Quay lại giao diện cũ
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Cho phương trình \(mx^2-2\left(m+2\right)x+\left(m-3\right)=0\).
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm.
b) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm \(x_1,x_2\) không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là \(m\ne0\) và \(\Delta'=7m+4\ge0\), tức là
\(-\dfrac{4}{7}\le m< 0;0< m< +\infty\).
b) Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+4}{m}=2+\dfrac{4}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\). Khử m từ hệ này bằng cách tính \(\dfrac{1}{m}\) theo \(x_1+x_2\) rồi thế vào biểu thức \(x_1x_2\). Ta được hệ thức giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m:
\(3\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2=10\)
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+3=0\).
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm.
b) Với các giá trị m tìm được ở trên, tìm một hệ thức giữa hai nghiệm \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m.
Hướng dẫn giải
a) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-3=2m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge1\).
b) Theo Viet ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)
Suy ra \(x_1x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2+3\Leftrightarrow\left(x_1+x_2-2\right)^2-4x_1x_2+12=0\)
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm \(x^2+mx+m+1=0\).
Chứng minh rằng với các giá trị tìm được của m, giữa hai nghiệm của phương trình có một hệ thức độc lập với m.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho sẽ có 2 nghiệm khi \(\Delta=m^2-4m-4=\left(m-2\right)^2-8\ge0\)
\(\Leftrightarrow m-2\ge2\sqrt{2}\) hoặc \(m-2\le-2\sqrt{2}\) hay \(m\le2-2\sqrt{2};m\ge2+2\sqrt{2}\).
Khi đó, theo Viet ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_1+x_2+x_1x_2=1\)
Cho phương trình \(x^2+\left(m+4\right)x+\left(2m+3\right)=0\).
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Hướng dẫn giải
a) \(\Delta=\left(m+4\right)^2-4\left(2m+3\right)=m^2+4>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Theo Vi-et ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-4\\x_1x_2=2m+3\end{matrix}\right.\)
Từ phương trình thứ nhất suy ra \(m=-x_1-x_2-4\) , thế vào phương trình thứ hai ta có \(x_1x_2=-2\left(x_1+x_2+4\right)+3\)
Cho phương trình \(x^2+mx+2m-4=0\).
a) Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với m.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình có \(\Delta=\left(m-4\right)^2\ge0,\forall m\). Do đó phương trình luôn có hai nghiệm.
b) Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\), từ đó
\(2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2=-4\)
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m+1=0\).
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Chứng minh rằng khi phương trình có nghiệm thì có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Hướng dẫn giải
a) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-1=m^2\ge0,\forall m\). Phương trình luôn có nghiệm.
b) Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\), suy ra
\(x_1+x_2-x_1x_2=1\)
Cho phương trình \(mx^2+\left(m-2\right)x+3=0\) .
Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì giữa hai nghiệm này có một hệ thức độc lập với m.
Hướng dẫn giải
Theo Viet ta có \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(m-2\right)}{m}=-1+\dfrac{2}{m}\) và \(x_1x_2=\dfrac{3}{m}\). Từ đó
\(3\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=-3\)
Cho phương trình \(\left(m-3\right)x^2-2mx+6m=0\). Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì có một hệ thức giữa hai nghiệm này không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải
Theo Viet ta có \(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-3}\) và \(x_1x_2=\dfrac{6m}{m-3}\) suy ra
\(3\left(x_1+x_2\right)=x_1x_2\)