Sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số liên quan đến định lí Viète

a) Vì đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;-5)$ nên ta có:

$2m+3=-5 $

$2m=-8$

$m=-4$.

Vậy với $m=-4$ thì đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại tọa độ $(0;-5)$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là:

$x^2=2(m-1)x+2m+3$

$x^2-2(m-1)x-2m-3=0$ (*).

Ta có: $\Delta '=(m-1)^2+2m+3=m^2-2m+1+2m+3=m^2+4$.

Vì $m^2 \ge 0$ với mọi $m$ nên $\Delta '= m^2+4\ge 4>0$ với mọi $m$.

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

Suy ra đường thẳng $d$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=2(m-1) \\ & x_1x_2=-2m-3 \\ \end{aligned} \right.$

hay $\left\{ \begin{aligned} & x_A+x_B=2(m-1) \\ & x_Ax_B=-2m-3 \\ \end{aligned} \right.$

Mà $x_{A}^{2}+x_{B}^{2}=10$ nên

${{(x_A+x_B)}^{2}}-2x_Ax_B=10 $

$4{{(m-1)}^{2}}-2(-2m-3)=10 $

$4{{m}^{2}}-8m+4+4m+6=10$

$4{{m}^{2}}-4m=0$

$4m(m-1)=0$

$m=0$; $m=1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m\in \left\{ 0;1 \right\}$.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là :

$x^2=2x+m^2$

$x^2-2x-m^2=0$ (*)

Ta có $\Delta '=(-1)^2-(-m)^2=m^2+1>0$ với mọi $m$

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Vì $x_1; \, x_2$ là hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ hay $x_1; \, x_2$ là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Viète ta có: $x_1+x_2=2; \, x_1x_2=-m^2$.

Theo giả thiết: $ (x_1+1)(x_2+1)=-3 $

$ x_1x_2+x_1+x_2+1+3=0$

$ -m^2+2+1+3=0 $

$m^2=6 $

$m=\pm \sqrt{6}$.

Vậy $m=\pm \sqrt{6}$ là các giá trị cần tìm.

a) Vẽ parabol $(P)$ là đồ thị của hàm số $y=x^2$

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A( -2;4 ), \, B( -1;1 ), \, O( 0;0 ), \, C( 1;1 ), \, D( 2;4 )$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y=x^2$.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^2=-x-m+1$

$x^2+x+m-1=0$ (1) 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$

$1^2-4(m-1)>0$

$m<\dfrac{5}{4}$

Khi đó áp dụng hệ thức Viète: $x_1+x_2=-1; \, x_1x_2=m-1$.

Khi đó ta có: $\left| x_1-x_2 \right|=2 $

$( x_1-x_2 )^2=4$

$( x_1+x_2 )^2-4x_1x_2=4$

$1-4( m-1)=4 $

$m=\dfrac{1}{4}$ (tm)

Vậy $m=\dfrac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

a) Vẽ Parabol $(P)$ 

Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

Vẽ các điểm $A( -2;8 )$, $B( -1;2 )$, $O( 0;0 )$, $C( 1;2 )$, $D( 2;8 )$ thuộc đồ thị hàm số $y = 2x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y = 2x^2$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$2x^2=-2x+m$

$2x^2+2x-m=0$ (1)

Ta có $\Delta' =1^2-2(-m)=1+2m$.

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi

$\Delta' >0$

$1+2m>0$

$m>\dfrac{-1}{2} $

Với $m>\dfrac{-1}{2}$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; \, x_2$.

Theo hệ thức Viète ta có: $x_1+x_2=-1; \, x_1x_2=\dfrac{-m}{2}$

Theo đề bài ta có: $x_1+x_2-2x_1x_2=1 $

$-1-2\dfrac{-m}{2}=1 $

$-1+m=1 $

$m=2$.

Vậy $m=2$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; \, x_2$ thỏa mãn yêu cầu.

a) Vẽ đồ thị hàm số $y=x^2$ $(P)$

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A( -2;4 ), \, B( -1;1 ), \, O( 0;0 ), \, C( 1;1 ), \, D( 2;4 )$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y=x^2$.

b) Khi $m=2$ phương trình đường thẳng có dạng $(d): \, y=2x+3$.

Hoành độ giao điểm của $(P): \, y=x^2$ và $(d): \, y=2x+3$ là nghiệm của phương trình:

$x^2=2x+3$

$x^2-2x-3=0$

Vì $a-b+c=1-(-2)+(-3)=0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1=-1$; $x_2=-\dfrac{c}{a}=3$.

Với $x_1=-1$ thì $y_1=(-1)^2=1$.

Với $x_2=3$ thì $y_2=3^2=9$.

Vậy ta có hai giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $( -1;1 )$ và $( 3;9 )$.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P): \, y=x^2$ và $(d): \, y=mx+3$:

$x^2=mx+3 $

$x^2-mx-3=0 $ (1).

Để $(d)$ và $(P)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; \, x_2$ thì phương trình (1) phải luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$ thì $\Delta >0$

$(-m)^2-4.1.( -3)>0 $

$m^2+12>0$ (luôn đúng với mọi $m$)

Vậy với mọi $m$ thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=m \\ & x_1.x_2=-3 \\ \end{aligned} \right.$.

Thay $x=0$ vào (1), ta có $0^2-m.0-3=-3 \ne 0$ với mọi $m$ nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác $0$ với mọi $m$.

Theo bài ra ta có: $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{3}{2} $

$2x_2+2x_1=3x_1x_2$

$2( x_1+x_2 )=3x_1x_2$.

Thay hệ thức Viète, ta được: $2m=3.( -3 ) $

$2m=-9 $

$m=\dfrac{-9}{2}$.

Vậy $m=-\dfrac{9}{2}$ là giá trị cần tìm.

a) Vẽ đồ thị $(P)$

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A( -2;4 ), \, B( -1;1 ), \, O( 0;0 ), \, C( 1;1 ), \, D( 2;4 )$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y=x^2$.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x^2=2x-3m$

$x^2-2x+3m=0$ (*)

Để đường thẳng $(d)$: $y=2x-3m$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; \, x_2$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm $x_1; \, x_2$

$\Delta '=1-3m>0 $

$m<\dfrac{1}{3} $

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=2 \\ &x_1x_2=3m \\ \end{aligned} \right.$

Vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (*) nên

$x_{2}^{2}-2x_2+3m=0$

$3m=2x_2-x_{2}^{2} $

Suy ra $x_1x_{2}^{2}-x_2( 2x_2-x_{2}^{2}+2x_1)=12$

$x_1x_{2}^{2}+x_{2}^{3}-2x_2( x_1+x_2)=12$

$x_{2}^{2}( x_1+x_2)-2x_2( x_1+x_2)=12$

$(x_1+x_2)( x_{2}^{2}-2x_2)=12$

$2x_{2}^{2}-4x_2=12$

$x_{2}^{2}-2x_2=6 $

$-3m-6=0 $

$m=-2$ (tm)

Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.

a) Vẽ đồ thị $(P)$.

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A( -4;8 ), \, B( -2;2 ), \, O( 0;0 ), \, C( 2;2 ), \, D( 4;8 )$ thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac12x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y=\dfrac12x^2$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac12x^2=x+\dfrac12m^2+m+1$

$x^2-2x-m^2-2m-2=0$ (*) 

Để đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

$\Delta '>0$

$m^2+2m+3>0$

$(m+1)^2+2>0$

Do $(m+1)^2 \ge 0$ với mọi $m$ nên $(m+1)^2+2>0$ với mọi $m$.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

Suy ra đường thẳng $d$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; \, x_2$.

Khi đó áp dụng định lí Viète ta có: $x_1+x_2=2$; $x_1x_2=-m^2-2m-2$

Theo bài ra ta có: $x_1^3+x_2^3=68$

$(x_1+x_2)^3-3x_1x_2( x_1+x_2)=68$

$2^3-3( -m^2-2m-2 ).2=68$

$6m^2+12m-48=0$

$m^2+6m-8=0$ (**)

Vậy phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt $m_1=2$; $m_2=-4.$

a) Vẽ đồ thị $(P)$.

Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

Vẽ các điểm $A( -2;8 )$, $B( -1;2 )$, $O( 0;0 )$, $C( 1;2 )$, $D( 2;8 )$ thuộc đồ thị hàm số $y = 2x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y = 2x^2$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$ 2x^2=2mx+1$

$2x^2-2mx-1=0$ (1)

$\Delta '= (-m)^2-2.(-1)=m^2+2>0$ với mọi giá trị của $m$

Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Suy ra $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=m \,\,\,(2) \\ & x_1x_2=-\dfrac{1}{2} \,\,\,(3) \\ \end{aligned} \right.$

Ta có $x_1<x_2$ mà $x_1x_2=\dfrac{-1}{2}<0$ suy ra $x_1<0<x_2$.

Khi đó $\left| x_2 \right|-\left| x_1 \right|=2 \, 025$

$x_2-(-x_1)=2\,025$

$x_2+x_1=2\,025$

$m=2\,025$.