Phương pháp giải bài toán liên quan đến số hữu tỉ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Số hữu tỉ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}, \,b \neq 0$.

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.

2. So sánh hai số hữu tỉ

Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.

+ Số hữu tỉ lớn hơn $0$ gọi là số hữu tỉ dương;

+ Số hữu tỉ nhỏ hơn $0$ gọi là số hữu tỉ âm;

+ Số hữu tỉ $0$, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Số hữu tỉ $\dfrac{a}{b}$ là số hữu tỉ dương nếu $a$ và $b$ cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu $a,\,b$ khác dấu, bằng $0$ nếu $a=0$.

3. Các phép tính với số hữu tỉ

⚡ Cộng, trừ số hữu tỉ

Để cộng, trừ các số hữu tỉ ta thực hiện như cộng, trừ các phân số.

Các tính chất cơ bản:

Trong tập hợp $\mathbb{Q}$ ta cũng có quy tắc dấu ngoặc tương tự như tập hợp $\mathbb{Z}.$

Đối với một tổng các số hữu tỉ, ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý để tính toán cho thuận lợi.

⚡ Nhân, chia các số hữu tỉ

Để nhân, chia các số hữu tỉ ta thực hiện như nhân, chia các phân số.

Các tính chất cơ bản:

Nếu số hữu tỉ được cho dưới dạng hỗn số, số thập phân thì ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi tính hoặc tính trực tiếp.

4. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc $n$ của số hữu tỉ $x$ kí hiệu là ${{x}^{n}}$ là tích của $n$ thừa số $x$ với $n\in \mathbb{N},\,\,n>1.$

Tổng quát: ${{x}^{n}}=x\cdot x\cdot x\dots x$ ($n$ thừa số $x$) với $x\in \mathbb{Q},\,\,n\in \mathbb{N},\,\,n>1.$

Quy ước: ${{x}^{0}}=1\,\,\left( x\ne 0 \right),\,\,{{x}^{1}}=x.$

Chú ý:

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: $( a\,\cdot \,b )^n={{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}$

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: $\Big( \dfrac{a}{b}\Big)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\,\,\left( b\ne 0 \right).$

Tính chất:

⚡ ${{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}.$

⚡ ${{a}^{m}}:\,{{a}^{n}}={{a}^{m-n}}$ với $x\ne 0,\,\,\,m\ge n.$

⚡ ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\cdot n}}$.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Xét tính chất "Dương - Âm - Bằng 0" của một số hữu tỉ để tìm tham số $a$.

Phương pháp giải:

1. Xác định dấu của mẫu số $B$.

2. Dựa vào yêu cầu đề bài để suy ra dấu của tử số $A$:

Nếu mẫu số $B > 0$:

Để $x > 0 \Rightarrow A > 0$.

Để $x < 0 \Rightarrow A < 0$.

Nếu mẫu số $B < 0$:

Để $x > 0 \Rightarrow A < 0$.

Để $x < 0 \Rightarrow A > 0$.

Để $x = 0 \Rightarrow A = 0$ (không phụ thuộc vào dấu của $B$, miễn là $B \neq 0$).

3. Giải đẳng thức hoặc bất đẳng thức chứa $a$ để tìm kết quả.

Ví dụ 1. Cho số hữu tỉ $y = \dfrac{5a - 6}{-8}$. Với giá trị nào của $a$ thì $y$ là số hữu tỉ dương?

Lời giải

Để $y$ là số hữu tỉ dương thì $y = \dfrac{5a - 6}{-8} > 0$. Vì mẫu số là $-8 < 0$ nên tử số và mẫu số phải cùng dấu, suy ra tử số phải âm:

$5a - 6 < 0$

$5a < 6$

$a < \dfrac{6}{5}$.

Vậy với $a < \dfrac{6}{5}$ thì $y$ là số hữu tỉ dương.

Dạng 2. So sánh hai số hữu tỉ.

Phương pháp 1: Quy đồng mẫu số hoặc quy đồng tử số

Đưa các số hữu tỉ về cùng một mẫu số dương rồi so sánh tử số (tử lớn hơn thì phân số lớn hơn).

Hoặc đưa về cùng tử số dương rồi so sánh mẫu số (mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn).

Ví dụ 2. So sánh hai số hữu tỉ sau với $n > 0$: $A = \dfrac{n}{2n + 1}$ và $B = \dfrac{3n + 1}{6n + 3}$.

Lời giải

Ta biến đổi để đưa hai phân số về cùng một mẫu số chung là $6n + 3$:

$A = \dfrac{n}{2n + 1} = \dfrac{n \cdot 3}{(2n + 1) \cdot 3} = \dfrac{3n}{6n + 3}$

Vì $3n < 3n + 1$ với mọi $n>0$, suy ra:

$\dfrac{3n}{6n + 3} < \dfrac{3n + 1}{6n + 3}$

Hay $A < B$.

Phương pháp 2: So sánh qua phần bù/ phần hơn

⚡ Với phân số nhỏ hơn $1$: Xét hiệu $1 - \dfrac{a}{b}$.

Phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

⚡ Với phân số lớn hơn $1$: Xét hiệu $\dfrac{a}{b} - 1$.

Phân số nào có phần hơn lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ 3. So sánh hai số hữu tỉ: $A = \dfrac{149}{157}$ và $B = \dfrac{449}{457}$.

Lời giải

Cả hai phân số đều nhỏ hơn $1$. Ta xét phần bù của mỗi phân số so với $1$:

Phần bù của $A$: $1 - \dfrac{149}{157} = \dfrac{8}{157}$

Phần bù của $B$: $1 - \dfrac{449}{457} = \dfrac{8}{457}$.

Vì $157 < 457$ nên khi so sánh hai phân số cùng tử số, ta có: $\dfrac{8}{157} > \dfrac{8}{457}$

Do phần bù của $A$ lớn hơn phần bù của $B$ nên: $\dfrac{149}{157} < \dfrac{449}{457}$ hay $A < B$.

Phương pháp 3: So sánh qua số trung gian

Sử dụng một số trung gian $C$ để so sánh $A$ và $B$ (nếu $A < C$ và $C < B$ thì $A < B$).

Ví dụ 4. So sánh hai số hữu tỉ với $n < 0$: $A = \dfrac{n}{n + 3}$ và $B = \dfrac{n - 1}{n + 4}$.

Lời giải:

Ta chọn số trung gian là $C = \dfrac{n - 1}{n + 3}$.

So sánh $A$ và $C$ (chung mẫu $n+3$): Vì $n > n - 1$ nên ta có $\dfrac{n}{n + 3} > \dfrac{n - 1}{n + 3}$ hay $A > C$.

So sánh $C$ và $B$ (chung tử $n-1$): Vì $n < 0$ nên các tử số $n-1 < 0$. Mẫu số ta có $n+3 < n+4$.

Với tử số âm, phân số nào có mẫu lớn hơn thì sẽ lớn hơn: $\dfrac{n - 1}{n + 3} > \dfrac{n - 1}{n + 4}$ hay $C > B$

Theo tính chất bắc cầu ta suy ra: $A > B$.

Phương pháp 4: Biến đổi cấu trúc phân số để so sánh tính chất bắc cầu

Sử dụng tính chất: Với $a, b, c > 0$:

+ Nếu $\dfrac{a}{b} < 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+c}$.

+ Nếu $\dfrac{a}{b} > 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{a+c}{b+c}$.

Ví dụ 5. So sánh: $A = \dfrac{2\,024}{2\,025} + \dfrac{2\,025}{2\,026}$ và $B = \dfrac{2\,024 + 2\,025}{2\,025 + 2\,026}$.

Ta tách biểu thức $B$ thành tổng hai phân số có cùng mẫu số là $(2\,025 + 2\,026) = 4\,051$:

$B = \dfrac{2\,024 + 2\,025}{4\,051} = \dfrac{2\,024}{4\,051} + \dfrac{2\,025}{4\,051}$

So sánh từng số hạng tương ứng của $A$ và $B$:

Vì $2\,025 < 4\,051$ nên $\dfrac{2\,024}{2\,025} > \dfrac{2\,024}{4\,051}$

Vì $2\,026 < 4\,051$ nên $\dfrac{2\,025}{2\,026} > \dfrac{2\,025}{4\,051}$

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được:

$\dfrac{2\,024}{2\,025} + \dfrac{2\,025}{2\,026} > \dfrac{2\,024}{4\,051} + \dfrac{2\,025}{4\,051}$.

Hay $A > B$.

Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để số hữu tỉ là một số nguyên

Phương pháp giải:

1. Tách phần nguyên: Biến đổi tử số $A(a)$ theo mẫu số $B(a)$ để chia tử cho mẫu, đưa phân thức về dạng:$$x = \text{Phần nguyên} + \frac{\text{Hằng số } k}{B(a)}$$

2. Biện luận ước số: Để $x$ là một số nguyên thì phân số $\dfrac{k}{B(a)}$ phải là số nguyên.

$\Rightarrow B(a) \in $Ư$(k)$(với Ư$(k)$ là tập hợp các ước nguyên của hằng số $k$).

3. Lập bảng giá trị: Cho biểu thức mẫu số bằng từng ước của $k$ để giải tìm $a$.

4. Thử lại và kết luận: Đối chiếu điều kiện xác định của đề bài để chọn giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 6. Cho số hữu tỉ $x = \dfrac{a - 2}{a}$ với $a \in \mathbb{Z}, a \neq 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để $x$ là số nguyên?

Lời giải

Ta biến đổi bằng cách tách tử số theo mẫu số: $x = \dfrac{a - 2}{a} = \dfrac{a}{a} - \dfrac{2}{a} = 1 - \dfrac{2}{a}$

Để $x$ là một số nguyên thì hiệu $1 - \dfrac{2}{a}$ phải là số nguyên, tức là $\dfrac{2}{a}$ phải là số nguyên.

$\Rightarrow a \in$ Ư$(2)$

Tập các ước nguyên của $2$ là: Ư$(2) = \{-2; -1; 1; 2\}$.

Đối chiếu với điều kiện ban đầu $a \neq 0$, cả $4$ giá trị trên đều thỏa mãn.

Vậy có $4$ giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $a \in \{-2; -1; 1; 2\}$.