ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHÂN SỐ CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN.

PHÂN SỐ TỐI GIẢN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

- Số có dạng $\dfrac{a}{b}$, trong đó $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ gọi là phân số.

- Số nguyên $n$ được đồng nhất với phân số $\dfrac{n}{1}$.

⚡Tính chất cơ bản của phân số:

+ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} = \dfrac{a : n}{b : n}$ với $m, n \in \mathbb{Z} \, (m, n \neq 0)$ và $n \in \text{ƯC}(a, b)$.

+ Nếu $(a, b) = 1$ thì $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản.

+ Nếu $\dfrac{m}{n}$ là dạng tối giản của phân số $\dfrac{a}{b}$ thì tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a = mk, b = nk$.

⚡Phân số tối giản:

Phân số tối giản hay còn gọi là phân số không thể rút gọn được nữa là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $-1$. Giả sử ta có phân số $\dfrac{a}{b}$. Phân số $\dfrac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản khi và chỉ khi ƯCLN$(a, b) = 1$.

+ Nếu phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản thì phân số $\dfrac{b}{a}$ cũng là phân số tối giản.

+ Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.

⚡Tính chất:

+ $\begin{cases} a \, \vdots \, m \\ b \, \vdots \, m \end{cases} \Rightarrow a \pm b \, \vdots \, m$

+ $a \, \vdots \, m \Rightarrow a \cdot k \, \vdots \, m$

⚡Thuật toán Euclid tìm ƯCLN(a, b):

Ta tìm ƯCLN$(a, b)$ bằng cách dùng thuật toán Euclid như sau:

$a = bq_0 + r_1$ với $0 < r_1 < |b|$

$b = r_1q_1 + r_2$ với $0 < r_2 < r_1$

...

$r_{n-1} = r_nq_n$

Thuật toán phải kết thúc với một số dư bằng 0. Do đó ta có: $(a, b) = (b, r_1) = (r_1, r_2) = \dots = (r_{n-1}, r_n) = r_n$.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số

Phương pháp giải

Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $\dfrac{A(n)}{B(n)}$ có giá trị nguyên.

Cách làm: $\dfrac{A(n)}{B(n)} = \dfrac{1}{a} \left( b + \dfrac{d}{C(n)} \right)$ ($a, b, d \in \mathbb{Z}$) $\Rightarrow C(n) \in \text{Ư}(d)$.

- Nếu $a = 1$ ta tìm được $n$ và kết luận.

- Nếu $a \neq 1$ ta tìm được $n$ cần thử lại rồi kết luận.

Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: "Tìm số tự nhiên $n$ để phân số tối giản hoặc rút gọn được" ta làm như sau:

- Gọi $d$ là ước nguyên tố của tử và mẫu. Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử $n$ để từ đó tìm $d$.

- Đối với các bài toán: "Tìm số tự nhiên $n$ để phân số tối giản" ta tìm $n$ để tử số hoặc mẫu số không chia hết cho các ước nguyên tố.

- Đối với các bài toán: "Tìm số tự nhiên $n$ để phân số rút gọn được" ta tìm $n$ để tử số hoặc mẫu số chia hết cho các ước nguyên tố.

Bài 1. Cho $A = \dfrac{n-1}{n+4}$

a) Tìm $n$ nguyên để $A$ là một phân số.

b) Tìm $n$ nguyên để $A$ là một số nguyên.

Lời giải

Điều kiện: $n \in \mathbb{Z}$

a) Để $A$ là phân số thì $\begin{cases} n \in \mathbb{Z} \\ n+4 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} n \in \mathbb{Z} \\ n \neq -4 \end{cases}$.

b) Để phân số $A$ có giá trị là một số nguyên thì:

$(n-1) \, \vdots \, (n+4) \Rightarrow (n+4-5) \, \vdots \, (n+4) \Rightarrow [(n+4)-5] \, \vdots \, (n+4)$

Mà $(n+4) \, \vdots \, (n+4)$ nên $5 \, \vdots \, (n+4) \Rightarrow n+4 \in \text{Ư}(5)$.

$\text{Ư}(5) = \{\pm 1; \pm 5\}$. Ta có bảng sau:

Vậy $n \in \{-9; -5; -3; 1\}$.

Bài 2. Tìm số tự nhiên $n$ để phân số $A = \dfrac{n+10}{2n-8}$ có giá trị là một số nguyên.

Lời giải

Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$

Để phân số $A$ có giá trị là một số nguyên thì:

$(n+10) \, \vdots \, (2n-8) \Rightarrow (n+10) \, \vdots \, (n-4) \Rightarrow [(n-4)+14] \, \vdots \, (n-4) \Rightarrow 14 \, \vdots \, (n-4)$.

$\Rightarrow n-4 \in $ Ư$(14) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14\}$.

Mặt khác, $n$ là số tự nhiên nên $n-4 \geq -4 \Rightarrow n-4 \in \{-2; -1; 1; 2; 7; 14\}$. Ta có bảng sau:

Vậy $n \in \{2; 6; 18\}$.

Dạng 2: Chứng minh phân số với tham số $n$ là phân số tối giản.

Phương pháp giải

Chứng minh phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, ta cần chứng minh ƯCLN$(a, b) = \pm 1$, hoặc dùng thuật toán Euclid hoặc tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.

Bài 3. Cho $a$ là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số $\dfrac{a}{a+2}$ có là phân số tối giản không?

Lời giải

Giả sử ƯCLN$(a, a+2) = d$.

$\Rightarrow \begin{cases} a \, \vdots \, d \\ a+2 \, \vdots \, d \end{cases}$

$\Rightarrow (a+2) - a \, \vdots \, d$

$\Rightarrow 2 \, \vdots \, d$

Vì $a$ là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên $a$ là số lẻ.

Suy ra $d = 1$.

Vậy phân số $\dfrac{a}{a+2}$ là phân số tối giản.

Dạng 2: Tìm tham số $n$ để phân số tối giản.

Phương pháp giải

- Bước 1: Giả sử $d$ là ước chung của tử và mẫu $\Rightarrow$ Tử và mẫu cùng chia hết cho $d$.

- Bước 2: Vận dụng các tính chất quan hệ chia hết để tìm các giá trị của $d$.

- Bước 3: Xác định giá trị khác $-1$ và $1$ của $d \Rightarrow$ tử hoặc mẫu không chia hết cho các giá trị đó $\Rightarrow$ từ đó tìm các điều kiện của ẩn.

Hoặc biến đổi phân số thành tổng hoặc hiệu của số nguyên với phân số tối giản.

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên $n$ để phân số $\dfrac{3}{2n+3}$ là phân số tối giản.

Lời giải

Vì 3 là số nguyên tố nên $\dfrac{3}{2n+3}$ là phân số tối giản khi $2n+3$ không chia hết cho 3.

Do $3 \, \vdots \, 3$ nên $2n \not\vdots \, 3$ khi $n \not\vdots \, 3$ hay $n \neq 3k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên $n$ để $\dfrac{7}{n-1}$ ($n \neq 1$) là phân số chưa tối giản.

Lời giải

Để $\dfrac{7}{n-1}$ ($n \neq 1$) không là phân số tối giản ta phải có ƯCLN$(n-1, 7) \neq 1$.

Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ƯCLN$(n-1, 7) \neq 1$ thì $n-1 \, \vdots \, 7$.

Hay $n-1 = 7k$ ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$), do đó $n = 7k+1$ ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$).

Dạng 3: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước

Phương pháp giải

- Dùng phương pháp phản chứng.

- Dùng định nghĩa phân số tối giản.

Bài 5. Cho phân số $\dfrac{p}{q}$ ($q \in \mathbb{N}^*$) tối giản. Chứng minh rằng phân số $\dfrac{p+q}{q}$ tối giản.

Lời giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử $\dfrac{p+q}{q}$ không tối giản tức là tử $p+q$ và mẫu $q$ có một ước chung $d \neq 1$.

Suy ra $p+q \, \vdots \, d; \, q \, \vdots \, d \Rightarrow p \, \vdots \, d$.

Như vậy $p$ và $q$ có một ước chung $d \neq 1$.

Điều này trái với đề bài đã có $\dfrac{p}{q}$ tối giản.

Vậy $\dfrac{p+q}{q}$ là phân số tối giản.

Dạng 4: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Dùng định nghĩa hai phân số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc$.

Bài 6. Tìm phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$ ($b \neq 0$) mà giá trị của nó không đổi khi cộng thêm tử với $4$, mẫu với $10$.

Lời giải

Với $b \neq 0$, ta có:

Khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10 vào phân số $\dfrac{a}{b}$ ta được phân số $\dfrac{a+4}{b+10}$.

Lúc này ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a+4}{b+10}$.

Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có $a(b+10) = b(a+4)$.

Suy ra $10a = 4b$ nên $\dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.

Vậy phân số cần tìm là $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{5}$.