Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiệ đã cho (phần 5)

a/ \(x=\dfrac{1}{2}\) là một nghiệm của (*) khi và chỉ khi 

                         \(8.\dfrac{1}{4}-8.\dfrac{1}{2}+m^2+1=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

b/ \(\Delta'=16-8\left(m^2+1\right)=8\left(1-m^2\right)\ge0\Leftrightarrow m^2\le1\)

        \(x^4_1-x^4_2=x^3_1-x^3_2\Leftrightarrow x^4_1-x^3_1=x^4_2-x^3_2\)

 \(\Leftrightarrow-x^3_1x_2=-x^3_2x_1\)  (theo Viet  \(x_1+x_2=1\))

 \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x^2_2-x^2_1\right)=0\)

                                                      \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+1}{8}\left(x_2-x_1\right).1=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=x_2\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=0\)

Đáp số: \(m=\pm1\)

​a) Vì \(ac=-1\) nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Vì \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình nên \(x^2_1=mx_1+1;x^2_2=mx_2+1\), do đó

   \(P=\dfrac{mx_1+x_1}{x_1}-\dfrac{mx_2+x_2}{x_2}=0\).

 \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x^2_2-x^2_1\right)=0\)

                                                      \(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+1}{8}\left(x_2-x_1\right).1=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=x_2\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=0\)

Đáp số: \(m=\pm1\)

​a) Phương trình có \(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0,\forall m\)nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Vì \(1^2-m.1+m-2=-1\ne0,\forall m\) nên số 1 không bao giờ là nghiệm của phương trình, do đó hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình luôn thỏa mãn \(x_1\ne1,x_2\ne1\)

Hơn nữa  \(x_1^2-mx_1+m-2=0\Rightarrow x_1^2-2=m\left(x_1-1\right)\Rightarrow\dfrac{x_1^2-2}{x_1-1}=m\)

Do đó yêu cầu bài toán trở thành \(m.m=4\Leftrightarrow m=\pm2\).

a) \(\Delta=4m^2-4\left(m-2\right)=\left(2m-1\right)^2+4>0,\forall m\)

b) Điều kiện có thể viết lại thành

   \(4+x_1+x_2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\)

\(\Leftrightarrow4+2m-2\left(m-2\right)=\left(2m\right)^2-2\left(m-2\right)+2\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{1}{2}\)

1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) khi có 0 = m.1-3, suy ra  m = 3
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là \(x^2-mx+3=0\) . Ta có Δ = m2 -12 nê​n (d) sẽ cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi  \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-12>0\)​ (1).    Điều kiện   \(|x_1-x_2|=2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\) \(\Leftrightarrow\) \(m^2-12=4\Leftrightarrow m=\pm4\).

​1) (d) đi qua A(0;1) khi tọa độ của A thỏa mãn phương trình của (d), tức là

               \(1=0+m-1\Leftrightarrow m=2.\)

2) Phương trình xác định hoành độ giao điểm:

                    \(x^2=x+m-1\Leftrightarrow x^2-x-m+1=0\)

Điều kiện có 2 giao điểm phân biệt là  \(\Delta=4m-3>0\)\(\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\).

 Điều kiện    \(4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

                \(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}-x_1x_2+3=0\Leftrightarrow\dfrac{4.1}{-m+1}+\left(m-1\right)+3=0\)

                \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+3\left(m-1\right)-4=0\Leftrightarrow m-1=1;m-1=-4\)

                 \(\Leftrightarrow m=2;m=-3\)

Chỉ có m = 2 thỏa mãn điều kiện   \(m>\dfrac{3}{4}\). Đáp số: \(m=2\).

​1) (d) đi qua A(1;3) khi và chỉ khi   \(3=m.1+1\Leftrightarrow m=2\)

2) Phương trình hoành độ giao điểm là  \(2x^2=mx+1\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\)luôn có 2 nghiệm phân biệt (trái dấu). Như vậy \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình trên và

             \(T=x_1x_2+y_1y_2=x_1x_2+\left(2x_1^2\right)\left(2x_2^2\right)=-\dfrac{1}{2}+4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

​b)   Theo Viet   \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=\dfrac{x_1+x_2-2}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=\dfrac{x_1+x_2-2}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)

                                                          \(=\dfrac{-5-2}{\left(m-2\right)+5+1}=-\dfrac{7}{m+4}\)

Do đó  \(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2\Leftrightarrow-\dfrac{7}{m+4}=2\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{2}\). Khi đó phương trình có  \(\Delta=25-4\left(-\dfrac{15}{2}-2\right)>0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đài toán.

Đáp số     \(m=-\dfrac{15}{2}\)

​a) (P) qua B(2;-2) khi và chỉ khi    \(-2=a.\left(2\right)^2\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm       \(-\dfrac{1}{2}x^2=mx+m-3\Leftrightarrow x^2+2mx+2m-6=0\)

                         \(\Delta'=\left(m-1\right)^2+5>0,\forall m\)

Đường thẳng (d) luôn cắt parabol tại 2 điểm phân biệt.

c) Theo Viet     \(x_C^2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-4\left(2m-6\right)\)

Do đó        \(x_C^2+x_D^2-2x_Cx_D=20\Leftrightarrow4m^2-4\left(2m-6\right)=20\)

                                                               \(\Leftrightarrow m^2-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\)

b) \(\Delta=\left(m-3\right)^2+8m+4=\left(m+1\right)^2+12>0,\forall m\)

c)  \(A=4x_1^2-x_1^2x_2^2+4x_2^2+x_1x_2=4\left(x_1+x_2\right)^2-\left(x_1x_2\right)^2-7x_1x_2\)

\(=4\left(m-3\right)^2-\left(-2m-1\right)^2-7\left(-2m-1\right)=-28m+35-7\left(-2m-1\right)\)

luôn chia hết cho 7 với mọi m nguyên.

1)   \(\Delta'=2m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

2) Theo Viet     \(P=2\left(m+1\right)+m^2+3=\left(m+1\right)^2+4\)

               P có GTNN = 4 khi  \(m=-1\)