Toán có nội dung hình học

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x > 4)

Chiều rộng của hình chữ nhật là \(\frac{3}{5}x\) (cm)

Diện tích hình chữ nhật là : \(x.\frac{3}{5}x=\frac{3}{5}x^2\) (cm²)

Diện tích hình chữ nhật khi thay đổi chiều dài và chiều rộng là \(\left(x-4\right)\left(\frac{3}{5}x-1\right)\) (cm²)

Theo bài ra ta có phương trình \(\left(x-4\right)\left(\frac{3}{5}x-1\right)=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{5}x^2-x-\frac{12}{5}x+4=\frac{3}{10}x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{10}x^2-\frac{17}{5}x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\left(tm\right)\\x=\dfrac{4}{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài miếng bìa là 10cm.

Chiều rộng miếng bìa là: \(10.\frac{3}{5}=6\left(cm\right)\)

Chu vi miếng bìa là: \(\left(10+6\right).2=32\left(cm\right)\)

Vậy chu vi miếng bìa là 32 cm.

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là : 24 : 2 = 12 (m)

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ban đầu là x và y \(\left(m;12>x,y>1\right)\)

Độ dài hai cạnh của hình chữ nhật mới là x + 2 (m) và y - 1 (m) 

Diện tích hình chữ nhật mới là (x + 2)(y - 1) (m²)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\xy+1=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\xy+1=xy-x+2y-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\3y=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=5\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài là 7m, chiều rộng là 5m.

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m, x > 0)

Chiều rộng của mảnh vườn là \(\frac{720}{x}\left(m\right)\)

Diện tích hình chữ nhật mới khi thay đổi độ dài các cạnh như đề bài là: \(\left(x+10\right)\left(\frac{720}{x}-6\right)\) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình \(\left(x+10\right)\left(\frac{720}{x}-6\right)=720\)

\(\Leftrightarrow720-6x+\frac{7200}{x}-60=720\)

\(\Leftrightarrow-6x^2-60x+7200=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=30\left(tm\right)\\x=-40\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài mảnh vườn là 30m.

Chiều rộng mảnh vườn là : 720 : 30 = 24 (m)

Gọi chiều rộng mảnh đất là x (m, x > 0)

Chiều dài mảnh đất là x + 6 (m)

Theo định lý  Pi-ta-go, ta có bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật trên là \(x^2+\left(x+6\right)^2\) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình \(x^2+\left(x+6\right)^2=\left(\frac{\sqrt{65}}{4}x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+6\right)^2=\frac{65}{16}x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(x+6\right)^2-\frac{65}{16}x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-33}{16}x^2+12x+36=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\left(tm\right)\\x=-\dfrac{24}{11}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều rộng mảnh đất là 8m.

Chiều dài mảnh đất là : 8 + 6 = 14(m)

Diện tích mảnh đất là :     14.8 = 112 (m²)

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm, 0 < y < x)

Diện tích hình chữ nhật là xy (cm²)

Diện tích hình chữ nhật nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4cm là (x + 4)(y + 4)     (cm²)

Diện tích hình chữ nhật nếu tăng chiều dài 5cm và giảm chiều rộng xuống 2cm là (x + 5)(y - 2)     (cm²)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+4\right)\left(y+4\right)=xy+80\\\left(x+5\right)\left(y-2\right)=xy\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+4x+4y+16=xy+80\\xy-2x+5y-10=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=64\\-2x+5y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=64\\-4x+10y=20\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=16\\14y=84\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 10 cm, chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm.

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là x và y   \(\left(m,50>x>y>0\right)\)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là     \(100:2=50\left(m\right)\)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=50\\5y-2x=40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50-y\\5y-2\left(50-y\right)=40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=50-y\\7y=140\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=20\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\)

Vậy chiều dài miếng đất là 30m, chiều rộng là 20m.

Gọi chiều cao của tam giác là x (dm, x > 0)

Cạnh đáy của tam giác đó là \(\dfrac{7x}{3}\) (dm)

Diện tích của tam giác là \(\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{7x}{3}=\dfrac{7x^2}{6}\)   (dm²)

Chiều cao sau khi giảm của tam giác là \(x-4,7\)   (dm)

Cạnh đáy sau khi giảm của tam giác là \(\dfrac{7x}{3}-4,3\)   (dm)

Diện tích sau khi giảm là  \(\dfrac{1}{2}.\left(x-4,7\right)\left(\dfrac{7x}{3}-4,3\right)\)(dm²)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{1}{2}.\left(x-4,7\right)\left(\dfrac{7x}{3}-4,3\right)=102,105\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{7x^2}{6}-\dfrac{229}{30}x-10,105=102,105\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{229}{30}x=112,21\)

\(\Leftrightarrow x=14,7\left(tmđk\right)\)

Chiều cao tam giác là 14,7dm. Cạnh đáy tam giác là \(7.\dfrac{14,7}{3}=34,3\left(dm\right)\)