1. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT TAM GIÁC

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Ví dụ 1. Trong hình dưới đây $xy$ là đường trung trực ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$.

Chú ý:

⚡ Đường trung trực của tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

⚡ Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

⚡ Tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ cũng là đường trung trực.

2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. 

Ví dụ 2. Trong tam giác $ABC$ các đường trung trực đồng quy tại $O$ và $OA=OB=OC$.

Ví dụ 3. Cho góc vuông $xOy$. Trên các tia $Ox$, $Oy$ lần lượt lấy hai điểm $A$, $B$ (không trùng với $O$). Đường trung trực của các đoạn thẳng $OA$ và $OB$ cắt nhau ở $H$. So sánh $HA$ và $HB$, chứng minh $B$, $H$, $A$ thẳng hàng.

Lời giải

Hai đường trung trực của tam giác $AOB$ giao nhau tại $H$, nên đường trung trực thứ ba ứng với cạnh $BA$ cũng đi qua $H$.

Theo định lí, ta có $HA=HB=HO$. (1)

Từ (1) suy ra $ \Delta AHO$ và $\Delta BHO$ cân tại $H$

Khi đó $\left\{\begin{aligned}&\widehat{AHO}=180^{\circ}-2\widehat{AOH}\\ &\widehat{BHO}=180^{\circ}-2\widehat{BOH}\\ \end{aligned}\right.$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $ \widehat{AHB}=\widehat{AHO}+\widehat{BHO} = 180^{\circ}-2\widehat{AOH}+180^{\circ}-2\widehat{BOH}$

$=360^{\circ}-2\widehat{AOH}+\widehat{BOH}$

$ = 360^{\circ}-2\widehat{AOB} = 360^{\circ} - 2.90^{\circ}=180^{\circ}$.

Vậy $A$, $H$, $B$ thẳng hàng.

Nhận xét: Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kỳ và xác định giao điểm của hai đường đó.