SO SÁNH PHÂN SỐ

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Số có dạng $\dfrac{a}{b}$, trong đó $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ gọi là phân số.

Số nguyên $n$ được đồng nhất với phân số $\dfrac{n}{1}$.

⚡Tính chất cơ bản của phân số:

+ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot m}{b \cdot m} = \dfrac{a : n}{b : n}$ với $m, n \in \mathbb{Z} \, (m, n \neq 0)$ và $n \in$ ƯC$(a, b)$.

+ Nếu $(a, b) = 1$ thì $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản.

+ Nếu $\dfrac{m}{n}$ là dạng tối giản của phân số $\dfrac{a}{b}$ thì tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a = mk, b = nk$.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: So sánh hai phân số cùng mẫu

Phương pháp giải

Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Bài 1. Điền số thích hợp vào chỗ chấm: $\dfrac{-9}{11} < \dfrac{\dots}{11} < \dfrac{\dots}{11} < \dfrac{\dots}{11} < \dfrac{\dots}{11} < \dfrac{-4}{11}$.

Lời giải

Do các phân số đều có cùng mẫu (dương) nên ta sẽ điền tử số là dãy các số nguyên tăng dần.

Vậy ta điền được kết quả là: $\dfrac{-9}{11} < \dfrac{-8}{11} < \dfrac{-7}{11} < \dfrac{-6}{11} < \dfrac{-5}{11} < \dfrac{-4}{11}$.

Bài 2. Tìm số $x$ nguyên thỏa mãn:

a) $\dfrac{-11}{15} < \dfrac{x}{15} < \dfrac{-8}{15}$

b) $\dfrac{3}{7} < \dfrac{x}{21} < \dfrac{2}{3}$

Lời giải

a) $\dfrac{-11}{15} < \dfrac{x}{15} < \dfrac{-8}{15} \Rightarrow x \in \{-10; -9\}$

b) $\dfrac{3}{7} < \dfrac{x}{21} < \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{9}{21} < \dfrac{x}{21} < \dfrac{14}{21} \Rightarrow x \in \{10; 11; 12; 13\}$

Dạng 2: So sánh hai phân số không cùng mẫu bằng cách quy đồng mẫu dương

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: Tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Bài 3. So sánh các phân số sau:

a) $\dfrac{45}{105}$ và $\dfrac{84}{147}$

b) $\dfrac{39}{52}$ và $\dfrac{98}{112}$

Lời giải

a) $\dfrac{45}{105} = \dfrac{3}{7} ; \, \dfrac{84}{147} = \dfrac{4}{7}$

$\Rightarrow \dfrac{45}{105} < \dfrac{84}{147}$.

b) $\dfrac{39}{52} = \dfrac{3}{4} ; \, \dfrac{98}{112} = \dfrac{7}{8} ; \, \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} < \dfrac{7}{8}$

$\Rightarrow \dfrac{39}{52} < \dfrac{98}{112}$.

Bài 4. Tìm số nguyên dương $x$ sao cho $\dfrac{1}{5} < \dfrac{x}{30} < \dfrac{1}{4}$.

Lời giải

Trước tiên ta sẽ quy đồng mẫu số các phân số:

$\dfrac{1}{5} = \dfrac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \dfrac{12}{60}, \quad \dfrac{x}{30} = \dfrac{x \cdot 2}{30 \cdot 2} = \dfrac{2x}{60}, \quad \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \dfrac{15}{60}$

Vì $\dfrac{1}{5} < \dfrac{x}{30} < \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{12}{60} < \dfrac{2x}{60} < \dfrac{15}{60}$

Suy ra $2x = 13$ hoặc $2x = 14$.

Mà $x$ là số nguyên dương $\Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$.

Dạng 3: So sánh hai phân số không cùng mẫu bằng cách quy đồng tử

Phương pháp giải

Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu: Mẫu nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

Bài 5. So sánh các phân số sau: $A = \dfrac{2489-36}{7467-108} ; \quad B = \dfrac{2929-303}{8787+1717}$.

Lời giải

$A = \dfrac{2489-36}{3 \cdot (2489-36)} = \dfrac{1}{3}$

$B = \dfrac{101 \cdot (29-3)}{101 \cdot (87+17)} = \dfrac{26}{104} = \dfrac{1}{4}$

Vì $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4}$ nên $A > B$.

Dạng 4: So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù (hoặc phần hơn) với 1

Phương pháp giải

+ Định nghĩa: Cho phân số $\dfrac{a}{b} < 1$, ta gọi phần bù đến đơn vị của phân số $\dfrac{a}{b}$ là hiệu $1 - \dfrac{a}{b}$, tức là $\dfrac{b-a}{b}$.

+ Nếu $\dfrac{a}{b} - M = 1 ; \, \dfrac{c}{d} - N = 1$ mà $M > N$ thì $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$.

- $M, N$ là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho.

- Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

+ Nếu $\dfrac{a}{b} + M = 1 ; \, \dfrac{c}{d} + N = 1$ mà $M > N$ thì $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$.

- $M, N$ là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó.

- Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

Bài 6. So sánh các biểu thức sau: $A = \dfrac{100^{10}+1}{100^{10}-1} ; \quad B = \dfrac{100^{10}-1}{100^{10}-3}$.

Lời giải

Ta có:

$A = \dfrac{100^{10}+1}{100^{10}-1} = 1 + \dfrac{2}{100^{10}-1} \quad (1)$

$B = \dfrac{100^{10}-1}{100^{10}-3} = 1 + \dfrac{2}{100^{10}-3} \quad (2)$

Vì $\dfrac{2}{100^{10}-1} < \dfrac{2}{100^{10}-3}$ nên từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $A < B$.

Dạng 6: So sánh hai phân số bằng cách dùng số trung gian

Phương pháp giải

1. Dùng số $0; 1$ làm trung gian:

a) Nếu $\dfrac{a}{b} > 0$ và $0 > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$

b) Nếu $\dfrac{a}{b} > 1$ và $1 > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$

2. Dùng 1 phân số hoặc số xấp xỉ làm trung gian: (Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)

*Nhận xét: Trong hai phân số, phân số nào vừa có tử lớn hơn, vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương).

*Tính bắc cầu: $\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d}$ và $\dfrac{c}{d} > \dfrac{m}{n} \Rightarrow \dfrac{a}{b} > \dfrac{m}{n}$

Bài 7. So sánh: $A = \dfrac{3535 \cdot 232323}{353535 \cdot 2323} ; \quad B = \dfrac{3535}{3534} ; \quad C = \dfrac{2323}{2322}$.

Lời giải

$A = \dfrac{3535 \cdot 232323}{353535 \cdot 2323} = \dfrac{35 \cdot 101 \cdot 23 \cdot 10101}{35 \cdot 10101 \cdot 23 \cdot 101} = 1$

$B = \dfrac{3535}{3534} = 1 + \dfrac{1}{3534}$

$C = \dfrac{2323}{2322} = 1 + \dfrac{1}{2322}$

Vì $\dfrac{1}{3534} < \dfrac{1}{2322}$ nên $A < B < C$.