chục nghìn phải khác chữ số hàng trăm nghìn).

− Hàng nghìn có \(4\) cách chọn (chữ số ở hàng nghìn phải khác chữ số hàng trăm nghìn và hàng chục nghìn).

− Hàng trăm có \(3\) cách chọn (chữ số ở hàng trăm phải khác chữ số hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn và hàng nghìn).

− Hàng chục có \(2\) cách chọn (chữ số ở hàng chục phải khác chữ số hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn và hàng trăm).

− Hàng đơn vị có \(1\) cách chọn (chữ số ở hàng đơn vị phải khác chữ số hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục).

Như vậy số lượng số có sáu chữ số khác nhau viết được là:

\(5\) × \(5\) × \(4\) × \(3\) × \(2\) × \(1\) = \(600\) (số)

Đáp số: \(600\) số.

b. Để được số lớn nhất có sáu chữ số khác nhau, chữ số hàng trăm nghìn phải là chữ số lớn nhất trong những chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng trăm nghìn là \(8\).

Tương tự ở các hàng tiếp theo, ta chọn chữ số ở hàng sau nhỏ hơn chữ số ở hàng trước.

Như vậy, số cần tìm là \(865\) \(320\).

c. Số cần tìm là số chẵn, vì vậy chữ số hàng đơn vị phải là một trong các số: \(0; 2; 6; 8\).

Để được số bé nhất, chữ số hàng trăm nghìn phải là chữ số bé nhất trong những chữ số đã cho, nhưng khác \(0\). Vì vậy, chữ số hàng trăm nghìn là \(2\).

Tiếp theo, ta chọn các chữ số còn lại nhỏ nhất có thể (theo thứ tự từ trái sang phải), đồng thời chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn.

Như vậy, số cần tìm là \(203\) \(568\).

3. Tìm số lớn nhất (hoặc bé nhất) theo điều kiện cho trước khi biết tổng hoặc tích của các chữ số

3.1. Dạng 1: Tìm số lớn nhất khi biết tổng của các chữ số

Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng \(28\).

Dạng bài: Tìm số lớn nhất có \(a\) chữ số mà (\(a\) − \(1\)) × \(9\) \(<\) tổng các chữ số \(\le\) \(a\) × \(9\)

Cách làm:

⚡Chọn chữ số hàng cao nhất là \(9\).

⚡Chọn chữ số các hàng tiếp theo là các chữ số lớn nhất có thể.

⚡Chữ số hàng đơn vị bằng tổng trừ đi tổng các chữ số đã chọn.

Bài giải

Ta thấy: (\(4\) − \(1\)) × \(9\) \(<\) \(28\) \(<\) \(4\) × \(9\)

Chọn chữ số hàng nghìn là \(9\), chữ số hàng trăm là \(8\), chữ số hàng chục là \(7\).

Chữ số hàng đơn vị là:

\(28\) − \(9\) − \(8\) − \(7\) = \(4\)

Như vậy, số cần tìm là \(9\) \(874\).

Ví dụ 2: Tìm số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng \(24\).

Dạng bài: Tìm số lớn nhất có \(a\) chữ số mà (\(a\) − \(2\)) × \(9\) \(<\) tổng các chữ số \(\le\) (\(a\) − \(1\)) × \(9\)

Cách làm:

⚡Chọn chữ số hàng cao nhất là \(9\).

⚡Chọn chữ số các hàng tiếp theo là các chữ số lớn nhất có thể.

⚡Chọn chữ số hàng đơn vị là 0.

⚡Chữ số hàng chục bằng tổng đã cho trừ đi tổng các chữ số đã chọn.

Bài giải

Ta thấy: (\(4\) − \(2\)) × \(9\) \(<\) \(24\) \(<\) (\(4\) − \(1\)) × \(9\)

Chọn chữ số hàng nghìn là \(9\), chữ số hàng trăm là \(8\), chữ số hàng đơn vị là \(0\).

Chữ số hàng chục là:

\(24\) − \(9\) − \(8\) − \(0\) = \(7\)

Như vậy, số cần tìm là \(9\) \(870\).

Ví dụ 3: Tìm số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng \(7\).

Dạng bài: Tìm số lớn nhất có \(a\) chữ số mà tổng các chữ số nhỏ hơn \(10\).

Cách làm:

⚡Chọn chữ số hàng đơn vị là \(0\).

⚡Chọn các chữ số ở các hàng tiếp theo là các chữ số bé nhất có thể.

⚡Chữ số hàng cao nhất bằng tổng đã cho trừ đi các chữ số đã chọn.

Bài giải

Chọn chữ số hàng đơn vị là \(0\); chữ số hàng chục là \(1\); chữ số hàng trăm là \(2\).

Chữ số hàng nghìn là:

\(7\) − \(0\) − \(1\) − \(2\) = \(4\)

Như vậy, số cần tìm là \(4\) \(210\).

3.2. Dạng 2: Tìm số bé nhất khi biết tổng của các chữ số

Ví dụ: Tìm số bé nhất có sáu chữ số, biết rằng tổng các chữ số là \(12\).

Cách làm:

⚡Chọn chữ số hàng cao nhất là chữ số khác \(0\) nhỏ nhất có thể.

⚡Chọn chữ số hàng đơn vị là số lớn nhất có thể (không lớn hơn \(9\)).

⚡Chọn các chữ số còn lại (trừ chữ số hàng chục) là chữ số nhỏ nhất có thể.

⚡Chữ số hàng chục bằng tổng đã cho trừ đi tổng các chữ số đã chọn.

Bài giải

Chọn chữ số hàng trăm nghìn là \(1\) (vì \(1\) là số bé nhất khác \(0\)).

Chọn chữ số hàng chục nghìn, chữ số hàng nghìn, chữ số hàng trăm đều là \(0\).

Chọn chữ số hàng đơn vị là \(9\).

Chữ số hàng chục là:

\(12\) − \(1\) − \(0\) − \(0\) − \(0\) − \(9\) = \(2\)

Như vậy, số cần tìm là \(100\) \(029\).

3.3. Dạng 3: Tìm số lớn nhất, số bé nhất khi biết tích của các chữ số

Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất có bốn chữ số, biết rằng tích các chữ số là \(100\).

Bài giải

Ta có: \(100\) = \(5\) × \(5\) × \(2\) × \(2\).

Để được số lớn nhất có bốn chữ số, ta cần sắp xếp các chữ số theo thứ tự giảm dần.

Như vậy, số cần tìm là \(5\) \(522\).

Ví dụ 2: Tìm số bé nhất có ba chữ số khác nhau mà tích là \(56\).

Bài giải

Ta có: \(56\) = \(7\) × \(4\) × \(2\).

Để được số bé nhất, ta cần sắp xếp các chữ số theo thứ tự tăng dần.

Như vậy, số cần tìm là \(247\).

4. Viết thêm chữ số vào bên trái hoặc bên phải một số tự nhiên

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu ta viết thêm chữ số \(2\) vào bên trái số đó sẽ được số mới gấp \(21\) lần số cần tìm.

Bài giải

Cách 1:

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\) (\(a\) khác \(0\)).

Số mới là \(\overline{2abcd}\).

Theo đề bài, ta có: \(21\) × \(\overline{abcd}\) = \(\overline{2abcd}\)

\(21\) × \(\overline{abcd}\) = \(20\) \(000\) + \(\overline{abcd}\)

\(20\) × \(\overline{abcd}\) = \(20\) \(000\) (trừ cả 2 vế cho \(\overline{abcd}\))

\(\overline{abcd}\) = \(20\) \(000\) : \(20\)

\(\overline{abcd}\) = \(1\) \(000\)

Như vậy, số cần tìm là \(1\) \(000\).

Cách 2:

Khi viết thêm chữ số \(2\) vào bên trái số đã cho, ta được số mới hơn số đã cho là \(20\) \(000\) đơn vị.

Vận dụng các bước giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.

− Số lớn: Số mới.

− Số bé: Số cần tìm.

− Hiệu: \(20\) \(000\).

− Tỉ số giữa số cần tìm và số mới là $\dfrac{1}{21}$.

Số cần tìm là:

\(20\) \(000\) : (\(21\) − \(1\)) × \(1\) = \(1\) \(000\)

Như vậy, số cần tìm là \(1\) \(000\).

Ví dụ 2: Cho một số, biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó một chữ số thì được số mới và tổng của số mới và số cần tìm là 589. Tìm số đã cho và chữ số viết thêm.

Bài giải

Cách 1:

Gọi số cần tìm là \(A\), chữ số viết thêm là \(b\).

Khi viết thêm b vào bên phải A, ta được số mới là \(\overline{Ab}\).

Theo đề bài, ta có: \(A\) + \(\overline{Ab}\) = \(589\)

\(A\) + \(10A\) + \(b\) = \(589\)

\(11A\) + \(b\) = \(589\)

Vì \(b\) là số có một chữ số nên \(0\) \(\le\) \(b\) \(\le\) \(9\).

Ta có: \(589\) : \(11\) = \(53\) (dư \(6\))

Như vậy, \(A\) = \(53\) và \(b\) = \(6\)

Kết luận: Số phải tìm là \(53\) và chữ số viết thêm là \(6\).

Cách 2: Khi viết thêm một chữ số vào bên phải của một số, ta được số mới bằng \(10\) lần số đã cho cộng với chữ số viết thêm. Do đó, tổng của số mới và số cũ là tổng của \(11\) lần số cũ và số viết thêm.

Ta có: \(589\) : (\(10\) + \(1\)) = \(53\) (dư \(6\))

Như vậy, số phải tìm là \(53\) và chữ số viết thêm là \(6\).