PHÉP CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. TÍNH CHẤT CHUNG

1) Nếu $a \, \vdots \, b$ và $b \, \vdots \, c$ thì $a \, \vdots \, c$.

2) $a \, \vdots \, a$ với mọi số tự nhiên $a$ khác $0$.

3) $0 \, \vdots \, b$ với mọi số tự nhiên $b$ khác $0$.

4) Bất kì số tự nhiên nào cũng chia hết cho $1$.

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU

- Nếu $a, \, b$ cùng chia hết cho $m$ thì $a + b$ chia hết cho $m$ và $a - b$ chia hết cho $m$ (với điều kiện $a \ge b$).

- Nếu tổng (hoặc hiệu) của hai số chia hết cho $m$, và một trong hai số hạng đó chia hết cho $m$, thì số hạng còn lại cũng chia hết cho $m$.

- Nếu một trong hai số $a, \, b$ chia hết cho $m$, số kia không chia hết cho $m$ thì tổng (hoặc hiệu) của chúng không chia hết cho $m$.

3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH

- Nếu một thừa số của tích chia hết cho $m$ thì tích đó chia hết cho $m$.

- Nếu $a$ chia hết cho $m$ thì các bội của $a$ cũng chia hết cho $m$.

- Nếu $a$ chia hết cho $m$, $b$ chia hết cho $n$ thì $a \cdot b$ chia hết cho $m \cdot n$.

- Nếu $a$ chia hết cho $b$ thì $a^m \, \vdots \, b^m$ (với $m$ là số tự nhiên).

4. CÁC TÍNH CHẤT NÂNG CAO

1) Nếu $a \, \vdots \, m$ và $b \, \vdots \, m$ thì $(p \cdot a \pm q \cdot b) \, \vdots \, m$ (với $p, \, q$ là các số tự nhiên và điều kiện phép trừ thực hiện được).

2) Nếu $a \, \vdots \, (m \cdot n)$ thì $a \, \vdots \, m$ và $a \, \vdots \, n$.

3) Nếu $a \, \vdots \, m$ và $a \, \vdots \, n$, đồng thời $m$ và $n$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $a \, \vdots \, (m \cdot n)$.

4) Nếu $a \cdot b \, \vdots \, m$ và hai số $b, \, m$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $a \, \vdots \, m$.

5) Nếu $a \cdot b \, \vdots \, p$ (với $p$ là số nguyên tố) thì hoặc $a \, \vdots \, p$ hoặc $b \, \vdots \, p$.

5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC

- Trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn và một số lẻ.

- Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp luôn là một số lẻ.

- Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn là một số chẵn.

- Tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho $8$.

- Nếu tổng của hai số tự nhiên bất kì là một số lẻ thì trong hai số đó chắc chắn có một số là số chẵn và một số là số lẻ.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số

Phương pháp giải

Để chứng minh biểu thức $A$ chia hết cho số $m$, ta có thể thực hiện theo các cách sau:

- Viết biểu thức $A$ thành một tổng (hiệu) các số, trong đó mỗi số đều chia hết cho $m$.

- Viết biểu thức $A$ thành một tích các thừa số, trong đó có một thừa số chia hết cho $m$.

- Phân tích $m$ thành tích của các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một và chứng minh biểu thức $A$ chia hết cho từng số đó.

Cụ thể, ta vận dụng các định hướng:

+ Định hướng 1: Vận dụng trực tiếp các dấu hiệu chia hết cho $2; \, 3; \, 4; \, 5; \, 8; \, 9; \, 11 \dots$

+ Định hướng 2: Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hoặc hiệu), hoặc của một tích.

+ Định hướng 3: Xét mọi trường hợp về số dư khi chia $A$ cho một số $p$ nào đó.

+ Định hướng 4: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh chia hết cho $2$ (hoặc $5$), ta có thể chứng minh biểu thức có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (hoặc chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$).

+ Định hướng 5: Nếu $A \, \vdots \, m$ và $A \, \vdots \, n$, đồng thời $m$ và $n$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $A \, \vdots \, (m \cdot n)$.

Bài 1. Chứng minh rằng:

a) $A = 10^{28} + 8 \, \vdots \, 72$

b) $B = 81^7 - 27^9 - 9^{13} \, \vdots \, 45$

Lời giải

a) Chứng minh $A \, \vdots \, 72$

Cách 1:

Ta có: $10^{28} = (2 \cdot 5)^{28} = 2^{28} \cdot 5^{28} = 2^3 \cdot 2^{25} \cdot 5^{28} \, \vdots \, 8$ và $8 \, \vdots \, 8$, do đó $A \, \vdots \, 8$.

Lại có $10^{28} + 8 = 100\dots008$ (có $27$ chữ số $0$ nằm giữa chữ số $1$ và chữ số $8$) có tổng các chữ số là $1 + 0 + \dots + 0 + 8 = 9$ nên chia hết cho $9$.

Vì $A \, \vdots \, 8$, $A \, \vdots \, 9$ và hai số $8, \, 9$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên $A \, \vdots \, (8 \cdot 9)$ hay $A \, \vdots \, 72$ (đpcm).

Cách 2:

Biểu diễn $A = 10^{28} + 8 = 100\dots008$ (có $27$ chữ số $0$ nằm giữa chữ số $1$ và chữ số $8$). Số này có ba chữ số tận cùng là $008$ chia hết cho $8$ nên $A \, \vdots \, 8$.

Mặt khác, ta tách $A = 10^{28} + 8 = (10^{28} - 1) + 9$.

Vì $(10^{28} - 1) = 99\dots99$ (gồm $28$ chữ số $9$) luôn chia hết cho $9$, và $9 \, \vdots \, 9$, nên tổng của chúng chia hết cho $9 \Rightarrow A \, \vdots \, 9$.

Hai số $8, \, 9$ nguyên tố cùng nhau nên $A \, \vdots \, 72$ (đpcm).

b) Chứng minh $B \, \vdots \, 45$

Ta đưa các lũy thừa về cùng cơ số $9$:

$81^7 = (9^2)^7 = 9^{14}$

$27^9 = (3^3)^9 = 3^{27} = (3^2)^{13} \cdot 3 = 9^{13} \cdot 3$

Thay vào biểu thức, ta được: $B = 9^{14} - 9^{13} \cdot 3 - 9^{13} \cdot 1$.

Sử dụng tính chất phân phối, ta đặt $9^{13}$ làm thừa số chung:

$B = 9^{13} \cdot (9 - 3 - 1) = 9^{13} \cdot 5$.

Vì tích chứa thừa số $5$ nên $B \, \vdots \, 5$.

Vì tích chứa thừa số $9^{13}$ nên $B \, \vdots \, 9$.

Hai số $5, \, 9$ là hai số nguyên tố cùng nhau, suy ra $B \, \vdots \, (5 \cdot 9)$ hay $B \, \vdots \, 45$ (đpcm).

Dạng 2: Cho một biểu thức chia hết cho $m$, chứng minh một biểu thức khác chia hết cho $m$

Phương pháp giải

- Vận dụng tính chất chia hết: Nếu $A \, \vdots \, C$ và $B \, \vdots \, C$ thì $(p \cdot A \pm q \cdot B) \, \vdots \, C$, từ đó ta khéo léo chọn các hệ số $p$ và $q$ thích hợp để triệt tiêu hoặc làm xuất hiện nhân tử cần thiết.

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $x, \, y$ thì: $2x + 3y \, \vdots \, 17$ khi và chỉ khi $9x + 5y \, \vdots \, 17$.

Lời giải

Gợi ý phân tích: Ta thử thiết lập một biểu thức kết hợp sao cho hệ số của $x$ và $y$ đều là bội của $17$. Ta thấy $4 \cdot (2x + 3y) + (9x + 5y) = 8x + 12y + 9x + 5y = 17x + 17y = 17 \cdot (x + y)$. Vì $17 \cdot (x + y) \, \vdots \, 17$, ta có các cách lập luận sau:

Cách 1: Lập luận 2 chiều riêng biệt

* Chiều thuận: Giả sử $(2x + 3y) \, \vdots \, 17$, ta cần chứng minh $(9x + 5y) \, \vdots \, 17$.

Vì $(2x + 3y) \, \vdots \, 17$ suy ra $4 \cdot (2x + 3y) \, \vdots \, 17 \Rightarrow (8x + 12y) \, \vdots \, 17$.

Ta luôn có $(17x + 17y) \, \vdots \, 17$. Xét hiệu: $(17x + 17y) - (8x + 12y) = 9x + 5y$.

Vì cả hai số bị trừ và số trừ đều chia hết cho $17$, suy ra hiệu $(9x + 5y) \, \vdots \, 17$.

* Chiều đảo: Giả sử $(9x + 5y) \, \vdots \, 17$, ta cần chứng minh $(2x + 3y) \, \vdots \, 17$.

Ta luôn có $(17x + 17y) \, \vdots \, 17$. Xét hiệu: $(17x + 17y) - (9x + 5y) = 8x + 12y$.

Do $(17x + 17y) \, \vdots \, 17$ và $(9x + 5y) \, \vdots \, 17$, suy ra $(8x + 12y) \, \vdots \, 17$.

Hay $4 \cdot (2x + 3y) \, \vdots \, 17$. Vì hai số $4$ và $17$ nguyên tố cùng nhau nên $(2x + 3y) \, \vdots \, 17$.

Cách 2: Sử dụng tổng dùng chung

Xét tổng $T = 4 \cdot (2x + 3y) + (9x + 5y) = 17x + 17y = 17 \cdot (x + y)$.

Rõ ràng tổng $T$ luôn chia hết cho $17$.

- Nếu $(2x + 3y) \, \vdots \, 17$ thì $4 \cdot (2x + 3y) \, \vdots \, 17$. Để tổng $T \, \vdots \, 17$, số hạng còn lại bắt buộc phải thỏa mãn $(9x + 5y) \, \vdots \, 17$.

- Ngược lại, nếu $(9x + 5y) \, \vdots \, 17$. Để tổng $T \, \vdots \, 17$, số hạng còn lại bắt buộc phải thỏa mãn $4 \cdot (2x + 3y) \, \vdots \, 17$. Mà $(4, 17) = 1$ nên $(2x + 3y) \, \vdots \, 17$.

Dạng 3: Tìm số tự nhiên $n$ để biểu thức chứa $n$ chia hết cho một biểu thức khác chứa $n$

Bài 3. Tìm số tự nhiên $n$ để phân số $\dfrac{n + 15}{n + 3}$ có giá trị là một số tự nhiên.

Lời giải

Để $\dfrac{n + 15}{n + 3}$ là một số tự nhiên thì $(n + 15) \, \vdots \, (n + 3)$.

Ta có thể phân tích: $(n + 15) = (n + 3) + 12$.

Suy ra $[(n + 3) + 12] \, \vdots \, (n + 3)$. Vì bản thân $(n + 3) \, \vdots \, (n + 3)$ nên phần dư còn lại $12 \, \vdots \, (n + 3)$.

Do đó $(n + 3)$ phải là một ước của $12$. Ta có $\text{Ư}(12) = \{1; \, 2; \, 3; \, 4; \, 6; \, 12\}$.

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n + 3 \ge 3$. Từ đó suy ra $n + 3 \in \{3; \, 4; \, 6; \, 12\}$.

Giải ra ta được: $n \in \{0; \, 1; \, 3; \, 9\}$.

Vậy với $n \in \{0; \, 1; \, 3; \, 9\}$ thì phân số đã cho là một số tự nhiên.

Dạng 4: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một biểu thức

Phương pháp giải

- Biến đổi biểu thức bị chia thành một biểu thức rút gọn hơn hoặc đưa về dạng tích các thừa số, trong đó có một thừa số chia hết cho biểu thức chia.

Bài 4. Cho biểu thức $A = 4 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99}$. Chứng minh rằng $A$ chia hết cho $2^{99}$.

Lời giải

Ta có biểu thức: $A = 4 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99}$.

Vì $4 = 2^2$ nên ta có thể viết lại: $A = 2^2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99}$.

Xét biểu thức: $2 \cdot A = 2 \cdot (2^2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99}) = 2^3 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{100}$.

Xét hiệu $2 \cdot A - A$, các số hạng ở giữa bị triệt tiêu, ta được:

$A = 2^{100} + 2^3 - (2^2 + 2^2) = 2^{100} + 8 - (4 + 4) = 2^{100}$.

Vì $2^{100} = 2^{99} \cdot 2$, do đó $2^{100} \, \vdots \, 2^{99}$.

Vậy $A \, \vdots \, 2^{99}$ (đpcm).

Dạng 5: Chứng minh chia hết từ một đẳng thức cho trước

Phương pháp giải

- Phân tích cấu tạo số để làm xuất hiện biểu thức giống trong đẳng thức bài cho.

- Thay đẳng thức bài cho vào biểu thức vừa khai triển rồi lập luận dựa trên tính chất chia hết.

Bài 5. Chứng minh rằng:

a) Cho các số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab}$ và $\overline{cd}$ (với $c \lt 5$). Chứng minh rằng nếu $\overline{ab} = 2 \cdot \overline{cd}$ thì $\overline{abcd} \, \vdots \, 67$.

b) Nếu $\overline{abc} = 2 \cdot \overline{deg}$ thì $\overline{abcdeg} \, \vdots \, 23$ và $\overline{abcdeg} \, \vdots \, 29$.

Lời giải

a) Phân tích cấu tạo số, ta có: $\overline{abcd} = 100 \cdot \overline{ab} + \overline{cd}$.

Thay $\overline{ab} = 2 \cdot \overline{cd}$ vào biểu thức, ta được:

$\overline{abcd} = 100 \cdot (2 \cdot \overline{cd}) + \overline{cd} = 200 \cdot \overline{cd} + \overline{cd} = 201 \cdot \overline{cd}$.

Vì $201 = 67 \cdot 3 \, \vdots \, 67$, nên $201 \cdot \overline{cd} \, \vdots \, 67$.

Vậy $\overline{abcd} \, \vdots \, 67$ (đpcm).

b) Phân tích cấu tạo số, ta có: $\overline{abcdeg} = 1\,000 \cdot \overline{abc} + \overline{deg}$.

Thay $\overline{abc} = 2 \cdot \overline{deg}$ vào biểu thức, ta được:

$\overline{abcdeg} = 1\,000 \cdot (2 \cdot \overline{deg}) + \overline{deg} = 2\,000 \cdot \overline{deg} + \overline{deg} = 2\,001 \cdot \overline{deg}$.

Ta phân tích $2\,001 = 23 \cdot 29 \cdot 3$. Do đó, $2\,001 \cdot \overline{deg} \, \vdots \, 23$ và $2\,001 \cdot \overline{deg} \, \vdots \, 29$.

Vậy $\overline{abcdeg} \, \vdots \, 23$ và $\overline{abcdeg} \, \vdots \, 29$ (đpcm).

Dạng 6: Tìm chữ số chưa biết để thỏa mãn điều kiện chia hết

Phương pháp giải

- Phân tích số chia thành tích của các số nguyên tố cùng nhau.

- Áp dụng lần lượt các dấu hiệu chia hết tương ứng. Lời khuyên là nên ưu tiên xét các dấu hiệu liên quan đến chữ số tận cùng trước (như $2, \, 5, \, 4, \, 8, \, 25 \dots$) để thu hẹp phạm vi các chữ số cần tìm.

Bài 6. Tìm tất cả các cặp chữ số $(x; \, y)$ sao cho $\overline{34x5y} \, \vdots \, 36$.

Lời giải

Vì $36 = 4 \cdot 9$ và hai số $4, \, 9$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nên $\overline{34x5y} \, \vdots \, 36$ khi và chỉ khi số đó đồng thời chia hết cho $4$ và $9$.

- Xét dấu hiệu chia hết cho $4$: Số tạo bởi hai chữ số tận cùng phải chia hết cho $4$, tức là $\overline{5y} \, \vdots \, 4$. Suy ra $y \in \{2; \, 6\}$.

- Xét dấu hiệu chia hết cho $9$: Tổng các chữ số phải chia hết cho $9$.

+ Trường hợp 1: Nếu $y = 2$, ta có tổng các chữ số là $3 + 4 + x + 5 + 2 = 14 + x$. Để $(14 + x) \, \vdots \, 9$ (với $x$ là chữ số từ $0$ đến $9$), ta có $x = 4$.

+ Trường hợp 2: Nếu $y = 6$, ta có tổng các chữ số là $3 + 4 + x + 5 + 6 = 18 + x$. Để $(18 + x) \, \vdots \, 9$ (với $x$ là chữ số từ $0$ đến $9$), ta có $x \in \{0; \, 9\}$.

Vậy các cặp chữ số $(x; \, y)$ thỏa mãn là: $(4; \, 2), \, (0; \, 6), \, (9; \, 6)$.

Dạng 7: Chứng minh biểu thức chia hết bằng cách xét tổng các chữ số

Phương pháp giải

- Áp dụng nguyên lý cấu tạo thập phân đối với các bài toán xuất hiện lũy thừa $10^n$. Khai triển cụ thể số đó ra để tính toán tổng các chữ số.

Bài 7. Cho $n$ là số tự nhiên ($n > 2$). Chứng minh rằng:

a) $(10^n + 2^3) \, \vdots \, 9$

b) $(10^n + 26) \, \vdots \, 18$

Lời giải

a) Ta có biểu diễn thập phân: $10^n + 2^3 = 10^n + 8 = 100\dots008$ (có $n - 1$ chữ số $0$ nằm giữa chữ số $1$ và chữ số $8$).

Số này có tổng các chữ số là: $1 + 0 + \dots + 0 + 8 = 9$.

Theo dấu hiệu chia hết cho $9$, vì tổng các chữ số chia hết cho $9$ nên $(10^n + 2^3) \, \vdots \, 9$ (đpcm).

b) Ta có biểu diễn thập phân: $10^n + 26 = 100\dots026$ (có $n - 2$ chữ số $0$ nằm giữa chữ số $1$ và chữ số $2$).

Số này có tổng các chữ số là: $1 + 0 + \dots + 0 + 2 + 6 = 9$. Do đó, số này chia hết cho $9$.

Mặt khác, số $100\dots026$ có chữ số tận cùng là $6$ (là số chẵn) nên nó chia hết cho $2$.

Vì biểu thức đồng thời chia hết cho $2$ và $9$, mà $2, \, 9$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nên biểu thức này chia hết cho $(2 \cdot 9)$ hay chia hết cho $18$.

Vậy $(10^n + 26) \, \vdots \, 18$ (đpcm).