Tổng hợp kiến thức và bài tập mẫu: Tính giá trị của biểu thức - Tính nhanh (Phép tính cộng và phép tính trừ) SVIP

1. Kiến thức cần nhớ

1.1. Phép cộng

1.1.1. Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.

$a + b = b + a$

Ví dụ: $987$ $+$ $1$ $097$ $=$ $1$ $097$ + $987$

1.1.2. Tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ví dụ: $(890 + 197) + 23 = 890 + (197 + 23)$

1.1.3. Cộng với số $0$: Một số tự nhiên cộng $0$ vẫn bằng chính số đó.

$a + 0 = 0 + a = a$

Ví dụ: $97$ $815$ $+$ $0$ $=$ $97$ $815$

1.1.4. Nếu bớt ở số hạng này bao nhiêu đơn vị và thêm vào số hạng kia bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi.

$(a$ – $n)$ $+$ $(b + n) = a + b$

Ví dụ: $(639$ – $72)$ $+$ $(987 + 72) = 639 + 987$ = $1$ $626$

1.1.5. Nếu cả hai số hạng cùng giảm đi $n$ đơn vị thì tổng giảm đi $(2$ × $n)$ đơn vị.

$(a$ – $n)$ $+$ $(b$ – $n)$ $= (a + b)$ – $2$ × $n$

Ví dụ: $(908$ – $17)$ $+$ $(25$ – $17)$ $= (908 + 25)$ – $2 ×17$ $=$ $899$

1.1.6. Nếu cả hai số hạng cùng tăng thêm $n$ đơn vị thì tổng tăng thêm $(2$ × $n)$ đơn vị.

$(a + n) + (b + n) = (a + b) + 2 × n$

Ví dụ: $(162 + 98) + (544 + 98) = (162 + 544) + 2 × 98$ $=$ $902$

1.1.7. Khi một số hạng được gấp lên $n$ lần và giữ nguyên các số hạng còn lại, tổng tăng thêm $(n$ – $1)$ lần số hạng được gấp lên.

Ví dụ: Cho phép tính $14 + 9 = 23$

Gấp số hạng $14$ lên $3$ lần và giữ nguyên số hạng $9$, ta có:

⚡ Số hạng mới là: $14 × 3 = 42$

⚡ Tổng mới là: $42 + 9 =$ $51$

Tổng tăng thêm là: $51$ – $23$ $=$ $28$

Ta thấy: $(3$ − $1)$ × $14$ $=$ $28$

Như vậy, khi gấp một số hạng lên $3$ lần và giữ nguyên số hạng còn lại, tổng sẽ tăng thêm $(3$ − $1)$ lần số hạng được gấp lên, tức là tăng thêm $28$ đơn vị.

1.1.8. Khi giảm một số hạng đi $n$ lần và giữ nguyên các số hạng còn lại, tổng giảm đi $(1$ – $\dfrac{1}{n})$ lần số hạng bị giảm đi.

Ví dụ: Cho phép tính $24$ + $12$ $=$ $36$.

Giảm số hạng $24$ đi $3$ lần và giữ nguyên số hạng $12$, ta có:

⚡ Số hạng mới là: $24 : 3 = 8$

⚡ Tổng mới là: $8 + 12 = 20$

Tổng giảm đi là: $36$ – $20$ $= 16$

Ta thấy: $(1$ – $\dfrac{1}{3})$ × $24$ $=$ $16$

Như vậy, khi giảm một số hạng đi $3$ lần và giữ nguyên số hạng còn lại, tổng sẽ giảm đi $(1$ – $\dfrac{1}{3})$ lần số hạng bị giảm đi, tức là giảm đi $16$ đơn vị.

1.2. Phép trừ

1.2.1. Khi trừ một số cho một tổng, ta có thể lần lượt trừ từng số hạng của tổng đó.

$a$ − $(b + c)$ $=$ $(a$ − $c)$ − $b$ $=$ $(a$ − $b)$ − $c$

Ví dụ: $627$ − $(25 + 175)$ $=$ $(627$ − $175)$ − $25$ $=$ $(627$ − $25)$ − $175$ $=$ $427$

1.2.2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng hoặc cùng giảm $n$ đơn vị thì hiệu không thay đổi.

$(a$ – $n)$ – $(b$ – $n)$ $=$ $a$ – $b$

$(a$ $+$ $n)$ – $(b$ $+$ $n)$ $=$ $a$ – $b$

Ví dụ: $(278$ – $18)$ – $(125$ – $18)$ $=$ $278$ – $125$ $=$ $153$

$(278$ $+$ $18)$ – $(125$ $+$ $18)$ $=$ $278$ – $125$ $=$ $153$

1.2.3. Nếu số bị trừ được gấp lên \(n\) lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm \(\left(n-1\right)\) lần số bị trừ \(\left(n>1\right)\).

Ví dụ: Cho phép trừ $20$ − $15$ $=$ $5$

Gấp số bị trừ lên $3$ lần, giữ nguyên số trừ. Ta có:

⚡ Số bị trừ mới là: $20$ × $3$ $=$ $60$

⚡ Hiệu mới là: $60$ − $15$ $=$ $45$

⚡ Hiệu tăng thêm là: $45$ − $5$ $=$ $40$ (đơn vị)

Ta thấy: $(3$ − $1)$ × $20$ = $40$

Như vậy, khi số bị trừ được gấp lên $3$ lần thì hiệu tăng thêm $(3$ − $1)$ lần số bị trừ, tức là tăng thêm $40$ đơn vị.

1.2.4. Nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên $n$ lần thì hiệu giảm đi \(\left(n-1\right)\) lần số trừ \(\left(n>1\right)\).

Ví dụ: Cho phép trừ $35$ − $5$ $=$ $30$

Gấp số trừ lên $4$ lần, giữ nguyên số bị trừ. Ta có:

⚡ Số trừ mới là: $5$ × $4$ $=$ $20$

⚡ Hiệu mới là: $35$ − $20$ $=$ $15$

⚡ Hiệu giảm đi là: $30$ − $15$ $=$ $15$ (đơn vị)

Ta thấy: $(4$ − $1)$ × $5$ = $15$

Như vậy, khi số trừ được gấp lên $4$ lần thì hiệu giảm đi $(4$ − $1)$ lần số trừ, tức là giảm đi $15$ đơn vị.

1.2.5. Nếu số bị trừ tăng thêm \(n\) đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm \(n\) đơn vị.

Ví dụ: Cho phép trừ $25$ − $8$ $=$ $17$

Tăng số bị trừ thêm $6$ đơn vị và giữ nguyên số trừ. Ta có:

⚡ Số bị trừ mới là: $25$ + $6$ $=$ $31$

⚡ Hiệu mới là: $31$ − $8$ $=$ $23$

⚡ Hiệu tăng thêm là: $23$ − $17$ $=$ $6$ (đơn vị)

Như vậy, khi số bị trừ được tăng thêm $6$ đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu cũng tăng thêm $6$ đơn vị.

1.2.6. Nếu số trừ tăng thêm \(n\) đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm đi \(n\) đơn vị.

Ví dụ: Cho phép trừ $40$ − $12$ $=$ $28$

Tăng số trừ thêm $5$ đơn vị và giữ nguyên số bị trừ. Ta có:

⚡ Số trừ mới là: $12$ + $5$ $=$ $17$

⚡ Hiệu mới là: $40$ − $17$ $=$ $23$

⚡ Hiệu giảm đi là: $28$ − $23$ $=$ $5$ (đơn vị)

Như vậy, khi số trừ được tăng thêm $5$ đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm đi $5$ đơn vị.

2. Bài tập mẫu

2.1. Dạng 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất (vận dụng các tính chất của phép cộng và phép trừ)

Ví dụ: Tính bằng cách thuận tiện nhất.

a. $1$ $258$ $+$ $7$ $942$ $+$ $42$

b. $(950$ − $18)$ $+$ $(450$ − $18)$

c. $(846$ $+$ $54)$ − $(397$ $+$ $54)$

Bài giải

a. $1$ $258$ $+$ $7$ $942$ $+$ $42$

Vận dụng tính chất giao hoán của phép cộng.

$1$ $258$ $+$ $7$ $942$ $+$ $42$

$=$ $1$ $258$ $+$ $42$ $+$ $7$ $942$

$=$ $1$ $300$ $+$ $7$ $942$

$=$ $9$ $242$

b. $(950$ − $18)$ $+$ $(450$ − $18)$

Vận dụng công thức: $(a$ − $n)$ $+$ $(b$ − $n)$ $=$ $(a + b)$ − $2$ × $n$

$(950$ − $18)$ $+$ $(450$ − $18)$

$=$ $(950 + 450)$ − $2$ × $18$

$=$ $1$ $400$ − $36$

$=$ $1$ $364$

c. $(846$ $+$ $54)$ − $(397$ $+$ $54)$

Vận dụng công thức: $(a + n)$ − $(b + n)$ $=$ $a$ − $b$

$(846$ $+$ $54)$ − $(397$ $+$ $54)$

$=$ $846$ − $397$

$=$ $449$

2.2. Dạng 2: Tổng, hiệu thay đổi khi thay đổi thành phần của phép tính

Ví dụ 1: Gấp một số hạng lên nhiều lần

Cho phép tính $17$ $+$ $978$. Hỏi khi gấp số hạng $17$ lên $3$ lần và giữ nguyên số hạng còn lại thì tổng mới tăng thêm bao nhiêu đơn vị?

Bài giải

Khi gấp một số hạng lên $n$ lần và giữ nguyên số hạng còn lại, tổng đã tăng thêm $(n$ − $1)$ lần số hạng được gấp lên.

Tổng mới tăng thêm số đơn vị là:

$(3$ − $1)$ × $17$ = $34$

Đáp số: $34$.

Ví dụ 2: Giảm một số hạng đi nhiều lần

Cho phép tính $539$ $+$ $74$. Hỏi khi giảm số hạng $74$ đi $2$ lần và giữ nguyên số hạng còn lại thì tổng mới giảm đi bao nhiêu đơn vị?

Bài giải

Khi giảm một số hạng đi $n$ lần và giữ nguyên số hạng còn lại, tổng đã giảm đi $(1$ – $\dfrac{1}{n})$ lần số hạng bị giảm đi.

Tổng mới giảm đi số đơn vị là:

$(1$ – $\dfrac{1}{2})$ × $74$ = $37$

Đáp số: $37$.

Ví dụ 3: Gấp số bị trừ lên nhiều lần

Cho phép tính $245$ − $38$. Hỏi khi gấp số bị trừ lên $4$ lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới tăng thêm bao nhiêu đơn vị?

Bài giải

Nếu số bị trừ được gấp lên \(n\) lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm \(\left(n-1\right)\) lần số bị trừ \(\left(n>1\right)\).

Hiệu mới tăng thêm số đơn vị là:

$(4$ – $1)$ × $245$ = $735$

Đáp số: $735$.

Ví dụ 4: Gấp số trừ lên nhiều lần

Cho phép tính $864$ − $72$. Hỏi khi gấp số trừ lên $6$ lần và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu mới giảm đi bao nhiêu đơn vị?

Bài giải

Nếu số trừ được gấp lên \(n\) lần và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm đi \(\left(n-1\right)\) lần số trừ \(\left(n>1\right)\).

Hiệu mới giảm đi số đơn vị là:

$(6$ – $1)$ × $72$ = $360$

Đáp số: $360$.

Ví dụ 5: Tăng số bị trừ thêm một số đơn vị

Cho phép tính $425$ − $178$. Hỏi khi tăng số bị trừ thêm $35$ đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới là bao nhiêu?

Bài giải

Nếu số bị trừ tăng thêm $n$ đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng thêm $n$ đơn vị.

Khi tăng số bị trừ thêm $35$ đơn vị và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới tăng thêm $35$ đơn vị.

Hiệu mới là:

$425$ − $178$ $+$ $35$ = $282$

Đáp số: $282$.

Ví dụ 6: Tăng số trừ thêm một số đơn vị

Cho phép tính $760$ − $308$. Hỏi khi tăng số trừ thêm $48$ đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu mới là bao nhiêu?

Bài giải

Nếu số trừ tăng thêm $n$ đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm đi $n$ đơn vị.

Khi tăng số trừ thêm $48$ đơn vị và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu mới giảm đi $48$ đơn vị.

Hiệu mới là:

$760$ − $308$ − $48$ = $404$

Đáp số: $404$.