Quay lại giao diện cũ
Tính độ dài của một dây. Tính khoảng cách từ tâm đến dây
Cho đường tròn $(O;10)$. Lấy một điểm $A$ tùy ý thuộc $(O)$. Vẽ dây $MN$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA$. Tính độ dài dây $MN$.
Hướng dẫn giải
Gọi $I$ là trung điểm của $OA$.
Ta có $OI=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}.10=5$
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $IMO$, ta được:
$IM^2=OM^2-OI^2=10^2-5^2=75$
Suy ra $IM=5\sqrt{3}$.
Ta có $MN \perp OA$ tại trung điểm $I$ của $OA$, nên:
$IM=IN=\dfrac{1}{2}MN$ nên $MN=2IM=2. 5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$.
Cho đường tròn $( O;R )$ và dây $MN=R$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $MN$.
Hướng dẫn giải
Vẽ $OH \bot MN$ tại $H$ thì $HM=HN=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{R}{2}$.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $OMH$, ta được:
$OH^2=OM^2-MH^2=R^2-\Big( \dfrac{R}{2} \Big)^2=\dfrac{3R^2}{4}$
$OH=\sqrt{\dfrac{3R^2}{4}}=\dfrac{R\sqrt3}{2}$
Vậy khoảng cách từ $O$ đến dây $MN$ là $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.
Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BB'$ và $CC'$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. So sánh độ dài hai đoạn thẳng $BC$ và $B'C'$.
Hướng dẫn giải
Tam giác $ABC$ có hai đường cao $BB'$ và $CC'$ nên
$\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}=90^\circ $
Suy ra $OB=OC=O{B}'=O{C}'$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Do đó bốn điểm $B$, $C'$, $B'$, $C$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $OB'$.
Đường kính $BC$, $B'C'$ là dây cung nên độ dài $B'C'$ nhỏ hơn độ dài $BC$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^\circ $.
Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn. So sánh độ dài $AC$ và $BD$.
Hướng dẫn giải
Tứ giác $ABCD$ có $\widehat{B}=\widehat{D}=90^\circ$ nên $OA=OB=OC=OD$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Suy ra bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.
$AC$ là đường kính, $BD$ là dây không đi qua điểm $O$.
Suy ra $AC>BD$.
Tâm $O$ của một đường tròn cách dây $AB$ của nó một khoảng. $AB = 3$ cm. Tính khoảng cách từ $A$ đến tâm của đường tròn $(O)$ biết rằng cung nhỏ $AB$ có số đo bằng $100^\circ $ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm).
Hướng dẫn giải
Kẻ $OH$ vuông góc với $AB$ tại $H$.
Khi đó $H$ là trung điểm của $AB$ hay $AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{3}{2}$.
Vì cung nhỏ $\overset\frown{AB}=100^\circ $ nên $\widehat{AOB}=100^\circ $
Hay $\widehat{AOH}=50^\circ $.
Ta có $AO=\dfrac{AH}{\sin \widehat{AOH}}=\dfrac{3}{2\sin 50^\circ }=2$ cm.
Dây cung $AB$ chia đường tròn $(O)$ thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ.
a) Tính số đo mỗi cung.
b) Chứng minh khoảng cách $OH$ từ tâm $O$ đến dây cung $AB$ có độ dài bằng $\dfrac{AB}{2}$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có sđ$\overset\frown{AB}_{\text{nhỏ}}+$sđ$\overset\frown{AB}_{\text{lớn}}=360^\circ $,
mà sđ$\overset\frown{AB}_{\text{lớn}}=3$sđ$\overset\frown{AB}_{\text{nhỏ}}$.
Suy ra sđ${{\overset\frown{AB}}_{\text{nhỏ}}}=90^\circ $;
sđ${{\overset\frown{AB}}_{\text{lớn}}}=270^\circ $.
b) Ta có $\widehat{AOB}=$ sđ${{\overset\frown{AB}}_{\text{nhỏ}}}=90^\circ $, mà $OA=OB=R$.
Suy ra tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$.
Mặt khác $OH \bot AB=\left\{ H \right\}$.
Suy ra $\Delta OHA$ vuông cân tại $H$ suy ra $OH=HA=\dfrac{AB}{2}$.
Cho đường tròn $(O;R)$ và một dây cung $AB$ sao cho số đo cung lớn $AB$ gấp đôi số đo cung nhỏ $AB$. Tính độ dài dây $AB$.
Hướng dẫn giải
sđ$\overset\frown {AB}_{\text{lớn}}+$sđ$\overset\frown{AB}_{\text{nhỏ}}=360^\circ $,
sđ$\overset\frown{AB}_{\text{lớn}}=2$sđ$\overset\frown{AB}_{\text{nhỏ}}$ nên:
sđ${{\overset\frown{AB}}_{\text{nhỏ}}}=120^\circ $.
Suy ra $\widehat{AOB}=120^\circ $.
Vẽ $OH \bot AB$, ta có $\widehat{AOH}=\widehat{HOB}=60^\circ $ và $AH=HB=\dfrac{1}{2}AB$.
Tam giác $AOH$ có $\widehat{AHO}=90^\circ $, $\widehat{AOH}=60^\circ $ nên
$OH=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{1}{2}R$
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
$AH^2=AO^2-OH^2=\dfrac{3R^2}{4}$
Suy ra $AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $AB=2AH=R\sqrt{3}$.