Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho (phần 2)

a) \(\Delta'=\left(m-2\right)^2+2>0,\forall m\). Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo Viet hai nghiệm của phương trình thỏa mãn  \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\).

 Nếu hai nghiệm của phương trình có tổng bằng 6 thì  \(2\left(m-1\right)=6\Leftrightarrow m=4\).

 Đảo lại, nếu m = 4 thì phương trình đã cho là   \(x^2-6x+3=0\Leftrightarrow x=3\pm\sqrt{6}\) thỏa mãn điều kiện tổng hai nghiệm bằng 6. 

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt vì có  \(\Delta=m^2+8\left(m^2+8\right)>0,\forall m\).

Ta có  \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\) nên theo Viet thì

                      \(x_1^2+x_2^2=m^2+4\left(m^2+8\right)=5m^2+32\)

Yêu cầu bài toán được thực hiện khi  \(5m^2+32=52\Leftrightarrow m=\pm2\)

​a) Theo Viet , m phải làm cho hệ phương trình hai ẩn \(x_1,x_2\)sau đây có nghiệm

                                     \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Hệ hai phương trình đầu có nghiệm    \(x_1=-2,x_2=-3\). Hệ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi \(x_1=-2,x_2=-3\) thỏa mãn phương trình cuối tức là \(m=6\).

b) Nếu yêu cầu bài toán được thực hiện thì theo Viet có       \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)

Sử dụng hằng đẳng thức    \(\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1-x_2\right)^2=4x_1x_2\) ta được phương trình

 \(\left(-m\right)^2-1^2=8\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm3\).

Đảo lại, nếu \(m=3\)thì phương trình đã cho là \(x^2+3x+2=0\)có 2 nghiệm \(x_1=-1\),

\(x_2=-2\) hơn kém nhau 1 đơn vị.

Nếu \(m=-3\)thì phương trình đã cho là \(x^2-3x+2=0\)có 2 nghiệm \(x_1=2\), \(x_2=1\)

cũng hơn kém nhau 1 đơn vị.

c) Giải tương tự a) có \(m=0;m=1\)

​a) Theo Viet và giả thiết ta có  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=-6\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\). Giải hệ này ta được 

                                          \(x_1=-4,x_2=-2,m=8\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=-m\\x_1x_2=8\end{matrix}\right.\). Từ đó \(m=\pm6\)

c)    \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=\dfrac{3}{m}\\x_1x_2=\dfrac{2}{m}\end{matrix}\right.\). Từ đó \(m=1\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (trái dấu - do a và c trái dấu). Theo Viet

                                            \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(3-m\right)\\x_1x_2=-4-m^2\end{matrix}\right.\)

Do đó        \(\left|\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right|=6\Leftrightarrow\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=36\)

                                               \(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=36\)

                                               \(\Leftrightarrow4\left(3-m\right)^2-2\left(-4-m^2\right)-2\left|-4-m^2\right|=36\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(3-m\right)^2=9\Leftrightarrow m=0;m=6\)

Đáp số: \(m=0;m=6\)

​Theo định lí Viet đảo ta thấy \(x_1=2;x_2=m^2+1\) luôn là hai nghiệm của phương trình đã cho. Do đó yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện khi và chỉ khi

                     \(\left\{{}\begin{matrix}x_2\ne x_1\\x_2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1\ne2\\m^2+1>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\notin\left\{0;\pm1\right\}\)

Phương trình đã cho có  \(\Delta'=m^2-2m+10=\left(m-1\right)^2+9>0\). Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet thì \(x_1+x_2=2m\) nên điều kiện   \(2x_1+x_2=-4\) tương đương với 

                  \(x_1+\left(x_1+x_2\right)=-4\Leftrightarrow x_1+2m=-4\Leftrightarrow x_1=-2\left(m+2\right)\)

Bài toán trở thành: Tìm m để \(x=-2\left(m+2\right)\) là moo0tj nghiệm của phương trình đã cho, tức là       \(4\left(m+2\right)^2+2m\left(2m+4\right)+2m-10=0\)  hay

                        \(4m^2+13m+3=0\Leftrightarrow m=-3;m=-\dfrac{1}{4}\)

Điều kiện để phương trình \(x^2+x+m-2=0\) có hai nghiệm phân biệt là

                        \(\Delta>0\Leftrightarrow9-4m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{9}{4}\).

Khi đó, phương trình có hai nghiệm  \(x_1,x_2\). Sử dụng Viet ta biến đổi tương đương yêu cầu bài toán như sau:   \(x_1^2+2x_1x_2-x_2=1\)

         \(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_1+m-2\right)-\left(x_1+m-2\right)+2x_1x_2-x_2=1\)

        \(\Leftrightarrow0-\left(x_1+x_2\right)+2x_1x_2-m+1=0\)

         \(\Leftrightarrow1+2\left(m-2\right)-m+1=0\Leftrightarrow m=2\)

Phương trình đã cho có  

             \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m+7\right)=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\)

Do đó với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt  \(x_1,x_2\).

Theo Viet ta có        \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\)

                                     \(=4\left(m-1\right)^2-\left(2m+7\right)\)

                                     \(=4m^2-10m+7\)

                                    \(=\left(2m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}\)

   GTNN = \(\dfrac{19}{4}\) đạt được khi  \(m=\dfrac{5}{4}\)

a) ​Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) vì  

                                \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m+3=\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\)

b) Cần tìm m để  \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow m=1\)

1) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0,\forall m\)

2) \(x_1,x_2>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2>0\\x_1+x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m>0\\2\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>0\)

3)    \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=2m\\x_1+x_2=2\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=-2\)

a. \(\Delta=\left(5m-1\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)=\left(m-1\right)^2\). Phương trình luôn có 2 nghiệm

                                    \(x=2m,x=3m-2\)

b.  \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(2m\right)^2+\left(3m-1\right)^2=1\Leftrightarrow13m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\)

​a. Khi m = 4, ta có phương trình     \(x^2+4x+1=0\).

Phương trình có 2 nghiệm là  \(x=-2\pm\sqrt{3}\).

b. Điều kiện có nghiệm:   \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\le-2;m\ge2\).

Theo Viet      \(x_1+x_2=-m,x_1x_2=1\) nên 

  \(\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}=\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\right)^2-2\)

                     \(=\left(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2}{1}\right)^2-2=\left(m^2-2\right)^2-2\)

Yêu cầu bài toán trở thành  

                     \(\left(m^2-2\right)^2-2>7\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)^2>9\Leftrightarrow m^2-1>3\)

                                                        \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)>0\)

Đáp số:  \(m< -2\) hoặc   \(m>2\)