Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho (phần 1)

  \(\Delta=m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\le-2;m\ge2\)

       \(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2+2\left(x_1+x_2\right)+2-2x_1x_2\)

                                               \(=m^2+2m+2-2=m^2+2m\)

        \(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2\Leftrightarrow m^2+2m-2=0\Leftrightarrow m=-1\pm\sqrt{3}\)

        Đáp số:  \(m=-1+\sqrt{3}\)

a)  \(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2+6m\right)=9>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b)  \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=4x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)+1\)

                                        \(=4\left(m^2+6m\right)-4\left(m+3\right)+1\)

                                        \(=4m^2+20m-11\)

      \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=13\Leftrightarrow4m^2+20m-24=0\Leftrightarrow m=1;m=-6\)

Đáp số:  \(m=1;m=-6\)

​a) m = 0:     \(x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=1;x=-2\)

b) \(\Delta=1-4\left(m-2\right)=9-4m\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

                                                 \(m< \dfrac{9}{4}\).

Theo Viet    \(x^2_1+x^2_2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=1-5\left(m-2\right)=11-5m\)

             \(x^2_1+x^2_2-3x_1x_2< 1\Leftrightarrow11-5m< 1\Leftrightarrow5m>10\Leftrightarrow m>2\)

Đáp số:              \(2< m< \dfrac{9}{4}\)  

​a) m = -1, phương trình là     \(x^2+4x+3=0\Leftrightarrow x=-1;x=-3\)

b)  \(\Delta'=4-\left(-2m+1\right)=3+2m\). Điều kiện có nghiệm:   \(m\ge-\dfrac{3}{2}\)

  The Viet, m phải thỏa mãn hệ 

                 \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=2\\x_1+x_2=-4\\x_1x_2=-2m+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=-3\\\left(-1\right)\left(-3\right)=-2m+1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=-1\)

​Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi     

                   \(\Delta'=1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)     và   \(x_1x_2\ne0\Leftrightarrow m\ne0\).

Theo Viet:     \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4-2m}{m}=\dfrac{4}{m}-2\). Do đó

      \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow\dfrac{4}{m}-2=-\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow\dfrac{4}{m}=-\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow m=-3\) (thỏa mãn điều kiện)

Đáp số: \(m=-3\)

​a) Khi m = 2, ta có phương trình   \(x^2-4x+4=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2\)

b) \(\Delta'=4-\left(m+2\right)=2-m\) ,  \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\).

          \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)   

                                                 \(\Leftrightarrow\left(4\right)^2-2\left(m+2\right)=3.4\Leftrightarrow m=0\)

​1) \(x=3\)  là một nghiệm của   \(x^2-2x+m-3=0\)  khi 

                           \(3^2-2.3+m-3=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó nghiệm kia của phương trình  là  \(x=-1\).

2) Phương trình  \(x^2-2x+m-3=0\)  có      \(\Delta'=1-\left(m-3\right)=4-m\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  \(m< 4\). Khi đó

                 \(x^3_1+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=8-6\left(m-3\right)\)

                 \(x^3_1+x_2^3=8\Leftrightarrow6\left(m-3\right)=0\Leftrightarrow m=3\)  (thỏa mãn điều kiện \(m< 4\) ) 

​1) Khi m = 1:      \(x^2-4x+2=0\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{2}\)

2)     \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)  có     \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Yêu cầu bài toán là 2 nghiệm của phương trình phải không âm và   \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2\sqrt{x_1x_2}=2\)

                   \(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{2m}=2\Leftrightarrow m+\sqrt{2m}=0\Leftrightarrow m=0\)

Thử lại, khi m = 0, phương trình trở thành    \(x^2-2x=0\) có 2 nghiệm không âm là \(x=0,x=2\) .    Đáp số    \(m=0\)

​a) Phương trình hoành độ giao điểm   

           \(x^2=\left(5m-1\right)x-6m^2+2m\Leftrightarrow x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\)

                               \(\Delta=\left(m-1\right)^2\ge0,\forall m\)

Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt khi \(m\ne0\)

b) Theo Viet         \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\Leftrightarrow\left(5m-1\right)^2-2\left(6m^2-2m\right)=1\)

                     \(\Leftrightarrow13m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\)

Đáp số:   \(m=\dfrac{6}{13}\)

b) Phương trình có   \(\Delta=m^2+16>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo Viet ta có

     \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)=x_1x_2\left(x_2+x_1\right)+\left(x_1+x_2\right)=-4m+m=-3m\)

Do đó \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\Leftrightarrow-3m>6\Leftrightarrow m< -2\)

1)Giải phương trình (1) khi m =1.

Thay m = 1 vào (1) phương trình trở thành      x²-2x-1=0

Phương trình có nghiệm \(x=1\pm\sqrt{2}\) 

2)Xác định m để (1) có hai nghiệm x₁ ;x₂  thỏa mãn điều kiện ​ 

                         \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=10\)

+Chỉ ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x₁;x₂ là \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

+Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có  ​ 

                   \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m^2-m+1\)

Từ đó tính được \(x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)=2m^2+6m+2\).

+ Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi 

                       \(2m^2+6m-8=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

​Đối chiếu điều kiện \(m\ge-1\) ta có đáp số    \(m=1\).

​1) Khi \(m=0\) ta có phương trình \(x^2-2x=0\). Tập nghiệm là \(S=\left\{0;2\right\}\).

2) Ta có \(\Delta'=\left(m-1\right)^2\), phương trình có hai nghiệm phân biệt  \(x=m,x=2-m\)khi  \(m\ne1\) .  Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi

               \(m^2-\left(2-m\right)^2=\pm10\)\(\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{7}{2}\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne1\)).

​b) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=2m-3\) . Phương trình có nghiệm khi  \(m\ge\dfrac{3}{2}\) .

Chú ý rằng \(x_1\)là một nghiệm phương trình nên 

                \(x_1^2-2\left(m+1\right)x_1+m^2+4=0\Rightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Suy ra    \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\)

                                                \(=2\left(m+1\right).2\left(m+1\right)-m^2-4\)

                                                \(=3m^2+8m\)

Yêu cầu bài toán trở thành     \(3m^2+8m\le3m^2+16\Leftrightarrow m\le2\)

Đáp số:       \(\dfrac{3}{2}\le m\le2\).

Dễ thấy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Điều kiện 

                                       \(x_1^2=4x_2^2\Leftrightarrow x_1=\pm2x_2\)

Sử dụng Viet ta thấy yêu cầu bài toán sẽ được thực hiện trong hai trường hợp sau:

a)   \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2x_2\\x_1+x_2=3\\x_1x_2=-2m^2\end{matrix}\right.\)                     và                     b)  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2x_2\\x_1+x_2=3\\x_1x_2=-2m^2\end{matrix}\right.\)

   \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=1,x_1=2\\1.2=-2m^2\end{matrix}\right.\)                                           \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-3;x_1=6\\-18=-2m^2\end{matrix}\right.\)

Đáp số      \(m=\pm3\)

2. Có  \(\Delta=1-4\left(m-5\right)=21-4m\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi    \(m< \dfrac{21}{4}\).

Theo Viet ta có 

    \(\dfrac{6-m-x_1}{x_2}+\dfrac{6-m-x_2}{x_1}=\left(6-m\right)\left(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_1}\right)-\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)\)

          \(=\left(6-m\right)\left(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\right)-\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\)

           \(=\left(6-m\right)\dfrac{-1}{m-5}-\dfrac{\left(-1\right)^2-2\left(m-5\right)}{m-5}=\dfrac{3m-17}{m-5}\)

Yêu cầu bài toán là    \(\dfrac{3m-17}{m-5}=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow m=-1\) (thỏa mãn điều kiện \(m< \dfrac{21}{4}\) )

​\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.  Theo Viet, yêu cầu bài toán tương đương với

                     \(\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\Leftrightarrow m^2-4\left(m-2\right)=4\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=0\Leftrightarrow m=2\)

a)   \(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m^2+m-1\right)=\left(m+1\right)^2+4>0,\forall m\)

b)  \(B=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=\left(3m+1\right)^2-5\left(2m^2+m-1\right)\)

                                                 \(=-m^2+m+6=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+6-\dfrac{1}{4}\)

\(B\) đạt GTLN khi  \(m=\dfrac{1}{2}\)